113 高普考高考二級 水利工程 高等水文學 考古題詳解

核心觀念

本題考驗水流垂直穿過多層、彼此重疊的含水層時，如何依各層水力傳導係數分配水頭損失。各層中的流量相同，水頭損失則與該層厚度成正比、與水力傳導係數成反比。

依達西定律，均勻垂直流通過第 $i$ 層時：

$$q=K_i\frac{\Delta h_i}{b_i}$$

其中 $q$ 為單位面積流量，$K_i$ 為水力傳導係數，$b_i$ 為層厚，$\Delta h_i$ 為該層水頭損失。各層串聯且流量相同，因此：

$$\frac{\Delta h_i}{\Delta h_j} = \frac{b_i/K_i}{b_j/K_j}$$

解題方法

全含水層厚度為 $60\ \mathrm{m}$，頂部與底部水頭差為：

$$\Delta H=120-90=30\ \mathrm{m}$$

各層的水力阻抗可用 $b_i/K_i$ 表示：

$$R_1=\frac{20}{0.0001}=200{,}000,\qquad R_2=\frac{20}{0.0004}=50{,}000,\qquad R_3=\frac{20}{0.0002}=100{,}000$$

總阻抗為 $R_{\mathrm{tot}}=350{,}000$。各層分擔的水頭損失依阻抗比例分配：

$$\Delta h_i=\Delta H\frac{R_i}{R_{\mathrm{tot}}}$$

因此：

核心觀念

本題比較水面蒸發量的兩種推估途徑：能量平衡法由「可供蒸發的能量」估算蒸發；質量傳輸法由「水面與大氣間的水汽傳輸」估算蒸發。兩者各自著重不同控制因素，因此需要結合能量供應與空氣動力傳輸的 Penman–Monteith 方法，較完整地表示蒸發過程。

（1）兩種方法的物理概念與假設

能量平衡法（energy balance）

水面取得的淨能量用於蒸發、加熱水體及其他能量交換。將能量平衡式除以水的汽化潛熱，即可把可供蒸發的能量換算為蒸發深度。常用表示式為：

$$R_n = \lambda E + H + G + \Delta S$$

其中，$R_n$ 為淨輻射，$\lambda E$ 為蒸發所消耗的潛熱通量，$H$ 為顯熱通量，$G$ 為水體與底床間的熱通量，$\Delta S$ 為水體蓄熱變化。由此可得：

$$E = \frac{R_n-H-G-\Delta S}{\lambda}$$

能量平衡法的核心假設是：蒸發所需的潛熱由可用能量提供，而且能量輸入與各項輸出可以量測或估算。實際簡化時，常假設水體蓄熱變化或底床熱交換相對較小，或已由觀測資料加以校正。

質量傳輸法（mass transfer）

蒸發是水面向大氣傳輸水汽的過程。水面飽和水汽壓與上方空氣實際水汽壓之差形成水汽壓差；風則將水汽帶離水面，維持傳輸梯度。常用概念式為：

$$E = f(u)\left[e_s(T_w)-e_a\right]$$

其中，$u$ 為風速，$f(u)$ 為經率定的風速函數，$e_s(T_w)$ 為水面溫度 $T_w$ 下的飽和水汽壓，$e_a$ 為空氣實際水汽壓。此法假設蒸發通量可由水汽壓梯度與空氣動力傳輸能力表示，而傳輸係數或風速函數可由觀測或經驗關係取得。

（2）兩種方法的限制與考量

能量平衡法的限制

1. 需要淨輻射、水面及空氣溫度、顯熱通量等資料；資料不足時，能量平衡式中的各項難以完整估算。
2. 水體具有熱容量，蓄熱變化可能顯著。湖泊或水庫的熱量可在不同季節儲存與釋放，因此只用當期淨輻射推估蒸發，可能產生偏差。
3. 顯熱通量、底床熱交換及水體熱儲存常需估算；這些項目若處理不當，會直接影響可分配給蒸發的能量。

質量傳輸法的限制

1. 蒸發量對風速函數及傳輸係數敏感；係數通常依地點與觀測條件率定，移用至其他水面時可能不適用。
2. 風速與水汽壓差不足以表示全部可用能量。

核心觀念

Horton 入滲方程式描述入滲率隨時間遞減的過程：

$$f(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}$$

其中 $f_0$ 為起始入滲率、$f_c$ 為最終入滲率，$k$ 為衰減常數。累積入滲量是入滲率對時間的積分：

$$F(t)=\int_0^t f(\tau)\,d\tau =f_ct+\frac{f_0-f_c}{k}\left(1-e^{-kt}\right)$$

本題降雨強度超過 $23\ \mathrm{mm/hr}=f_0$，所以雨勢足以供應入滲，實際入滲率可依 Horton 方程式計算，不受降雨強度不足限制。

解題方法

已知 $f_0=23\ \mathrm{mm/hr}$、$f_c=5\ \mathrm{mm/hr}$，且一小時累積入滲量為 $12.78\ \mathrm{mm}$。先由 $F(1)=12.78$ 求出 $k$：

