114 高普考高考二級 水利工程 水資源工程 考古題詳解

114 年・高普考・高考二級・水利工程
試題代碼 水資源工程

第 一 題20 分

有一梯形渠道，其底寬為 6 m6\ \mathrm{m}，側坡比為 1H:1V1\mathrm{H}:1\mathrm{V}，渠底縱坡為 0.0010.001，渠道終點為自由跌水。若假設曼寧係數 n=0.02n=0.02，當輸送流量為 30 cms30\ \mathrm{cms} 時，求：

  1. 正常水深。
  2. 臨界水深。
  3. 判斷此水面剖線應為哪一種曲線，並說明理由。

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核心觀念

本題考查梯形渠道的正常水深、臨界水深，以及水深與臨界水深、正常水深的相對大小所對應的水面剖線。

梯形渠道底寬為 bb、側坡比為 zH:1Vz\mathrm{H}:1\mathrm{V}、水深為 yy 時：

A=y(b+zy),T=b+2zy,P=b+2y1+z2,R=APA=y(b+zy),\qquad T=b+2zy,\qquad P=b+2y\sqrt{1+z^2},\qquad R=\frac{A}{P}

其中 AA 為通水斷面積、TT 為水面寬、PP 為濕周、RR 為水力半徑。

正常水深 yny_n 是在給定流量與渠底坡度下，依曼寧公式計算的均勻流水深：

Q=1nAR2/3S01/2Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S_0^{1/2}

臨界水深 ycy_c 則由弗勞德數 Fr=1Fr=1 的條件決定。一般斷面可寫成：

Q2TgA3=1\frac{Q^2T}{gA^3}=1

解題方法

已知 b=6 mb=6\ \mathrm{m}、z=1z=1、S0=0.001S_0=0.001、n=0.02n=0.02、Q=30 m3/sQ=30\ \mathrm{m^3/s}。

梯形渠道的斷面幾何關係為：

A=y(6+y),T=6+2y,P=6+22 y,R=y(6+y)6+22 yA=y(6+y),\qquad T=6+2y,\qquad P=6+2\sqrt{2}\,y,\qquad R=\frac{y(6+y)}{6+2\sqrt{2}\,y}

1. 正常水深

將上述面積與水力半徑代入曼寧公式：

30=10.02 y(6+y)(y(6+y)6+22 y)2/3(0.001)1/230=\frac{1}{0.02}\,y(6+y) \left(\frac{y(6+y)}{6+2\sqrt{2}\,y}\right)^{2/3} (0.001)^{1/2}

此式對 yy 為非線性方程，以試算或數值迭代求根，得到：

yn≈1.954 m\boxed{y_n\approx1.954\ \mathrm{m}}
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第 二 題20 分

公路橫斷水流的通路時，可設置涵洞使水流穿越。此涵洞之進水口控制的流況通常可分為哪四種？詳述說明之。

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核心觀念

涵洞的水理控制位置可分為進水口控制與出水口控制。本題問的是進水口控制下，依進、出水端是否淹沒所區分的四種流況。

進水口控制時，流量主要受上游水頭、涵洞入口形狀與面積、入口邊緣及收縮情形影響。入口附近形成控制斷面，通常在入口下游附近達臨界水深，之後涵洞內為超臨界流。只要下游水位沒有高到足以改變入口控制，出水端的水位及涵洞沿程摩擦對流量的影響較小。

判斷四種流況時，先看進水口是否淹沒，再看出水口是否淹沒；涵洞內是否滿流則另行判讀。

解題方法

以進、出水端的淹沒狀況建立分類：

流況進水口出水口主要流況
第一型未淹沒未淹沒涵洞內超臨界，至出口附近接近正常水深
第二型未淹沒淹沒涵洞內先為超臨界，出口附近可能發生水躍
第三型淹沒未淹沒入口控制，涵洞內仍可為部分滿流及超臨界流
第四型淹沒淹沒兩端水位均高，但涵洞內仍可能未滿流；須注意通氣與壓力變化

