111 高普考高考二級 衛生技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題評量公職衛生技術類科《生物統計學》最核心的基礎概念，包含常態母體下個別觀測值與樣本平均數的機率分布計算：

1. 單一隨機變數的標準化（$Z$-transformation）： 設母體隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則經標準化轉換後之統計量服從標準常態分布： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$

2. 樣本平均數的抽樣分布（Sampling Distribution of the Sample Mean）： 自常態母體 $N(\mu, \sigma^2)$ 中隨機抽樣大小為 $n$ 的獨立隨機樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n$，其樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 亦嚴格服從常態分布： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ 其標準誤（Standard Error, $SE$）為： $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

3. 信賴區間（Confidence Interval）與機率區間（Probability Interval）之界定：

• 母體變異數已知時，母體平均值 $\mu$ 的 $95\%$ 信賴區間公式為 $\bar{X} \pm Z_{0.025} \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$。
• 題幹敘述「此隨機抽樣重複樣本的收縮壓平均值的 $95\%$ 信賴區間」，實務國考命題常將「抽樣分布中 $\bar{X}$ 落在中央 $95\%$ 的機率涵蓋區間（即 $\mu \pm 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$）」與「以 $\bar{X}$ 估計 $\mu$ 的信賴區間」混用。解題時應將此兩種學理觀點均完整呈現，以確保閱卷給分無懈可擊。

解題方法

已知母體平均值 $\mu = 126\text{ mmHg}$，母體標準差 $\sigma = 12\text{ mmHg}$。

(一) 單一抽樣個體之機率計算（$n = 1$）

隨機抽取一名成年人，其收縮壓以 $X$ 表示，則 $X \sim N(126, 12^2)$。

1. 計算收縮壓小於 $110\text{ mmHg}$ 之機率 $P(X < 110)$： 將 $X = 110$ 標準化為 $Z$ 分數： $Z = \frac{110 - 126}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} \approx -1.33$ 查標準常態累積機率表（$\Phi$ 表）： $P(X < 110) = P(Z < -1.33) = \Phi(-1.33) \approx 0.0918$ （若以精確值 $-1.333$ 內插計算，機率約為 $0.0912$）

2. 計算收縮壓介於 $110$ 與 $140\text{ mmHg}$ 間之機率 $P(110 < X < 140)$： 分別計算兩端點之 $Z$ 分數： $Z_1 = \frac{110 - 126}{12} \approx -1.33$ $Z_2 = \frac{140 - 126}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \approx 1.17$ 查標準常態分布表： $\Phi(1.17) \approx 0.8790$ $\Phi(-1.33) \approx 0.0918$ 因此： $P(110 < X < 140) = P(-1.33 < Z < 1.17) = \Phi(1.17) - \Phi(-1.33) = 0.8790 - 0.0918 = 0.7872$ （若以精確值內插計算，$\Phi(1.167) - \Phi(-1.333) \approx 0.8784 - 0.0912 = 0.7872$）

(二) 樣本平均數之機率與區間計算（$n = 4$）

隨機抽樣 $n = 4$ 人，設此重複樣本的收縮壓平均值為 $\bar{X}$。 根據抽樣分布定理，$\bar{X}$ 服從常態分布： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \sigma_{\bar{X}}^2\right) = N\left(126, \left(\frac{12}{\sqrt{4}}\right)^2\right) = N(126, 6^2)$ 即平均值為 $126\text{ mmHg}$，標準誤 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{12}{2} = 6\text{ mmHg}$。

1. 計算樣本平均值落在 $110$ 與 $140\text{ mmHg}$ 間的機率 $P(110 < \bar{X} < 140)$： 將邊界值轉換為標準常態變數 $Z$：

核心觀念

本題以「吸菸狀態」與「脂肪肝有無」兩個類別變項建立 $3\times2$ 列聯表，檢定兩者是否有統計上的相關性，適用 Pearson 卡方獨立性檢定。

• 虛無假設 $H_0$：吸菸狀態與脂肪肝有無相互獨立。
• 對立假設 $H_1$：吸菸狀態與脂肪肝有無不獨立，兩者有相關性。
• 檢定統計量為 $\chi^2=\sum\frac{(觀察次數-期望次數)^2}{期望次數}$
• 自由度為 $(列數-1)(欄數-1)$。
• 有脂肪肝組從未吸菸比率的 $95\%$ 信賴區間，使用單一比例的常態近似區間： $\hat p\pm Z_{0.975}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$

解題方法：吸菸狀態與脂肪肝有無的檢定

先計算列聯表的列合計、欄合計：

在 $H_0$ 成立時，每格的期望次數為：

$E_{ij}=\frac{該列合計\times該欄合計}{總人數}$

例如，從未吸菸且有脂肪肝的期望次數為：

$E=\frac{229\times450}{710}=145.14$

各格期望次數如下：

各格期望次數皆大於 $5$，符合 Pearson 卡方檢定的常用條件。檢定統計量為：

核心觀念

本題評量公衛與臨床研究中最常見的兩獨立樣本平均值比較（Two-sample inference for means），核心考點包含：

1. 母體變異數未知且不假設相等（Unequal Variances）之推論： 題幹明確指示「不考慮兩組母群體變異數是否相等」，意即不使用等變異數假設下的合併變異數（Pooled variance, $s_p^2$），而是採用不相等變異數的標準誤估計式： $SE(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$
2. 大樣本常態近似（Central Limit Theorem, CLT）： 兩組樣本數分別為 $n_1 = 92 > 30$ 與 $n_2 = 188 > 30$，皆為大樣本。依據中央極限定理，兩組樣本平均值之差 $(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)$ 之抽樣分配趨近於常態分配，故檢定統計量與信賴區間可直接採用標準常態分配（$Z$ 分配）進行推論（或採用 Welch's $t$ 檢定，因自由度 $\nu > 200$，其臨界值與 $Z$ 臨界值完全一致）。
3. 假設檢定與信賴區間之對偶性（Duality）： 雙尾檢定拒絕 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$（在 $\alpha = 0.05$ 下），等價於其 $95\%$ 信賴區間不包含 $0$。

