111 高普考高考二級 氣象 應用數學(包括微積分、微分方程、初步複變函數與向量分析) 考古題詳解

核心觀念

本題考查微積分中單變數函數在閉區間上的絕對極值（Absolute Extrema），核心理論為：

1. 極值定理（Extreme Value Theorem）：連續函數在閉區間 $[a, b]$ 上必存在絕對最大值與絕對最小值。
2. 費馬引理（Fermat's Theorem on Stationary Points）：若可微函數在內部點取得局部極值，則該點之一階導數必為零（$f'(x) = 0$）。
3. 閉區間法（Closed Interval Method）：在閉區間 $[a, b]$ 上尋找連續函數的絕對極值，僅需計算並比較下列兩組候選點（Candidates）之函數值：

• 落在開區間 $(a, b)$ 內的臨界點（Critical Points，即 $f'(x) = 0$ 之點）。
• 區間的兩端點（Endpoints，即 $x = a$ 與 $x = b$）。 其中的最大值即為絕對最大值，最小值即為絕對最小值。

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解題方法

求 $f(x)=4x^3+6x^2-24x-5$ 在 $[0, 2]$ 的極值，步驟如下：

步驟一：求一階導數並求臨界點 對 $f(x)$ 微分： $f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-24x-5) = 12x^2 + 12x - 24$

提出公因數並因式分解： $f'(x) = 12(x^2 + x - 2) = 12(x + 2)(x - 1)$

令 $f'(x) = 0$，解得： $x = 1 \quad \text{或} \quad x = -2$

步驟二：篩選落在定義區間內的候選點 題目給定的區間為 $[0, 2]$：

• $x = -2 \notin [0, 2]$（不合，予以捨去）。
• $x = 1 \in (0, 2)$（落在區間內部，為有效臨界點）。

核心觀念

本題考查**二階常係數非齊次線性常微分方程（Second-Order Linear Non-Homogeneous ODE with Constant Coefficients）**之初值問題（Initial Value Problem, IVP）。核心觀念與相關定理如下：

1. 通解結構定理： 非齊次微分方程 $L[y] = r(x)$ 的通解 $y(x)$ 由齊次通解 $y_h(x)$ 與非齊次特解 $y_p(x)$ 線性疊加而成：

$$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$

2. 特徵方程式與共軛複數根： 對應齊次方程式 $y'' + ay' + by = 0$，其特徵方程式為 $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$。若特徵根為共軛複數 $\lambda = \alpha \pm \beta i$，則齊次解為：

$$y_h(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$$

3. 待定係數法（Method of Undetermined Coefficients）： 當外力項（非齊次項）為指數函數 $r(x) = k e^{mx}$，且 $m$ 不是特徵方程式的根時，可假設特解為 $y_p(x) = A e^{mx}$。
4. 初值條件求常數： 利用給定的 $y(0) = y_0$ 與 $y'(0) = y'_0$ 聯立解出積分常數 $C_1$ 與 $C_2$。

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解題方法

步驟一：求對應之齊次解 $y_h(x)$

考慮對應的齊次微分方程：

$$y'' + 2y' + 5y = 0$$

寫出其特徵方程式（Characteristic Equation）：

$$\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0$$

利用二次方程式公式求根：

$$\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i$$

特徵根為一對共軛複數，其中實部 $\alpha = -1$，虛部 $\beta = 2$。 因此，齊次通解為：

$$y_h(x) = e^{-x} (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$$

（其中 $C_1, C_2$ 為任意實數常數）

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步驟二：求非齊次特解 $y_p(x)$

方程式右側為 $r(x) = 20e^{3x}$。 因為 $\lambda = 3$ 並非特徵方程式之根（無共振現象），故採用待定係數法，假設特解形式為：

$$y_p(x) = A e^{3x}$$

對 $y_p(x)$ 微分兩次：

$$y_p'(x) = 3A e^{3x}$$ $$y_p''(x) = 9A e^{3x}$$

將 $y_p, y_p', y_p''$ 代入原微分方程 $y'' + 2y' + 5y = 20e^{3x}$：

$$9A e^{3x} + 2(3A e^{3x}) + 5(A e^{3x}) = 20e^{3x}$$

同除以 $e^{3x}$ 並整理係數：

$$(9 + 6 + 5) A = 20 \implies 20A = 20 \implies A = 1$$

得特解：

$$y_p(x) = e^{3x}$$

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步驟三：寫出原方程式之通解 $y(x)$

結合齊次解與特解：

$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-x} (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) + e^{3x}$$

