113 高普考高考二級 水利工程 高等流體力學 考古題詳解

核心觀念

牛頓流體在單向流動時，剪應力與速度梯度的關係為

其中 $\mu$ 為動力黏滯係數。圖 A 中 $y=0$ 位於兩平板中間，平板位置為 $y=\pm h$。

解題方法

由速度分布式微分：

因此剪應力分布為

在平板處 $y=\pm h$，剪應力大小為

代入 $|\tau_w|=720\ \mathrm{N/m^2}$、$V=0.6\ \mathrm{m/s}$、$h=5\ \mathrm{mm}=0.005\ \mathrm{m}$：

剪應力最低處

核心觀念

本題用伯努力方程式比較兩測壓點的總水頭。不可壓縮流體在等直徑管中流動，兩點流速相同，因此速度水頭相消：

沿水流方向，總水頭減少量就是損失水頭 $h_L$。圖示兩測壓點相距 $6\,\mathrm{m}$，右側測點比左側低 $1.5\,\mathrm{m}$；兩點壓力水頭分別為左側 $1.0\,\mathrm{m}$、右側 $3.0\,\mathrm{m}$。

解題方法

令左、右測點分別為 $L$、$R$，則

兩點總水頭差為

因此右側總水頭較高，水流由右向左，損失水頭為

水流反向後，流向為左至右，且損失水頭仍為 $0.5\,\mathrm{m}$，故

代入高程差：

核心觀念

本題用兩個基本原理：

1. 伯努力方程式：在無黏性、穩定流動下，沿同一流線的總水頭守恆。噴嘴出口與自由液面均為大氣壓。
2. 線性動量方程式：以水流為控制體，計算水流速度改變所需的水平外力；車受水流的作用力方向與車對水流的作用力相反。

圖 C 顯示自由液面在噴嘴上方 $2\,\mathrm{m}$，彎曲表面的水平出口比噴嘴低 $4\,\mathrm{m}$。噴嘴面積為 $A=0.01\,\mathrm{m^2}$。

解題方法

（一）先由自由液面至噴嘴出口套用伯努力方程式。自由液面速度可視為零，兩處壓力皆為大氣壓，因此

接著沿彎曲表面上的水流，由噴嘴出口至低 $4\,\mathrm{m}$ 的水平出口套用伯努力方程式。兩處皆為大氣壓，故

因此

（二）噴嘴流出的水流向右，對水箱及其推車產生向左的反作用力。水箱推車的水平加速度為零，故繩索 A 必須提供向右的拉力。以水箱內的水至噴嘴出口為控制體，水箱內水的入口水平速度可視為零，動量方程式給出

核心觀念

壩體抵抗滑動的最小摩擦係數，等於使基底摩擦力剛好平衡水平方向推力時所需的摩擦係數：

圖 D 的壩體上游面為斜面，因此水壓合力除了水平分量，也有向下的垂直分量；後者會增加基底法向力與可提供的摩擦力。以下以每公尺壩長計算，並依圖示不計基底揚壓力。

解題方法

壩體截面為上底 $2\,\mathrm{m}$、下底 $6\,\mathrm{m}$、高 $5\,\mathrm{m}$ 的梯形，截面積為

壩體重量：

水深為 $4\,\mathrm{m}$。水壓的水平分量等於垂直投影面上的靜水壓合力：

核心觀念

本題考 Buckingham $\Pi$ 因次分析法。將壓力 $p$、牆高 $h$、牆寬 $b$、風速 $V$ 與空氣動力黏滯度 $\mu$ 視為相關變數，將它們組成無因次項。

各物理量的因次為

共有 $5$ 個變數，基本因次為 $M,L,T$ 共 $3$ 個，因此可組成 $5-3=2$ 個獨立無因次項。

解題方法

選 $\mu、V、h$ 作為重複變數。三者的因次彼此獨立，能涵蓋 $M、L、T$ 三個基本因次。

對壓力 $p$ 組成無因次項：

令其因次指數為零：

解得 $a=-1,\ b=-1,\ c=1$，所以

對牆寬 $b$ 組成無因次項：

因此因次分析結果為