$$12.78=5(1)+\frac{23-5}{k}(1-e^{-k})$$ $$7.78=\frac{18}{k}(1-e^{-k})$$

解此方程得 $k\approx 2.00\ \mathrm{hr}^{-1}$。代回累積入滲量公式：

$$F(t)=5t+9(1-e^{-2t})$$

其中 $t$ 以小時為單位。

(1) 前 45 分鐘的入滲量

核心觀念

水流演算是利用降雨逕流、水庫或河道上、下游的水文資料，推估洪水波如何隨時間移動、變形與衰減。常見方法可分為兩類：

• 河道演算：追蹤洪水波沿河道傳遞，如動力波、運動波及 Muskingum 演算。
• 流域演算：由有效降雨推估流域出口的逕流歷線，典型方法為單位歷線法。

本題重點在比較各方法採用的物理概念、控制方程或基本假設，以及方法能否表現回水、蓄水與流量變形等現象。

解題方法

依序從「是否保留完整水力作用」、「流速與水面坡度的簡化方式」、「河段蓄量與入出流的關係」，最後說明由有效降雨推求流域逕流的單位歷線法，即可完整比較四種方法。

（1）動力波演算（Dynamic wave routing）

物理概念： 以完整的一維非恆定流方程描述洪水波在河道中的傳遞，能表現水位與流量隨時間、空間的變化。基本方程包括連續方程與動量方程：

$$\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial Q}{\partial x}=q_l$$ $$\frac{\partial Q}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Q^2}{A}\right) +gA\frac{\partial y}{\partial x} =gA(S_0-S_f)$$

其中 $A$ 為流通斷面積、$Q$ 為流量、$q_l$ 為單位河長側向入流、$y$ 為水深、$S_0$ 為河床坡度、$S_f$ 為摩擦坡度；方程中的各項分別反映蓄水變化、流量沿程變化、慣性與壓力作用，以及重力與摩擦作用。

假設及適用條件： 採一維、明渠非恆定流描述，通常假設水流沿主流方向變化，並以適當的斷面及阻力關係描述河道。相較於簡化波動模型，它保留慣性與壓力梯度效應，因此能處理洪水波的回水、壅水、潮汐或水工構造物造成的水位影響，也能描述流量與水位的動態變化。

適用於河道坡度平緩、下游水位影響顯著，或需要較精細描述水位及流量變化的情況。其代價是資料需求與計算複雜度較高，數值演算通常須注意網格與時間步長的穩定性。

（2）運動波演算（Kinematic wave routing）

物理概念： 由一維非恆定流方程簡化而來，保留連續方程，並假設重力與摩擦力近似平衡，使水面坡度可近似河床坡度：

$$S_f \approx S_0$$

因此可由均勻流阻力關係建立流量與水深或流通面積的關係，例如寫成 $Q=f(A)$。將此關係代入連續方程，即得到運動波演算所用的波動方程。

假設及適用條件： 主要假設為流動近似均勻流，流量由局部水深或斷面狀態決定；忽略動量方程中的主要慣性項與壓力梯度項，因此不能表現顯著回水及壅水影響。

適用於坡度較陡、下游邊界影響不顯著、洪水波以向下游傳遞為主的河段，也常用於坡面逕流演算。若河道平緩、存在水庫或壩體回水、潮汐或明顯下游水位控制，運動波假設便不適用。

（3）Muskingum 演算（Muskingum routing）

物理概念： Muskingum 法是以河段水量平衡為基礎的水文演算法，採用河段蓄量與入流、出流的經驗關係：

$$S=K\left[XI+(1-X)O\right]$$

其中 $S$ 為河段蓄量，$I$ 與 $O$ 分別為河段入流與出流，$K$ 為河段洪水波傳遞時間尺度，$X$ 為權重係數，通常取 $0\leq X\leq 0.5$。$X$ 越小，蓄量越偏重由出流代表；

核心觀念

本題考查以直線法分離基流量，取得直接逕流歷線，再以直接逕流體積換算有效降雨深度，最後將直接逕流歷線除以有效降雨深度，求得 4 小時單位歷線。

單位歷線是集水區在指定延時內，承受單位深度有效降雨所產生的直接逕流歷線。若直接逕流體積為 $V_d$、集水區面積為 $A$，有效降雨深度為

$$R_e=\frac{V_d}{A}$$

本題將 $R_e$ 以公分表示，則單位歷線各時刻流量為

$$U(t)=\frac{Q_d(t)}{R_e}$$

其中 $Q_d(t)$ 是直接逕流流量，單位為 $\mathrm{cms}$；$U(t)$ 的單位為 $\mathrm{cms/cm}$。

解題方法

採直線法連接洪水歷線開始上升前的流量與洪水歷線末端流量。表中流量在 $t=1$ 小時為 $150\ \mathrm{cms}$，之後開始上升；在 $t=11$ 小時降至 $140\ \mathrm{cms}$。因此以 $(1,150)$ 與 $(11,140)$ 為基流線端點。

這段基流線的斜率為

$$\frac{140-150}{11-1}=-1\ \mathrm{cms/hr}$$

故基流量可寫為

$$Q_b(t)=150-(t-1),\qquad 1\le t\le 11$$

各時刻的直接逕流量為 $Q_d(t)=Q(t)-Q_b(t)$。在基流線以下或與基流線相等處，直接逕流量取 $0$。

時間 $t$（hr）	觀測流量 $Q$（cms）	基流量 $Q_b$（cms）	直接逕流量 $Q_d$（cms）
0	160	—	0
1	150	150	0
2	360	149	211
3	850	148	702
4	1200	147	1053
5	940	146	794
6	720	145	575
7	550	144	406
8	320	143	177
9	200	142	58
10	150	141	9
11	140	140	0

以一小時為時間間隔，採梯形法計算直接逕流體積：

$$V_d =\sum_{i=1}^{10}\frac{Q_{d,i}+Q_{d,i+1}}{2}(3600)$$

亦即