111 高普考高考二級 氣象 高等大氣動力學 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量大氣動力學中**羅士培波（Rossby wave，又稱行星波）**的動力推導與物理傳播特性。核心概念與關鍵公式如下：

1. 控制方程式：在中緯度 $\beta$ 平面（$\beta$-plane approximation）假設下，採用二維非輻散順壓渦度方程式（Barotropic Vorticity Equation）： $\frac{D (\zeta + f)}{Dt} = 0$ 其中相對渦度 $\zeta = \nabla^2 \psi$，行星渦度隨緯度變化量取一階近似 $f = f_0 + \beta y$，$\psi$ 為流函數。
2. 頻散關係式（Dispersion Relation）：定義波數向量 $\vec{K} = (k, l)$，全波數平方 $K^2 = k^2 + l^2$。
3. 相速（Phase Speed）：波動相位等值面（如槽脊線）的移動速度，緯向相速定義為 $c_x = \frac{\omega}{k}$。
4. 群速（Group Velocity）：波動波包與能量的傳遞速度，定義為 $\vec{c}_g = \nabla_{\vec{K}} \omega = \left(\frac{\partial \omega}{\partial k}, \frac{\partial \omega}{\partial l}\right)$。
5. 頻散性（Dispersion）：相速度隨波數（波長）變化的物理現象；當群速度不等於相速度時，波動即具頻散性。

解題方法

一、 頻散關係式之推導

設背景大氣為均勻緯向基流 $\bar{U}$（常數），無經向基流（$\bar{V} = 0$）。將全流場分解為基流與微小擾動量： $u = \bar{U} + u', \quad v = v', \quad \psi = -\bar{U}y + \psi'(x, y, t)$ 擾動速度滿足地轉非輻散關係：$u' = -\frac{\partial \psi'}{\partial y}$、$v' = \frac{\partial \psi'}{\partial x}$，擾動渦度 $\zeta' = \nabla^2 \psi'$。

將變數代入順壓渦度方程式並進行線性化，忽略擾動二次微小項，得線性化渦度方程： $\left(\frac{\partial}{\partial t} + \bar{U}\frac{\partial}{\partial x}\right)\nabla^2 \psi' + \beta \frac{\partial \psi'}{\partial x} = 0$

代入正弦平面波解 $\psi'(x, y, t) = \operatorname{Re}\left\{ \Psi_0 e^{i(kx + ly - \omega t)} \right\}$（其中 $\Psi_0$ 為振幅，$k$ 為緯向波數，$l$ 為經向波數，$\omega$ 為頻率）： $-(-i\omega + i\bar{U}k)(k^2 + l^2) + i\beta k = 0$ 整理可得羅士培波頻散關係式： $\omega = \bar{U}k - \frac{\beta k}{k^2 + l^2} = \bar{U}k - \frac{\beta k}{K^2}$

二、 相速（Phase Speed）特徵

1. 緯向相速公式： $c_x = \frac{\omega}{k} = \bar{U} - \frac{\beta}{k^2 + l^2} = \bar{U} - \frac{\beta}{K^2}$
2. 內在傳播方向（相對於平均氣流）： $c_x - \bar{U} = -\frac{\beta}{K^2} < 0$ 由於 $\beta > 0$ 且 $K^2 > 0$，相對於基流 $\bar{U}$，羅士培波之相位恆向西傳播（內在西傳性，Intrinsic westward propagation）。這是大氣絕對渦度守恆下，經向位移受到 $\beta$ 效應提供之回後力（restoring force）所致。
3. 地面相對相速（絕對相速）：

• 超長波（Ultra-long waves，$K^2 < \beta/\bar{U}$）：波長極長，$c_x < 0$，相位對地向西退行（Retrograde）。
• 駐波（Stationary Rossby wave，$K_s^2 = \beta/\bar{U}$）：$c_x = 0$，槽脊相對於地面靜止不動，對應大型尺度定常脊槽系統。
• 短波（Synoptic short waves，$K^2 > \beta/\bar{U}$）：$c_x > 0$，雖然相對於基流偏西，但因西風基流牽引效應較強，對地呈現向東移動。

