114 年高普考高考二級水利工程考古題與詳解

Question 1

二維非黏性、不可壓縮水流的流場速度勢（velocity potential）為

$\phi(x,y)=2x^2y-\frac{2}{3}y^3$

其中 $\phi$ 的單位為 $\mathrm{m^2/s}$ ， $x$ 和 $y$ 的單位為 $\mathrm{m}$ 。

（一）請證明此速度勢函數滿足連續方程式（continuity equation），且為非旋性流場（irrotational flow）。（10 分）

（二）若 $(x,y)=(1,1)$ 處的壓力為 $200\ \mathrm{kPa}$ ，試求在 $(x,y)=(2,2)$ 處的壓力。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 二維不可壓縮流的連續方程式為 $$ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0, $$ 其中速度勢 $\phi$ 與速度分量的關係為 $$ u=\frac{\partial\phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial\phi}{\partial y}. $$ 若流場速度由速度勢導出，且 $\phi$ 二階偏導數連續，則流場為非旋性；在二維中，旋度的 $z$ 分量為 $$ \omegaz=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}. $$ 本題另以穩定、不可壓縮、無黏性流的伯努力方程式比較兩點壓力： $$ \frac{p}{ho}+\frac{V^2}{2}+gz=	ext{常數}. $$ 解題方法 （一）驗證連續方程式與非旋性 由 $$ \phi(x,y)=2x^2y-\frac{2}{3}y^3 $$ 求速度分量： $$ u=\frac{\partial\phi}{\partial x}=4xy,\qquad v=\frac{\partial\phi}{\partial y}=2x^2-2y^2. $$ 檢查連續方程式： $$ \frac{\partial u}{\partial x}=4y,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-4y, $$ 因此 $$ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =4y-4y=0. $$ 故此速度場滿足二維不可壓縮流的連續方程式。 再計算旋度： $$ \frac{\partial v}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=4x, $$ 所以 $$ \omegaz=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} =4x-4x=0. $$ 故此流場為非旋性流場。 （二）求 $(2,2)$ 處壓力 先求兩位置的速度。於 $(1,1)$：

Question 2

如下圖，溢洪道常以適當的發生水躍（hydraulic jump）現象來防止趾部沖刷。若水躍的上游水深 $y_1=0.2\ \mathrm{m}$ 、速度 $V_1=5.5\ \mathrm{m/s}$ ，溢洪道寬度 $b=30\ \mathrm{m}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試求水躍的下游水深 $y_2$ 、速度 $V_2$ 及因發生水躍的能量損失功率。（10 分）

（二）說明水躍的上、下游水流屬何種特性之流況，請以一例說明如何適當的發生水躍現象來防止趾部沖刷。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩形渠道水躍的共軛水深、水躍前後的流況，以及水躍造成的能量損失。水躍前後可用連續方程與水平動量方程求共軛水深；能量損失則由水躍前後的比能差計算。 假設水為清水，取 $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$、$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$，並忽略水躍短距離內的渠道底床摩擦力。 （一）下游水深、速度與能量損失功率 1. 求下游共軛水深 上游單位寬流量為 $$ q=V1y1=5.5(0.2)=1.10\ \mathrm{m^2/s} $$ 上游弗勞德數為 $$ Fr1=\frac{V1}{\sqrt{gy1}} =\frac{5.5}{\sqrt{9.81(0.2)}}=3.93 $$ 矩形渠道水躍的共軛水深關係式為 $$ \frac{y2}{y1} =\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+8Fr1^2}-1\right) $$ 代入 $y1=0.2\ \mathrm{m}$、$Fr1=3.93$： $$ y2=\frac{0.2}{2}\left(\sqrt{1+8(3.93)^2}-1\right) \approx 1.015\ \mathrm{m} $$ 2. 求下游流速 由連續方程 $q=V2y2$： $$ V2=\frac{q}{y2} =\frac{1.10}{1.015} \approx 1.084\ \mathrm{m/s} $$ 3. 求能量損失功率 矩形渠道水躍的比能損失為 $$ \Delta E=E1-E2 =\frac{(y2-y1)^3}{4y1y2} $$ 因此 $$ \Delta E =\frac{(1.015-0.2)^3}{4(0.2)(1.015)} \approx 0.667\ \mathrm{m} $$ 渠道流量為

