107 高普考高考二級 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題考查工程經濟學中兩大核心支柱概念：投資方案評估指標（IRR 與 ERR）與貨幣時間價值之計息基準（名義利率與有效利率）。

1. 投資報酬率體系（IRR vs. ERR）：

• 內部投資報酬率（IRR）：純粹由專案內部現金流量決定的固有報酬率，其本質是使「淨現值為零」的折現率，或使「未回收投資餘額」在期末剛好歸零的利率。其關鍵隱含假設為「專案各期產生的淨現金流入皆以 IRR 本身再投資」。
• 外部投資報酬率（ERR）：為解決 IRR 不符實務的再投資假設（過高估計）及非常態現金流量產生的「多重根（Multiple IRRs）」問題，外生引入合理的外部再投資率（通常為基線報酬率 $MARR$ 或資金成本）所計算出的報酬率。

2. 利率度量體系（名義利率 vs. 有效利率）：

• 名義利率（Nominal Interest Rate, $r$）：未考慮期中複利效應的票面報價利率，通常為「每一複利期利率 $\times$ 一年內複利期數」。
• 有效利率（Effective Interest Rate, $i_e$）：完整考慮一年中多次複利滾存累積效應後，資金實際產生的年實質增長率。

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解題方法

國家考試名詞解釋題每小題 5 分，欲奪得滿分，必須採取「嚴格定義 $\to$ 數學式/模型 $\to$ 經濟意義與決策準則 $\to$ 橫向對比或缺點」的四段論述結構：

• (一) 內部投資報酬率：點出淨現值為零（$NPW=0$）、未回收本金餘額遞減動態過程、再投資率假設與非常態現金流量之限制。
• (二) 外部投資報酬率：點出引進外部再投資率（如 $MARR$）之必要性、以修正內部報酬率法（MIRR）建立收支平衡方程式、唯一解之優點。
• (三) 有效利率：列出離散複利與連續複利公式，說明其反映真實借貸成本或投資收益率之特性。
• (四) 名義利率：定義期利率與期數之乘積，並推導當複利期數 $m=1$ 與 $m>1$ 時與有效利率之大小關係。

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名詞深度解析（考卷標準結構）

(一) 內部投資報酬率（Internal Rate of Return, IRR）

1. 定義： 使專案在壽期內的所有現金流入現值等於現金流出現值的折現率；亦即令淨現值（$NPW$）等於零的平衡利率 $i^*$： $NPW(i^*) = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1 + i^*)^t} = 0$ 其中 $CF_t$ 為第 $t$ 期之淨現金流量，$n$ 為專案評估壽期。
2. 經濟意義：

• 代表尚未回收之投資本金餘額（Unrecovered Balance）在其存續期間所賺取的實質回報率。期末時，未回收餘額恰好被全數清償歸零。
• 決策準則：若 $IRR \ge MARR$，則單一獨立方案在經濟上可行。

3. 特性與限制：

• 再投資假設：隱含假設中間回收的現金流入均能以 $i^*$ 進行再投資，若 $IRR$ 極高，此假設往往過度樂觀。
• 多重解問題：若現金流量序列之符號變更超過一次（非常態現金流量），根據笛卡兒符號法則（Descartes' Rule of Signs），可能出現多個正實數根或無實數解。

(二) 外部投資報酬率（External Rate of Return, ERR）

1. 定義： 為克服 IRR 內生再投資假設不切實際及多重解的缺點，直接假設專案產生的正現金流入均以「外部再投資率」（通常為公司的 $MARR$ 或資金成本 $c$）滾存累積，計算出的等效年報酬率 $i_{err}$。
2. 數學公式（以修正內部報酬率法 MIRR 為例）： 將所有現金流出折現至第 0 期（初現值），將所有現金流入以 $MARR$ 複利滾存至第 $n$ 期（終值），兩者透過 $i_{err}$ 折現平衡： $PW_{\text{流出}}(MARR) \cdot (1 + i_{err})^n = FW_{\text{流入}}(MARR)$ $i_{err} = \left[ \frac{FW_{\text{流入}}(MARR)}{PW_{\text{流出}}(MARR)} \right]^{\frac{1}{n}} - 1$
3. 優點與準則：

• 保證產生單一唯一解，徹底消除多重 IRR 之困擾。
• 決策準則：當 $ERR \ge MARR$ 時，方案可接受。

(三) 有效利率（Effective Interest Rate）

1. 定義： 計入一特定期間（通常為一年）內部多次計息、利滾利（Compounding）效應後，資金實際產生的實質利率，常記作 $i_a$ 或 $EAR$。
2. 計算公式：