三、 群速（Group Velocity）特徵

群速度代表能量與波包（Wave packet）的傳遞方向與速率：

1. 緯向群速（$c_{gx}$）： $c_{gx} = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \bar{U} - \beta \frac{(k^2 + l^2) - k(2k)}{(k^2 + l^2)^2} = \bar{U} + \frac{\beta(k^2 - l^2)}{(k^2 + l^2)^2}$

• 一維純緯向波動（$l = 0$）： $c_{gx} = \bar{U} + \frac{\beta}{k^2}$ 此時 $c_{gx} - \bar{U} > 0$，能量傳遞相對於基流恆向東傳。同時：

核心觀念

本題考兩個觀念：靜力平衡下，大氣內能與重力位能的總量關係；以及可用位能（available potential energy, APE）如何隨水平熱力差異改變。

可用位能是大氣總位能中，能藉由大氣運動轉換成動能的部分。它取決於大氣相對於可逆重排後參考狀態所多出的能量；水平溫度差異愈大，通常可用位能愈多。

解題方法與推導

（一）內能與位能之比

假設大氣為乾燥理想氣體、處於靜力平衡，並取地表高度為零。以單位水平面積計算，內能為

其中 $c_v$ 為定容比熱，$p_s$ 為地面氣壓。

重力位能可寫為

利用靜力平衡 $dp/dz=-\rho g$ 與理想氣體方程 $p=\rho RT$，可得

因此

乾燥空氣近似為雙原子氣體，$c_v=\frac{5}{2}R$，故

核心觀念

本題評量**自然座標系統（Natural Coordinate System）下大氣水平運動方程式之推導，以及利用該座標系探討曲率氣流之平衡運動（傾度風平衡與旋衡平衡）**的物理機制。主要涉及以下核心觀念與公式：

1. 自然座標定義：以質點運動方向為基準，切線單位向量 $\vec{t}$ 沿風向（$\vec{V} = V\vec{t}$，風速 $V \ge 0$）；法線單位向量 $\vec{n}$ 指向運動方向左側（$\vec{n} = \vec{k} \times \vec{t}$）；垂直單位向量 $\vec{k}$ 指向天頂。曲率半徑 $R$ 定義為：曲率中心在氣流左側（氣旋式彎曲）時 $R > 0$；曲率中心在氣流右側（反氣旋式彎曲）時 $R < 0$。
2. 水平加速度全微分：$\dfrac{D\vec{V}}{Dt} = \dfrac{DV}{Dt}\vec{t} + \dfrac{V^2}{R}\vec{n}$，其中 $\dfrac{V^2}{R}\vec{n}$ 為向心加速度。
3. 傾度風平衡（Gradient Wind Balance）：定常、無摩擦條件下，法線方向加速度由氣壓梯度力與科氏力共同平衡： $\frac{V^2}{R} + fV = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n}$
4. 旋衡平衡（Cyclostrophic Balance）與羅士比數（Rossby Number）：當水平尺度極小、風速極大時，羅士比數 $Ro = \dfrac{V}{fL} \gg 1$，科氏力相對離心力與氣壓梯度力可忽略不計，法線平衡退化為氣壓梯度力與向心加速度之平衡。

解題方法

一、自然座標大氣水平動量方程之推導

在大氣水平運動中，作用於質點上的力包含水平氣壓梯度力、科氏力與摩擦力：

1. 速度向量：$\vec{V} = V\vec{t}$（$V \ge 0$）。
2. 質點加速度： $\frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{D(V\vec{t})}{Dt} = \frac{DV}{Dt}\vec{t} + V\frac{D\vec{t}}{Dt}$ 由於 $\vec{t}$ 為單位向量，其對時間變化量指向軌跡曲率中心，大小為 $\dfrac{V}{R}$，即 $\dfrac{D\vec{t}}{Dt} = \dfrac{V}{R}\vec{n}$。故加速度為： $\frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{DV}{Dt}\vec{t} + \frac{V^2}{R}\vec{n}$
3. 受力分析：