Question 3

風（密度 $ho=1.23\ \mathrm{kg/m^3}$，黏滯度 $\mu=1.75	imes10^{-5}\ \mathrm{N\cdot s/m^2}$）以每小時 $96\ \mathrm{km}$ 的速度作用於水塔結構物。水塔為球形，置於圓柱的上方；球型水塔的直徑 $Ds=12\ \mathrm{m}$、圓柱高度 $b=15\ \mathrm{m}$、直徑 $Dc=4.5\ \mathrm{m}$。球體及圓柱的阻力係數（drag coefficient）與 Reynolds 數的關係如附圖。試求圓柱底部固定端所需的抵抗力矩（torque），以維持水塔結構物免於傾倒。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

本題以風阻力造成的傾覆力矩，求圓柱底部固定端必須提供的抵抗力矩。阻力係數須依各物體的雷諾數，分別由附圖讀取：

Re=\frac{\rho U D}{\mu},\qquad F_D=C_D\left(\frac12\rho U^2\right)A

其中球體迎風投影面積為 $\pi D_s^2/4$ ，圓柱迎風投影面積為 $D_cb$ 。底部所需抵抗力矩，等於各風阻力對底部力矩的總和。

解題方法

先將風速換算為 SI 單位：

U=96\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{hr}} =\frac{96}{3.6}=26.67\ \mathrm{m/s}

分別以球體直徑 $D_s=12\ \mathrm{m}$ 、圓柱直徑 $D_c=4.5\ \mathrm{m}$ 計算雷諾數：

Re_s=\frac{(1.23)(26.67)(12)}{1.75\times10^{-5}} \approx2.25\times10^7

Re_c=\frac{(1.23)(26.67)(4.5)}{1.75\times10^{-5}} \approx8.43\times10^6

依附圖高雷諾數區的光滑球與光滑圓柱曲線，取 $C_{D,s}\approx0.4$ 、 $C_{D,c}\approx0.8$ 。球體雷諾數略超出圖示橫軸範圍，依圖中高雷諾數端的曲線趨勢取球體阻力係數約 $0.4$ 。

動壓為：

q=\frac12\rho U^2 =\frac12(1.23)(26.67)^2 \approx437.33\ \mathrm{N/m^2}

球體的迎風投影面積與風阻力為：

A_s=\frac{\pi D_s^2}{4} =\frac{\pi(12)^2}{4} =36\pi\ \mathrm{m^2}

Question 4

兩平行固定板間的定量黏性流（steady viscous flow）如下圖所示，試以連續方程式及 Navier-Stokes 方程式推導速度剖面（velocity profile），並證明平均速度 $V$ 與最大速度 $u_{\max}$ 的關係為

$V=\frac{2}{3}u_{\max}$

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考平行板間的定常、不可壓縮、牛頓流體層流。依圖取 $x$ 軸為流向、$y$ 軸為垂直板面的方向，兩固定板位於 $y=\pm h$，板間距為 $2h$。流動充分發展時，速度只有流向分量，且只隨 $y$ 改變： $$ \mathbf{V}=(u(y),0,0) $$ 圖示重力方向垂直於流向，故重力沒有 $x$ 方向分量；它只影響垂直方向的壓力分布。 解題方法與推導 不可壓縮流體的連續方程式為 $$ \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}=0 $$ 充分發展且為單向流動，因此 $u=u(y)$、$v=w=0$，連續方程式成立。 沿 $x$ 方向的 Navier–Stokes 方程式，在定常、充分發展流動下化為 $$ 0=-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\frac{d^2u}{dy^2} $$ 其中 $p$ 沿流向的梯度為驅動流動的壓力梯度。令其為常數，積分兩次： $$ \frac{d^2u}{dy^2}=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx} $$ $$ u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}y^2+C1y+C2 $$ 兩板固定，無滑移邊界條件為 $u(h)=u(-h)=0$。代入後得 $C1=0$，並可寫成速度剖面：