解題方法

步驟一：整理題目已知條件與代號定義

• 第 1 組（肥胖組）：
• 樣本數 $n_1 = 92$
• 樣本平均值 $\bar{x}_1 = 36.5\text{ mg/dL}$
• 樣本標準差 $s_1 = 11.9\text{ mg/dL}$
• 第 2 組（非肥胖組）：
• 樣本數 $n_2 = 188$
• 樣本平均值 $\bar{x}_2 = 47.0\text{ mg/dL}$
• 樣本標準差 $s_2 = 15.8\text{ mg/dL}$
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$

設 $\mu_1$ 為肥胖者母體之平均高密度脂蛋白膽固醇，$\mu_2$ 為非肥胖者母體之平均高密度脂蛋白膽固醇。

步驟二：建立統計假說

題目欲檢定「兩組之高密度脂蛋白膽固醇平均值是否有統計顯著差異」，故採雙尾檢定：

• 虛無假說（$H_0$）： $H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad (\text{或 } \mu_1 - \mu_2 = 0)$ （即：肥胖組與非肥胖組之母體平均高密度脂蛋白膽固醇無顯著差異）
• 對立假說（$H_1$）： $H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \quad (\text{或 } \mu_1 - \mu_2 \neq 0)$ （即：肥胖組與非肥胖組之母體平均高密度脂蛋白膽固醇有顯著差異）

步驟三：計算估計值之標準誤（Standard Error, $SE$）

在不假設兩組母體變異數相等的條件下，兩組樣本平均值差之標準誤為：

$SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$

代入數值： $\frac{s_1^2}{n_1} = \frac{11.9^2}{92} = \frac{141.61}{92} \approx 1.5392$ $\frac{s_2^2}{n_2} = \frac{15.8^2}{188} = \frac{249.64}{188} \approx 1.3279$

$SE = \sqrt{1.5392 + 1.3279} = \sqrt{2.8671} \approx 1.6933\text{ mg/dL}$

步驟四：統計檢定與決策推論

兩組樣本數均大於 $30$（$n_1=92, n_2=188$），根據中央極限定理，檢定統計量 $Z$ 為：

$Z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - 0}{SE} = \frac{36.5 - 47.0}{1.6933} = \frac{-10.5}{1.6933} \approx -6.20$

1. 拒絕域（Rejection Region）： 在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 之雙尾檢定下，臨界值為 $\pm Z_{0.025} = \pm 1.96$。 拒絕域為：$\{Z \mid Z < -1.96 \text{ 或 } Z > 1.96\}$。
2. 檢定決策： 計算之檢定統計量 $Z = -6.20 < -1.96$（落入拒絕域），且 $p\text{-value} < 0.0001 < 0.05$。
3. 結論： 拒絕虛無假說 $H_0$。在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，有充分的統計證據顯示肥胖組與非肥胖組的高密度脂蛋白膽固醇平均值存在統計上的顯著差異（肥胖組顯著低於非肥胖組）。

註（Welch's $t$ 檢定對照）： 若採用 Welch-Satterthwaite 公式計算自由度：

核心觀念

本題考簡單線性迴歸的迴歸係數解釋、模型整體顯著性檢定、代入迴歸式預測，以及決定係數 $R^2$ 的計算與解釋。

迴歸式為：

其中 $x$ 是腰圍（公分），$\hat{y}$ 是預測的肌酸酐值（毫克／分升）。截距 $0.065$ 表示腰圍為 $0$ 公分時的預測值；斜率 $0.011$ 表示腰圍每增加 $1$ 公分，肌酸酐的預測平均值增加 $0.011$ 毫克／分升。

解題方法與計算

（一）解釋迴歸模式及檢定統計顯著性

依迴歸式，腰圍每增加 $1$ 公分，預測的肌酸酐平均值增加 $0.011$ 毫克／分升，兩者呈正向線性關係。截距為 $0.065$ 毫克／分升，但腰圍為 $0$ 公分不具實際解釋意義。

檢定迴歸模型整體是否顯著，可使用變異數分析表的 $F$ 檢定：

• 虛無假設：斜率為 $0$，即腰圍與肌酸酐無線性關係。
• 對立假設：斜率不為 $0$，即腰圍與肌酸酐有線性關係。

表中 $F=61.34$，且 $P<0.001<0.05$，因此在顯著水準 $0.05$ 下拒絕虛無假設。此迴歸模式達統計顯著，表示腰圍與肌酸酐之間具有統計上顯著的線性關係；這項結果本身不代表腰圍造成肌酸酐變化。

（二）腰圍為 $85$ 公分時的預測值

將 $x=85$ 代入迴歸式：