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核心觀念

本題考查複變函數論中封閉路徑積分的計算，核心工具為柯西高階微分公式（Cauchy's Integral Formula for Derivatives）或留數定理（Residue Theorem）。

柯西高階微分公式

設封閉路徑 $C$ 為一條簡單正向（逆時針）閉曲線，函數 $f(z)$ 在 $C$ 及其內部為解析函數（Analytic function）。若 $z_0$ 為 $C$ 內部的任意一點，則 $f(z)$ 在 $z_0$ 處各階導數均存在，且滿足： $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz$ 經移項整理，可直接用於計算路徑積分： $\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z_0)$

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解題方法

步驟一：判斷奇異點與路徑之幾何關係

被積函數為 $g(z) = \dfrac{f(z)}{z^3} = \dfrac{e^{3z}}{z^3}$。

1. 分母為零之處為 $z = 0$，此為被積函數唯一的奇異點（Singularity）。
2. 積分路徑 $C$ 為正向單位圓 $|z| = 1$，其中心在原點、半徑為 $1$。
3. 奇異點 $z_0 = 0$ 嚴格落在路徑 $C$ 的內部（$|0| = 0 < 1$）。

步驟二：確認解析條件並對應公式階數

分子函數 $f(z) = e^{3z}$ 為整函數（Entire function），在全複數平面處處解析，符合柯西微分公式之條件。 將分母表示為標準型式： $z^3 = (z - 0)^{2+1}$ 比對公式 $(z - z_0)^{n+1}$，可知：

• 奇異點 $z_0 = 0$
• 微分階數 $n = 2$

步驟三：逐階微分並代入奇異點

對 $f(z) = e^{3z}$ 進行微分運算： $f'(z) = \frac{d}{dz}\left(e^{3z}\right) = 3e^{3z}$ $f''(z) = \frac{d^2}{dz^2}\left(e^{3z}\right) = 9e^{3z}$ 將 $z_0 = 0$ 代入二階導函數： $f''(0) = 9e^{3 \cdot 0} = 9e^0 = 9$

核心觀念

本題評量向量分析中的平面向量場線積分與功的計算。主要涵蓋兩大核心工具：

1. 向量場線積分的定義（功）： 力場 $\mathbf{F} = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j}$ 沿著路徑 $C$ 對物體所做的功為：

$$W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C P\,dx + Q\,dy$$

2. 格林定理（Green's Theorem）： 若 $C$ 為平面上分段光滑、簡單且為正向（逆時針方向，Counterclockwise）的封閉曲線，$D$ 為 $C$ 所圍成的有界區域，且分量函數 $P(x, y)$ 與 $Q(x, y)$ 在包含 $D$ 的開區域上具備一階連續偏導函數，則：

$$\oint_C (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$$

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解題方法

此題為封閉路徑的線積分，最適當且最迅速的解法為格林定理；亦可採用參數式直接積分進行求解與驗算。以下提供標準解法與替代解法。

方法一：格林定理（標準解法，推薦首選）

1. 確定路徑與區域：

• 曲線 $C$ 為以原點為圓心的單位圓：$x^2 + y^2 = 1$。
• 正向繞一圈即代表逆時針方向。
• $C$ 所圍成的內部區域 $D$ 為單位圓盤：$D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}$。
• 區域 $D$ 的面積為 $\iint_D dA = \pi \times 1^2 = \pi$。

2. 計算各分量的偏導函數： 由題意，$\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} = 3y\mathbf{i} - 2x\mathbf{j}$，得：

• $P(x, y) = 3y \implies \frac{\partial P}{\partial y} = 3$
• $Q(x, y) = -2x \implies \frac{\partial Q}{\partial x} = -2$

3. 代入格林定理計算：

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$$

將偏導數代入：

$$\iint_D \left( -2 - 3 \right) dA = \iint_D (-5)\,dA = -5 \iint_D dA$$

由於 $D$ 為半徑為 $1$ 的圓，其面積為 $\pi$：

$$-5 \times \pi = -5\pi$$

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方法二：參數式直接積分（定義法，可用於驗算）

1. 將路徑 $C$ 參數化： 單位圓正向（逆時針）一圈的參數式可設為：

$$\mathbf{r}(t) = \cos t\,\mathbf{i} + \sin t\,\mathbf{j}, \quad t \in [0, 2\pi]$$

其微分向量為：

$$d\mathbf{r} = (-\sin t\,\mathbf{i} + \cos t\,\mathbf{j})\,dt$$