Question 5

如下圖，流體流經橢圓形斷面結構物後發生週期性渦漩分離（vortex shedding）現象，該渦漩分離頻率（shedding frequency） $\omega$ 與斷面尺度 $D$ 、 $H$ 及流速 $V$ 、流體密度 $\rho$ 、黏滯度（viscosity） $\mu$ 相關。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請利用「Buckingham $\pi$ 定理」推導渦漩分離頻率 $\omega$ 與相關參數之無因次關係式。（10 分）

（二）若原型尺度之 $D=0.2\ \mathrm{m}$ 、 $H=0.6\ \mathrm{m}$ 及流速 $V=5\ \mathrm{m/s}$ ，模型實驗採和原型相同之流體，模型尺度之 $D=5\ \mathrm{cm}$ ，則模型的流速應為多少？如果在模型測得的渦漩分離頻率為 $48\ \mathrm{Hz}$ ，則原型的渦漩分離頻率為多少 $\mathrm{Hz}$ ？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考 Buckingham $\pi$ 定理與流體模型的動力相似。渦漩分離頻率由幾何尺度、流速、流體密度與黏滯度共同決定；以無因次參數表示後，模型與原型在幾何相似及雷諾數相同時，斯特羅哈數也相同。 （一）建立無因次關係式 題目中的變數為頻率 $\omega$、尺度 $D$ 與 $H$、流速 $V$、密度 $\rho$、黏滯度 $\mu$，共 6 個變數。其基本因次為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，共 3 個，因此可建立 $6-3=3$ 個獨立無因次群。 選 $\rho$、$V$、$D$ 為重複變數，可得： $$ \pi1=\frac{\omega D}{V},\qquad \pi2=\frac{H}{D},\qquad \pi3=\frac{\rho VD}{\mu} $$ 其中 $\pi1$ 為斯特羅哈數，$\pi2$ 表示幾何比例，$\pi3$ 為雷諾數。因此無因次關係式為： $$ \boxed{\frac{\omega D}{V} =\Phi\left(\frac{H}{D},\frac{\rho VD}{\mu}\right)} $$ （二）模型流速與原型渦漩分離頻率 模型與原型採用相同流體，因此 $\rho$、$\mu$ 相同。幾何相似要求 $H/D$ 相同；若要符合相似流況，雷諾數也須相同： $$ \frac{\rho VmDm}{\mu} = \frac{\rho VpDp}{\mu} \quad\Rightarrow\quad VmDm=VpDp $$

114 高普考高考二級水利工程高等流體力學考古題詳解

第一、題20 分

核心觀念

解題方法

（一）驗證連續方程式與非旋性

（二）求 $(2,2)$ 處壓力

第二、題20 分

核心觀念

（一）下游水深、速度與能量損失功率

1. 求下游共軛水深

2. 求下游流速

3. 求能量損失功率

第三、題20 分

核心觀念

解題方法

第四、題20 分

第五、題20 分

核心觀念

（一）建立無因次關係式

（二）模型流速與原型渦漩分離頻率

其他考古題

114 年水利工程的其他科目

水利工程《高等流體力學》其他年度

114 高普考高考二級 水利工程 高等流體力學 考古題詳解

第 一、 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）驗證連續方程式與非旋性

（二）求 (2,2)(2,2)(2,2) 處壓力

第 二、 題20 分

核心觀念

（一）下游水深、速度與能量損失功率

1. 求下游共軛水深

2. 求下游流速

3. 求能量損失功率

第 三、 題20 分

核心觀念

解題方法

第 四、 題20 分

第 五、 題20 分

核心觀念

（一）建立無因次關係式

（二）模型流速與原型渦漩分離頻率

其他考古題

114 年水利工程的其他科目

水利工程《高等流體力學》其他年度

114 高普考高考二級水利工程高等流體力學考古題詳解

第一、題20 分

（二）求 $(2,2)$ 處壓力

第二、題20 分

第三、題20 分

第四、題20 分

第五、題20 分