114 高普考高考二級 農業機械 農業機電整合與控制工程研究 考古題詳解

核心觀念

本題考永磁直流有刷馬達的功率平衡。馬達端電壓分為電樞電阻壓降與反電動勢：

輸入電功率為 $P_{\mathrm{in}}=VI_a$，電樞銅損為 $P_{\mathrm{cu}}=I_a^2R_a$。忽略摩擦與黏滯阻力時，電磁轉換功率等於機械輸出功率：

解題方法

先求反電動勢：

輸入功率為：

電樞損失功率為：

因此轉換為機械功率的部分為：

將轉速換算為角速度：

核心觀念

圖中電路由兩部分組成：

1. 輸入端的 $R$、$C$ 串接低通網路，輸出接至運算放大器的非反相輸入端。
2. $R_1$、$R_F$ 組成非反相放大器的回授網路。

假設運算放大器為理想運算放大器，且負載不影響電路增益，整體傳遞函數為

因此，直流增益為

低通網路的截止頻率為

解題方法

先由直流增益條件設計回授電阻：

所以

取 $R_1=1\,\mathrm{k}\Omega$，則

再由截止頻率條件 $f_c=1\,\mathrm{Hz}$ 設計輸入端的 $R$、$C$：

核心觀念

此系統是單位負回授，前向傳遞函數為

閉迴路傳遞函數及特徵方程為

將特徵方程與標準二階系統 $s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2$ 比較，可得

二階系統無超越量須為臨界阻尼或過阻尼，即 $\zeta\ge 1$，因此

解題方法

題目未指定上升時間的起訖定義，以下採常用的 10% 至 90% 上升時間。在無超越量條件下，$K$ 最大可取 $9$；此時系統為臨界阻尼，也是所有符合無超越量條件的系統中上升最快者。

令 $K=9$，閉迴路傳遞函數為

其單位步階響應為

核心觀念

本題考查單位負回授系統的閉迴路特徵方程，以及三次多項式的 Routh–Hurwitz 穩定判據。漸近穩定要求閉迴路特徵方程的所有根都位於左半平面。

解題方法

被控體為

PI 控制器為

由圖可知為單位負回授，閉迴路特徵方程為 $1+C(s)G(s)=0$，因此

整理得

對三次多項式 $s^3+a_2s^2+a_1s+a_0$，Routh–Hurwitz 穩定條件為