• 水平氣壓梯度力：$-\dfrac{1}{\rho}\nabla p = -\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial p}{\partial s}\vec{t} - \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial p}{\partial n}\vec{n}$（$s$ 為沿軌跡之距離）。
• 科氏力：$-f\vec{k}\times\vec{V} = -f\vec{k}\times(V\vec{t}) = -fV\vec{n}$。
• 水平摩擦力：$\vec{F}_r = F_s\vec{t} + F_n\vec{n}$。

由牛頓第二運動定律，水平動量方程為： $\frac{DV}{Dt}\vec{t} + \frac{V^2}{R}\vec{n} = \left(-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} + F_s\right)\vec{t} + \left(-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n} - fV + F_n\right)\vec{n}$

分解為沿流線（切線）與垂直流線（法線）兩分量：

• 切線分量（沿流線方向）： $\frac{DV}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} + F_s$
• 法線分量（垂直流線方向）： $\frac{V^2}{R} + fV = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n} + F_n$

二、子題 (一)：為何高壓中心氣壓梯度大小有限制，而低壓中心無限制？

忽略摩擦力（$F_n = 0$）之定常水平氣流，法線平衡式即為傾度風方程式： $\frac{V^2}{R} + fV + \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n} = 0$

將上式視為風速 $V$ 的一元二次方程式，利用一元二次公式求解 $V$： $V = -\frac{fR}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{fR}{2}\right)^2 - \frac{R}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n}}$

真實物理世界中，風速 $V$ 必須為實數（Real root），因此根號內的判別式 $\Delta$ 必須滿足大於或等於零的條件： $\Delta = \frac{f^2 R^2}{4} - \frac{R}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n} \ge 0$

以北半球（$f > 0$）為例，分別探討高壓系統與低壓系統：

1. 高壓系統（反氣旋式環流，Anticyclone）：

• 高壓中心位於氣流前進方向的右側，故曲率半徑 $R < 0$（令 $R = -|R|$）。
• 高壓中心氣壓最高，遠離中心方向氣壓降低；由於法線方向 $\vec{n}$ 指向氣流左側（即遠離高壓中心），故氣壓沿法線方向遞減，$\dfrac{\partial p}{\partial n} < 0$（氣壓梯度力指向中心外側，即 $-\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial p}{\partial n} > 0$）。
• 帶入判別式 $\Delta$： $\Delta = \frac{f^2 |R|^2}{4} - \frac{-|R|}{\rho}\left(-\left|\frac{\partial p}{\partial n}\right|\right) = \frac{f^2 |R|^2}{4} - \frac{|R|}{\rho}\left|\frac{\partial p}{\partial n}\right| \ge 0$
• 兩邊同除以 $|R|$ 可得氣壓梯度之物理限制： $\left|\frac{\partial p}{\partial n}\right| \le \frac{\rho f^2 |R|}{4}$
• 極限分析：當逐漸接近高壓中心時，$|R| \to 0$，上式右端 $\dfrac{\rho f^2 |R|}{4} \to 0$。此條件強制要求高壓中心之氣壓梯度大小必須趨近於零（$\left|\dfrac{\partial p}{\partial n}\right| \to 0$）。
• 力學機理解釋：在反氣旋中，向外的力為氣壓梯度力與離心力（$\dfrac{V^2}{|R|}$），唯一的向心束縛力為科氏力（$fV$）。由於離心力隨風速呈二次方（$V^2$）增長，而科氏力僅隨風速呈線性（$V$）增長，若向外的氣壓梯度力過大，科氏力在任何風速下均無法抗衡向外的總作用力，將無法維持穩定的平衡環流。因此高壓中心氣壓梯度具有嚴格的數值上限，高壓中心常呈現平緩寬廣的弱風區。