第一型：進、出水口均未淹沒

上游水位未淹過涵洞入口頂部，出水口也未被下游水位淹沒。水流通過入口收縮後加速，通常在入口下游形成臨界水深，涵洞內以超臨界流為主；至出口附近，水深逐漸接近正常水深。

此型流況的特徵是入口及出口均可自由排水，涵洞內通常為部分滿流。

第二型：進水口未淹沒、出水口淹沒

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第 三 題20 分

有一流量 QQ 水流流經平行雙管系如下圖所示。若 ABAB 管長 150 m150\ \mathrm{m}、管徑 0.6 m0.6\ \mathrm{m}；BCBC 沿 1 號路徑管長 1200 m1200\ \mathrm{m}、管徑 0.45 m0.45\ \mathrm{m}；沿 2 號路徑管長 1500 m1500\ \mathrm{m}、管徑 0.3 m0.3\ \mathrm{m}；且 CDCD 管長 300 m300\ \mathrm{m}、管徑 0.45 m0.45\ \mathrm{m}。

假設沿管路產生之摩擦損失條件均相同，忽略所有次要損失，以曼寧公式計算水頭損失，曼寧糙度係數 n=0.013n=0.013。試求：

(一) 從 BB 點到 CC 點之水頭損失為何？（10 分）

(二) 從 AA 點到 DD 點之水頭損失為何？（10 分）

答案皆以 hL=KQxh_L=KQ^x 之形式表示。

附圖示意：AA 點經 ABAB 管連接至 BB 點；由 BB 點分為 1 號及 2 號兩條平行路徑，於 CC 點匯合；再經 CDCD 管連接至 DD 點。圖中標示水頭損失 hLh_L。註：圖片不依實際比例繪製。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查滿管流的曼寧摩擦水頭損失，以及平行管路的流量分配。各管段粗糙度相同，且忽略次要損失；圓管以滿管狀態計算，因此水力半徑 R=D/4R=D/4。

曼寧式為

V=1nR2/3Sf1/2,Q=AVV=\frac{1}{n}R^{2/3}S_f^{1/2},\qquad Q=AV

由此可得長度為 LL 的管段水頭損失：

hL=LSf=n2LA2R4/3Q2=KQ2h_L=L S_f =\frac{n^2L}{A^2R^{4/3}}Q^2 =KQ^2

其中 A=πD2/4A=\pi D^2/4，且 K=n2L/(A2R4/3)K=n^2L/(A^2R^{4/3})。因此，本題答案中的指數 x=2x=2。

解題方法

先分別計算各管段的 KK 值。代入 n=0.013n=0.013、R=D/4R=D/4 與 A=πD2/4A=\pi D^2/4，得到：

管段長度 LL（m）管徑 DD（m）KK
ABAB1500.603.979
BCBC 路徑 112000.45147.628
BCBC 路徑 215000.301604.100
CDCD3000.4536.907

此處 QQ 以 m3/s\mathrm{m^3/s} 計，水頭損失以 m\mathrm{m} 計。

（一）BB 點至 CC 點水頭損失

兩條平行路徑的端點相同，因此水頭損失相等：

K1Q12=K2Q22K_1Q_1^2=K_2Q_2^2

且總流量為 Q=Q1+Q2Q=Q_1+Q_2。平行管路的等效係數為

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第 四 題20 分

河川與海洋或湖泊相銜接部分稱為河口，常因其異質作用，使得河道變寬、流速改變，於出口處經常形成沙洲。以輸沙之觀點出發，依大河川及小河川（或區域排水）二類，分別提出河口治理之方法，使得河道於計畫洪水量發生時，水流可順利安全通過。

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核心觀念

河口是河川與海洋或湖泊交會的過渡區。河道展寬後，水流流速與輸砂能力下降；海浪、沿岸流及潮汐又會搬運並堆積泥砂，因此河口容易形成沙洲、攔門砂洲或淤積淺灘，縮小通洪斷面，抬高洪水位。