核心觀念

本題為工程經濟學中設備重置分析（Replacement Analysis）​的經典申論題型，旨在測驗考生對於資產生命週期管理、成本結構演變與資本投資決策準則的掌握程度。其核心理論與觀念包括：

1. 現有設備（Defender）與挑戰者（Challenger）架構： 重置分析本質上是現有資產與市場上最新可替代資產間的互斥方案評估。
2. 局外人觀點（Outsider's Viewpoint / Opportunity Cost Approach）： 現有設備之沉沒成本（Sunk Cost，即過往購置成本與會計未折減帳面價值）在經濟決策中不予考慮；現有設備之初始投入成本應視為其當前市場變現價值（Net Realizable Market Value）​或稱機會成本。
3. 經濟壽命（Economic Service Life, ESL）與等額年成本（Equivalent Uniform Annual Cost, $EUAC$ 或 $AEC$）： 設備的總年成本包含資本回收成本（Capital Recovery Cost, $CR$）​與營運維護費用（Operations and Maintenance, $O\&M$）。設備隨使用時間增長，$CR$ 逐年遞減，而 $O\&M$ 逐年遞增，兩者總和最低點所對應的年限即為經濟使用壽命（$ESL$）。
4. 邊際成本決策準則（Marginal Cost Approach）： 若現有設備在未來一年的邊際成本 $MC_{D}(t+1)$，高於挑戰者之最低等額年成本 $EUAC^*_C$，即達到更新時機。

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解題方法

本題要求闡述設備更新之「理由」、「時機」並「舉例說明」。解題應採系統化論述，由定性成因（理由）出發，導向定量經濟準則（時機），最後輔以具代表性的工業工程實務案例進行整合。

一、 企業考量設備更新之理由（Reasons for Replacement）

企業設備之更換通常源於實體條件變化、技術變革、市場需求或外部環境衝擊，主要歸納為四大理由：

1. 實體劣化與損耗（Physical Deterioration / Wear and Tear）：

• 成因：設備隨長期運轉，機械零件產生磨損、腐蝕或疲勞。
• 經濟影響：設備故障頻率與非計畫性停機時間（Downtime）增加、維修與保養費用（$O\&M$）顯著攀升、生產良率下滑、能源消耗增加，使得持續運轉的邊際成本大幅提高。

2. 技術過時與陳舊（Obsolescence）：

• 成因：科技進步與研發創新，市場上出現生產效率更高、耗能更低、自動化程度更佳或加工精度更高的新型機具（Challenger）。
• 經濟影響：現有設備雖然功能完好，但在市場競爭中相形見絀，單位生產成本與產能效率落後同業，造成競爭劣勢。

3. 功能與產能不足（Inadequacy / Capacity Limitation）：

• 成因：企業業務成長、訂單規模擴大，或產品設計變更導致規格超出既有設備能力範圍。
• 經濟影響：現有設備產能無法支應市場需求，形成產能瓶頸，導致延遲交貨損失或錯失市場商機。

4. 外部法規、環保與工安要求（Regulatory, Safety, and Environmental Compliance）：

• 成因：勞工安全衛生法規、環境保護標準（如碳排放、廢水處理、噪音管制）日趨嚴格。
• 經濟影響：現有設備無法滿足最新法定標準，若改裝既有設備的成本過高或技術上不可行，便須直接除役並更新。

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二、 企業考量設備更新之時機（Timing of Replacement）

在工程經濟學中，設備更新時機不是由「耐用年數折舊完畢」或「機器徹底損壞」決定，而是依據總體經濟效益最佳化來評定。主要判斷法則如下：

1. 經濟使用壽命原則（Economic Service Life, ESL）：

• 設備在第 $n$ 年的等額年成本公式為： $EUAC(n) = \left[ P - S_n (P/F, i, n) \right] (A/P, i, n) + \sum_{t=1}^{n} O\&M_t (P/F, i, t) \cdot (A/P, i, n)$ 其中 $P$ 為初始投資（現有設備以當期市場殘值代入），$S_n$ 為第 $n$ 年末殘值，$i$ 為最低可接受報酬率（MARR），$O\&M_t$ 為第 $t$ 年營運維護成本。
• 設備的年成本曲線通常呈 U 字型，當 $EUAC(n)$ 達到最小值時，該年限即為經濟壽命。