2. 低壓系統（氣旋式環流，Cyclone）：

• 低壓中心位於氣流前進方向的左側，故曲率半徑 $R > 0$。

核心觀念

本題考查動力氣象學中的地轉調節理論（Geostrophic Adjustment Theory），其核心物理機制建立於以下三項基石：

1. 淺水波系統中的位渦守恆（Potential Vorticity Conservation）： 在大氣遭受非地轉擾動後，系統會透過激發並向外輻散慣性重力波（inertia-gravity waves）釋放不平衡能量，最終趨近於地轉平衡態。在線性化系統中，位渦異常（potential vorticity anomaly）在調節過程中嚴格守恆。
2. 羅士比變形半徑（Rossby Radius of Deformation, $\lambda_R$）： 定義為重力波速與科氏參數之比： $\lambda_R = \frac{\sqrt{gH}}{f}$ （對於連續斜壓大氣之內部模式，則為 $\lambda_R = \frac{NH}{f}$，其中 $N$ 為布朗特—維薩拉頻率，$H$ 為特徵尺度高度）。$\lambda_R$ 代表浮力（重力波）效應與地球自轉（科氏力）效應相互抗衡的臨界動力尺度。
3. 特徵水平尺度 $L$ 與 $\lambda_R$ 的相對大小： 系統在調節後最終的平衡狀態（保留較多初始質量場或初始風場特徵），取決於擾動水平尺度 $L$ 與羅士比變形半徑 $\lambda_R$ 的相對比值。

解題方法

1. 地轉調節之數學與動力推導

考慮旋轉座標系下的線性化單層淺水波方程式組（取 $f$-plane，平均厚度為 $H$）： $\frac{\partial u}{\partial t} - f_0 v = -g \frac{\partial h}{\partial x}$ $\frac{\partial v}{\partial t} + f_0 u = -g \frac{\partial h}{\partial y}$ $\frac{\partial h}{\partial t} + H \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) = 0$

將動量方程求旋度（curl），定義相對渦度 $\zeta = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$： $\frac{\partial \zeta}{\partial t} + f_0 \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) = 0$

利用連續方程式消去水平散度 $\left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right)$，可得線性化淺水位渦守恆式： $\frac{\partial}{\partial t} \left( \zeta - \frac{f_0}{H} h \right) = 0 \implies \zeta - \frac{f_0}{H} h = q_0 \quad (\text{常數})$ 其中 $q_0 = \zeta_0 - \frac{f_0}{H} h_0$ 為初始狀態之位渦。

當調節完成達到最終穩態（$t \to \infty$）時，重力波已完全輻散，流場滿足地轉平衡： $u_\infty = -\frac{g}{f_0} \frac{\partial h_\infty}{\partial y}, \quad v_\infty = \frac{g}{f_0} \frac{\partial h_\infty}{\partial x} \implies \zeta_\infty = \frac{g}{f_0} \nabla^2 h_\infty$

將最終地轉渦度代入位渦守恆式： $\frac{g}{f_0} \nabla^2 h_\infty - \frac{f_0}{H} h_\infty = \zeta_0 - \frac{f_0}{H} h_0$

同乘以 $\frac{f_0}{g}$ 並引入羅士比變形半徑 $\lambda_R = \frac{\sqrt{gH}}{f_0}$： $\left( \nabla^2 - \frac{1}{\lambda_R^2} \right) h_\infty = \frac{f_0}{g} \zeta_0 - \frac{1}{\lambda_R^2} h_0$

