114 高普考高考二級 衛生技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題比較兩個獨立樣本的近視率，也就是比較兩個母體比例。男、女學童的近視率差異以 $p_{\text{男}}-p_{\text{女}}$ 表示；其 $95\%$ 信賴區間使用兩組樣本比例各自的變異數估計。檢定兩母體比例是否不同時，採雙尾比例檢定，虛無假說下兩組比例相等，計算檢定統計量時使用合併比例。

解題方法

令 $p_{\text{男}}$、$p_{\text{女}}$ 分別為男、女學童的母體近視率。樣本比例為

$$\hat p_{\text{男}}=\frac{130}{200}=0.65,\qquad \hat p_{\text{女}}=\frac{95}{210}\approx0.4524$$

因此樣本近視率差為

$$\hat p_{\text{男}}-\hat p_{\text{女}} =0.65-0.4524 \approx0.1976$$

一、近視率差異的 $95\%$ 信賴區間

兩個獨立樣本比例差的標準誤為

$$SE= \sqrt{ \frac{\hat p_{\text{男}}(1-\hat p_{\text{男}})}{n_{\text{男}}} + \frac{\hat p_{\text{女}}(1-\hat p_{\text{女}})}{n_{\text{女}}} }$$

代入資料：

$$SE= \sqrt{ \frac{0.65(0.35)}{200} + \frac{0.4524(1-0.4524)}{210} } \approx0.0476$$

$95\%$ 信賴區間使用 $Z_{0.975}=1.96$：

$$(\hat p_{\text{男}}-\hat p_{\text{女}}) \pm1.96(SE)$$ $$0.1976\pm1.96(0.0476) =0.1976\pm0.0933$$

故近視率差異的 $95\%$ 信賴區間約為

$$(0.1043,\ 0.2909)$$

換算為百分點，男童近視率比女童高約 $10.43$ 至 $29.09$ 個百分點。整個區間大於 $0$，顯示男童近視率較高。

二、檢定男、女學童近視率是否不同

核心觀念

本題考查線性複迴歸的迴歸方程、迴歸係數解釋、顯著預測因子的判定，以及虛擬變項的方向解讀。

複迴歸模式可寫為：

$$\widehat{Y}=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_kX_k$$

其中，未標準化迴歸係數表示：在其他自變項固定時，自變項每增加一單位，預測的依變項平均改變多少。顯著性則依各係數的 $P$ 值與顯著水準比較；本題以 $\alpha=0.05$ 判定，若 $P<0.05$，該係數達統計顯著。

解題方法與模式

令 $Y$ 為血糖值，年齡以歲計、性別以男 $=0$ 女 $=1$ 編碼、腰圍以公分計、收縮壓以毫米汞柱計。將表中的未標準化迴歸係數代入模式：

$$\widehat{Y} =-50.863+0.223(\text{年齡}) +6.879(\text{性別}) +16.737(\text{腰圍}) +1.232(\text{收縮壓})$$

此式預測的是血糖值，單位為毫克／分升。各係數的解讀均以其他自變項固定為前提：

• **年齡：**年齡每增加 1 歲，預測血糖值增加 $0.223$ 毫克／分升；此係數未達統計顯著。
• **性別：**女性編碼為 1、男性為 0；在年齡、腰圍及收縮壓相同時，女性的預測血糖值比男性高 $6.879$ 毫克／分升。
• **腰圍：**腰圍每增加 1 公分，預測血糖值增加 $16.737$ 毫克／分升。
• **收縮壓：**收縮壓每增加 1 毫米汞柱，預測血糖值增加 $1.232$ 毫克／分升。
• **截距：**當所有自變項皆為 0 時，模式預測血糖值為 $-50.863$ 毫克／分升。這是方程中的基準值；此情境未必有實際意義。

顯著預測因子的判定

逐一將各自變項的 $P$ 值與 $0.05$ 比較：

核心觀念

本題要依序處理兩組獨立樣本的變異數與平均數：

1. 以 $F$ 檢定比較兩組母群體變異數；檢定平均數前，先據此判斷採等變異數或不等變異數的 $t$ 檢定。
2. 非吸菸組平均數的 $95\%$ 信賴區間，以樣本標準差估計標準誤，並使用 $t$ 分配。

以下採雙尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。

（一）非吸菸組平均數的信賴區間與變異數檢定

1. 非吸菸組空腹血糖平均數的 $95\%$ 信賴區間

非吸菸組樣本數 $n_1=347$、樣本平均數 $\bar{x}_1=92.0$、樣本標準差 $s_1=20.2$。母群體標準差未知，因此使用 $t$ 信賴區間：

$$\bar{x}_1 \pm t_{n_1-1,\,0.975}\frac{s_1}{\sqrt{n_1}}$$

自由度為 $346$，題目提供 $t_{346,0.975}=1.967$。標準誤為

$$SE=\frac{20.2}{\sqrt{347}}\approx 1.084$$

誤差界限為

$$1.967(1.084)\approx 2.13$$

因此 $95\%$ 信賴區間為

$$92.0\pm 2.13=(89.87,\ 94.13)$$

2. 兩組母群體變異數檢定

令 $\sigma_1^2$ 為非吸菸組母群體變異數，$\sigma_2^2$ 為吸菸組母群體變異數。

$$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,\qquad H_1:\sigma_1^2\ne\sigma_2^2$$

檢定統計量將較大的樣本變異數置於分子：

$$F=\frac{s_1^2}{s_2^2} =\frac{20.2^2}{19.1^2} =\frac{408.04}{364.81} \approx 1.119$$

自由度為分子 $346$、分母 $65$。雙尾檢定的上側臨界值為 $F_{346,65,0.975}=1.49$；因為 $1.119<1.49$，不拒絕 $H_0$。兩組母群體變異數在 $0.05$ 顯著水準下沒有統計上顯著差異，可採等變異數假設進行平均數檢定。

（二）兩組母群體平均數檢定

令 $\mu_1$ 為非吸菸組母群體平均空腹血糖，$\mu_2$ 為吸菸組母群體平均空腹血糖。採雙尾檢定：

核心觀念

本題是同一批 $70$ 人在飲食控制前、後各測量一次，觀察其 BMI 是否跨越 $30$ 的分類門檻，屬於配對類別資料。適合使用 McNemar 檢定，檢定前後二分類結果的比例是否改變。

McNemar 檢定只使用「前後分類不一致」的個案：

• 前 BMI $\geq 30$、後 BMI $<30$：$28$ 人
• 前 BMI $<30$、後 BMI $\geq 30$：$5$ 人

兩者分別代表改善與惡化；前後分類相同的 $20$ 人與 $17$ 人不提供前後變化方向的資訊。

解題方法

設 $p_{\text{改善}}$ 為個案由 BMI $\geq 30$ 轉為 BMI $<30$ 的機率，$p_{\text{惡化}}$ 為由 BMI $<30$ 轉為 BMI $\geq 30$ 的機率。

依題意檢定飲食控制是否能降低 BMI 分類，採單尾 McNemar 檢定：

$$H_0:p_{\text{改善}}=p_{\text{惡化}}$$ $$H_1:p_{\text{改善}}>p_{\text{惡化}}$$

在虛無假說下，$33$ 位分類改變者中，改善與惡化的機率各為 $0.5$。採連續性校正的 McNemar 統計量：

$$\chi^2 =\frac{(|b-c|-1)^2}{b+c} =\frac{(|28-5|-1)^2}{28+5} =\frac{22^2}{33} \approx 14.67$$