2. 邊際成本決策準則（Marginal Cost Criterion / Year-by-Year Analysis）：

核心觀念

本題屬於工程經濟學中​「資本預算受限下之多方案評估（Capital Budgeting under Budget Constraints）」。

1. 方案間之邏輯限制（Logical Relationships）：

• 互斥關係（Mutually Exclusive）：若兩方案互斥，則不可同時選擇。若定義決策變數 $x_i \in \{0, 1\}$（$1$ 表選取，$0$ 表不選取），則 A 與 C 互斥表示為： $x_A + x_C \le 1$
• 相依關係（Contingent / Dependent）：若方案 A 相依於方案 B（即投資 A 必須以投資 B 為前提條件），表示為： $x_A \le x_B$ （選 A 必須選 B；但選 B 不一定需要選 A）。

2. 預算上限限制（Budget Constraint）： 各方案期初投資成本總和不可超過預算上限 $B = 200$ 元： $\sum C_i x_i = 80x_A + 100x_B + 130x_C \le 200$
3. 決策準則： 在所有滿足各項邏輯條件與預算限制的可行方案組合（Feasible Bundles）​中，選取總淨現值（Total Net Present Value, $\sum \text{NPV}$）最大者為最佳方案組合。未用盡的預算假設以最低可接受報酬率（MARR）進行一般投資，其邊際 NPV 視為 $0$。

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解題方法

面對有限方案（$n = 3$）且具多重限制的評估問題，最嚴謹且不易遺漏的解題切入點為​「完全窮舉互斥組合法（Mutually Exclusive Combinations Enumeration）」。

步驟一：列出所有理論上的可能組合

三種方案共有 $2^3 = 8$ 種理論組合： $\emptyset$（都不投資）、$\{A\}$、$\{B\}$、$\{C\}$、$\{A, B\}$、$\{A, C\}$、$\{B, C\}$、$\{A, B, C\}$。

步驟二：檢驗各組合之可行性與計算淨現值

逐一檢核各組合是否滿足：

1. 互斥限制（不可同時包含 A 與 C）
2. 相依限制（包含 A 者必包含 B）
3. 預算限制（總期初成本 $\le 200$）

組合編號	方案組合	總期初成本（元）	預算檢驗（$\le 200$）	邏輯關係檢驗	可行性判定	總淨現值 $\sum \text{NPV}$（元）
1	不投資（現狀）	$0$	合格	合格	可行	$0$
2	$\{A\}$	$80$	合格	不合格（違反 A 相依於 B）	不可行	—
3	$\{B\}$	$100$	合格	合格	可行	$15$
4	$\{C\}$	$130$	合格	合格	可行	$30$
5	$\{A, B\}$	$80 + 100 = 180$	合格	合格（滿足 A 必有 B，且無 C）	可行	$10 + 15 = 25$
6	$\{A, C\}$	$80 + 130 = 210$	不合格（超過 200）	不合格（A、C 互斥；且缺 B）	不可行	—

核心觀念

本題評量工程經濟學中永久性投資（Permanent Investment）、資本化成本（Capitalized Cost）​與延遲永久年金（Deferred Perpetuity）​之折現計算能力。

1. 等額年金現值公式（Uniform Series Present Worth）： 有限期 $n$ 期、折現率 $i$ 下，每期期末年金 $A$ 折現至第 0 期之現值因子為： $(P/A, i, n) = \frac{(1+i)^n - 1}{i(1+i)^n} = \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$

2. 永久年金現值公式（Perpetuity）： 當等額年金持續至無限期（$n \to \infty$）時，由 $\lim_{n \to \infty} (1+i)^{-n} = 0$，其現值簡化為： $P = \frac{A}{i}$

3. 延遲永久年金之折現（Deferred Perpetuity）： 若永久年金非由第 1 期開始，而是自第 $k+1$ 期起每年發生 $A$，則其在第 $k$ 期期末之等值價值為： $P_k = \frac{A}{i}$ 再利用一次給付現值因子 $(P/F, i, k) = (1+i)^{-k}$ 折現回第 0 期： $P_0 = P_k \times (P/F, i, k) = \frac{A}{i} \times (1+i)^{-k}$

4. 投資方案現值（Present Worth, $PW$ / Net Present Value, $NPV$）： 工程經濟學中「方案現值」係指納入期初投資支出（流出）與後續營運淨利（流入）後，所有現金流量折現至第 0 期之代數和： $PW = -I_0 + PW_{\text{流入}}$