治理的目標，是讓河口在計畫洪水量發生時維持足夠的通洪能力。依輸砂特性，需分別考量大河川與小河川或區域排水：

  • 大河川輸砂量大，洪水時具有較強的輸砂與沖刷能力，治理重點是穩定河口流路、減少沿岸漂砂造成的淤積，並維持足夠的河口斷面。
  • 小河川或區域排水流量與輸砂能力較小，常態水流不易自行沖開沙洲；治理重點是降低阻水沙洲，確保洪水初期即可出流，避免河水受阻而壅高。

解題方法

依題意採「輸砂來源與河川沖砂能力」作為分類標準，先說明沙洲為何形成，再分別提出可維持通洪能力的工程與管理方法。答題時須寫出方法及其作用，不能只列設施名稱。

一、大河川

  1. 穩定河口流路，設置導流堤或導流設施 視河口地形與沿岸漂砂方向，設置單側或雙側導流堤，使河川出流集中、流路固定，並減少沿岸漂砂直接進入河口造成淤積。設計時應考量導流堤長度、間距與方向，避免將淤積問題轉移至鄰近海岸。

  2. 疏濬河口及必要的通洪水道 對已形成的攔門砂洲或河口淺灘進行疏濬，恢復所需水深與通洪斷面。疏濬位置須配合河道流路及洪水流況規劃，並評估挖深後是否會迅速回淤。

  3. 維持洪水沖刷與砂洲沖散的條件 大河川洪水流量大，可利用洪水沖刷能力使部分砂洲沖開或降低；治理上可配合疏濬、局部開口及導流設施，讓洪水流束集中於預定通道，促進砂洲沖散並減少洪水壅高。

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第 五 題20 分

於地下水理論中，考量一均質且具等向性之水平非拘限（unconfined）含水層內之地下水抽水，假設水井完全貫穿含水層，請推導水井力學估算抽水量之平衡公式，即西姆（Thiem）公式。

請以 QQ 表抽水量，hh 表距離抽水井中心 rr 處之不透水底部起算之水深，KK 表水力傳導度，DD 表含水層厚度，抽水井半徑為 rwr_w，抽水井水位為 hwh_w，影響半徑為 r0r_0。以上符號不一定全用，若有不足，可自行定義。

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核心觀念

本題考查非拘限含水層的穩定徑向抽水，以及如何由達西定律推導西姆（Thiem）公式。非拘限含水層的流動厚度會隨水位變化，因此在距井心 rr 處，流通截面積為 2πrh2\pi r h；這是推導時與拘限含水層公式的主要差異。

假設含水層均質、等向，水井完全貫穿含水層，地下水作穩定、水平且軸對稱的徑向流動，並忽略井內損失與垂向流動。

解題方法

取距井心 rr 處、厚度為 drdr 的圓柱面作為流通截面。以抽水量 QQ 表示流向水井的流量，達西定律給出：

Q=KAiQ=K A i

其中，圓柱面的流通面積 A=2πrhA=2\pi r h，水力坡降大小為 i=−dhdri=-\dfrac{dh}{dr}。水位向井心降低，因此沿半徑向外方向 hh 隨 rr 增加，故可寫成：

Q=−2πKrhdhdrQ=-2\pi K r h\frac{dh}{dr}

分離變數：

Q2πKdrr=−h dh\frac{Q}{2\pi K}\frac{dr}{r}=-h\,dh

以井壁 r=rw, h=hwr=r_w,\ h=h_w 為內側邊界，以影響半徑 r=r0, h=Dr=r_0,\ h=D 為外側邊界，兩側積分：

Q2πK∫rwr0drr=−∫hwDh dh\frac{Q}{2\pi K}\int_{r_w}^{r_0}\frac{dr}{r} = -\int_{h_w}^{D}h\,dh
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