若擾動的特徵水平尺度為 $L$，則拉普拉斯算子量級為 $\nabla^2 \sim -L^{-2}$，方程式之尺度量級關係可表示為： $-\left( \frac{1}{L^2} + \frac{1}{\lambda_R^2} \right) h_\infty \approx \frac{f_0}{g} \zeta_0 - \frac{1}{\lambda_R^2} h_0$

2. 兩種極限尺度之調節機制

• 大尺度情況（$L \gg \lambda_R$）： 此時 $\frac{1}{L^2} \ll \frac{1}{\lambda_R^2}$，方程式左邊以

核心觀念

本題評量大氣動力學中流體動力不穩定理論的經典課題——正壓不穩定（Barotropic Instability）。涉及的核心觀念與理論框架如下：

1. 物理本質：在無水平溫度梯度（等壓面與等密度面重合，無斜壓有效位能）的大氣中，波動擾動直接自基本態緯向平均流的「水平風切」中汲取動能，使擾動振幅呈指數成長。能量轉換路徑僅為平均動能轉化為擾動動能（$\bar{K} \to K_e$）。
2. 統御方程：二維非發散正壓渦度方程式（或準地轉正壓渦度方程），採用正規波解（Normal Mode）進行微擾線性化分析。
3. 發生條件（穩定度判準）：

• 郭曉嵐判準（Kuo's Criterion / Rayleigh-Kuo Theorem）：基本態絕對渦度的南北梯度 $\frac{d\bar{\eta}}{dy} = \beta - \frac{d^2\bar{u}}{dy^2}$ 在流場內部必須改變符號（存在極值點/反曲點），此為不穩定的必要條件。
• 費約托夫判準（Fjørtoft's Criterion）：更嚴格的必要條件，要求在反曲點處滿足 $(\bar{u} - \bar{u}_s)\left(\beta - \frac{d^2\bar{u}}{dy^2}\right) > 0$。

4. 能量轉換機制：雷諾應力（Reynolds stress）對平均剪切作功，能量轉換率公式為： $C(\bar{K}, K_e) = -\int \overline{u'v'} \frac{d\bar{u}}{dy} \, dy > 0$ 要求波動的槽脊線在水平面上呈現「逆風切傾斜」（Tilting against the shear），驅動渦旋動量通量由高風速區向低風速區輸送（順梯度傳送），進而削弱平均噴流剪切並放大擾動動能。

解題方法

本題為申論推導題，依命題的三大子問循序建立定案推導與物理說明：

一、何謂正壓不穩定？

1. 定義： 正壓不穩定是指在大氣環境不具斜壓性（等壓面與等微差比容面或等溫面平行，無有效位能 APE 蓄積）的條件下，擾動純粹透過汲取基本態緯向平均氣流的水平剪切動能（Zonal Kinetic Energy, $\bar{K}$）而自發性增強的動力不穩定現象。
2. 特徵與大氣現象：

• 系統中不存在斜壓能量轉換（即擾動有效位能與擾動動能的轉換項 $C(P_e, K_e) = 0$）。
• 水平風速隨緯度的強烈剪切（$\frac{d\bar{u}}{dy} \neq 0$）是誘發此不穩定的唯一自由能源。
• 典型實例包含：熱帶東風波（African Easterly Waves）、熱帶輻合帶（ITCZ）低壓擾動與中尺度渦旋生成、急流邊緣或極渦邊緣剪切破裂。

二、在何種條件下才會發生正壓不穩定？

以 $\beta$ 平面上的二維非發散正壓渦度方程推導不穩定的必要條件：

1. 基本態與線性化微擾方程： 設基本態為純緯向剪切流 $\mathbf{\bar{u}} = \bar{u}(y)\mathbf{i}$，流函數滿足 $\bar{u} = -\frac{d\bar{\psi}}{dy}$，基本態絕對渦度為： $\bar{\eta}(y) = f_0 + \beta y - \frac{d\bar{u}}{dy}$ 引入微小擾動 $\psi(x,y,t) = \bar{\psi}(y) + \psi'(x,y,t)$，擾動渦度 $\zeta' = \nabla^2 \psi'$。代入正壓渦度方程並忽略非線性二階項，得線性化方程： $\left( \frac{\partial}{\partial t} + \bar{u}\frac{\partial}{\partial x} \right) \nabla^2 \psi' + \frac{d\bar{\eta}}{dy} \frac{\partial \psi'}{\partial x} = 0$ 其中基本態絕對渦度之水平梯度為： $\frac{d\bar{\eta}}{dy} = \beta - \frac{d^2\bar{u}}{dy^2}$