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解題方法

步驟一：現金流量分析與參數設定

• 期初投資支出（$t = 0$）：$I_0 = 100\text{ 萬元}$（現金流出 $-100\text{ 萬元}$）
• 第 1 年至第 5 年淨利（$t = 1 \sim 5$）：$A_1 = 8\text{ 萬元/年}$
• 第 6 年起至無限期淨利（$t = 6 \sim \infty$）：$A_2 = 12\text{ 萬元/年}$
• 年利率（折現率）：$i = 10\% = 0.10$

相關因子計算： $(1+i)^5 = (1.1)^5 = 1.61051$ $(P/F, 10\%, 5) = (1.1)^{-5} = \frac{1}{1.61051} \approx 0.620921$ $(P/A, 10\%, 5) = \frac{1 - 0.620921}{0.10} = 3.79079$

步驟二：分段計算未來淨利之現值總和（$PW_{\text{流入}}$）

1. 第 1 至第 5 年淨利折現值（$PW_1$）： $PW_1 = A_1 \times (P/A, 10\%, 5) = 8 \times 3.79079 = 30.3263\text{ 萬元}$

2. 第 6 年起至永遠之淨利折現值（$PW_2$）： 第 6 年起至永遠每年 12 萬元的年金，在第 5 年期末的等值現值為： $P_5 = \frac{A_2}{i} = \frac{12}{0.10} = 120\text{ 萬元}$ 將 $P_5$ 往前折現 5 年至第 0 期： $PW_2 = P_5 \times (P/F, 10\%, 5) = 120 \times 0.620921 = 74.5105\text{ 萬元}$

核心觀念

本題評估企業在導入自動化設備時的「租賃或自購」（Lease or Buy）互斥決策，核心觀念如下：

1. 年等值成本法（Equivalent Uniform Annual Cost, EUAC / Annual Worth, AW）： 在兩方案產出效用相同的情況下，屬於標準的「服務型方案」（Service Projects），決策準則為選擇年等值成本最低者。
2. 資本回收成本（Capital Recovery, CR）： 將期初投資成本 $P$ 扣除期末殘值 $S$ 後，折算為各期均等之資本回收成本： $CR = P(A/P, i, N) - S(A/F, i, N)$ 本題殘值 $S = 0$，故公式簡化為： $CR = P(A/P, i, N) = P \cdot \left[ \frac{i(1+i)^N}{(1+i)^N - 1} \right]$
3. 週期性現金流之年等值化（Sub-cycle Uniform Equivalent）： 每 $k$ 年固定發生一次的週期性費用 $F$，無須繁複地將所有期數逐一折現，可直接在單一週期（$k$ 年）內利用償債基金因子 $(A/F, i, k)$ 轉為年等值成本： $A = F(A/F, i, k) = F \cdot \left[ \frac{i}{(1+i)^k - 1} \right]$

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解題方法

給定條件：

• 市場折現率 $i = 5\%$
• 壽命週期 $N = 10$ 年

步驟一：計算「租用方案」之年等值成本（$EUAC_{\text{租用}}$）

題目設定每年底支付租金 300 萬元，現金流本身即為每年均等支出之年金（$A$）： $EUAC_{\text{租用}} = 300 \text{ 萬元/年}$

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步驟二：計算「自購方案」之年等值成本（$EUAC_{\text{自購}}$）

自購方案之年等值成本由「設備資本回收成本」與「每兩年保養維護費之等額年成本」兩部分組成：

1. 期初投資之資本回收成本（$CR$）： 期初支出 $P = 2,000$ 萬元，$N = 10$ 年，$S = 0$。 計算資本回收因子 $(A/P, 5\%, 10)$： $(1+0.05)^{10} \approx 1.628895$ $(A/P, 5\%, 10) = \frac{0.05 \times 1.628895}{1.628895 - 1} = \frac{0.081445}{0.628895} \approx 0.129505$ $CR = 2,000 \times 0.129505 = 259.01 \text{ 萬元/年}$

2. 每兩年保養費用之年等值（$A_M$）： 每兩年年底支付 20 萬元（分別於第 2、4、6、8、10 年底各支付 20 萬元）。 以 2 年為一週期計算其等額年金： $(A/F, 5\%, 2) = \frac{0.05}{(1+0.05)^2 - 1} = \frac{0.05}{1.1025 - 1} = \frac{0.05}{0.1025} = \frac{1}{2.05} \approx 0.487805$ $A_M = 20 \times (A/F, 5\%, 2) = 20 \times \frac{1}{2.05} \approx 9.76 \text{ 萬元/年}$

3. 自購方案總年等值成本： $EUAC_{\text{自購}} = CR + A_M = 259.01 + 9.76 = 268.77 \text{ 萬元/年}$

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