2. 正規波解（Normal Modes）代入： 設擾動流函數為行進波形式： $\psi'(x,y,t) = \text{Re}\left\{ \phi(y) e^{i k (x - c t)} \right\}$ 其中 $k > 0$ 為實數緯向波數，$c = c_r + i c_i$ 為複數相速。若擾動發生不穩定成長，必須滿足增長率 $\sigma = k c_i > 0$（即 $c_i > 0$）。 代入線性化方程，整理得著名的 Rayleigh-Kuo 方程式： $(\bar{u} - c)\left( \frac{d^2\phi}{dy^2} - k^2\phi \right) + \frac{d\bar{\eta}}{dy}\phi = 0$

3. 郭曉嵐判準（Kuo's Criterion）之推導： 將上式同除以 $(\bar{u} - c)$，並乘以 $\phi$ 的共軛複數 $\phi^*$： $\phi^* \frac{d^2\phi}{dy^2} - k^2|\phi|^2 + \frac{\frac{d\bar{\eta}}{dy}}{\bar{u} - c}|\phi|^2 = 0$ 在緯向通道的南北剛性邊界 $y \in [y_1, y_2]$ 進行分部積分（邊界條件為經向風 $v' = 0 \implies \phi(y_1) = \phi(y_2) = 0$）： $\int_{y_1}^{y_2} \left( -\left|\frac{d\phi}{dy}\right|^2 - k^2|\phi|^2 \right) dy + \int_{y_1}^{y_2} \frac{\bar{u} - c_r + i c_i}{|\bar{u}-c|^2} \frac{d\bar{\eta}}{dy} |\phi|^2 dy = 0$ 取虛數部可得： $c_i \int_{y_1}^{y_2} \frac{\frac{d\bar{\eta}}{dy}}{|\bar{u} - c|^2} |\phi|^2 dy = 0$ 由於不穩定發生時 $c_i > 0$，且分母 $|\bar{u} - c|^2$ 與波幅平方 $|\phi|^2$ 在積分區間內恆為正實數，欲使整個積分值為零，被積函數中的 $\frac{d\bar{\eta}}{dy}$ 絕不能恆為正或恆為負。 因此，流場內部必須存在至少一個緯度 $y_s$，使得： $\frac{d\bar{\eta}}{dy} = \beta - \frac{d^2\bar{u}}{dy^2} = 0$ 結論（Kuo 判準）：基本態絕對渦度梯度在流場中必須改變符號（即絕對渦度在通道內存在極值點或反曲點），此為發生正壓不穩定的第一必要條件。

4. 費約托夫判準（Fjørtoft's Criterion）： 取前述積分式之實數部： $\int_{y_1}^{y_2} \frac{\bar{u} - c_r}{|\bar{u}-c|^2} \frac{d\bar{\eta}}{dy} |\phi|^2 dy = \int_{y_1}^{y_2} \left( \left|\frac{d\phi}{dy}\right|^2 + k^2|\phi|^2 \right) dy > 0$ 利用虛數部條件，對任意常數 $c_s$ 皆滿足 $(c_s - c_r)\int_{y_1}^{y_2} \frac{\frac{d\bar{\eta}}{dy}}{|\bar{u}-c|^2} |\phi|^2 dy = 0$。選取 $c_s = \bar{u}_s = \bar{u}(y_s)$（即反曲點處的緯向風速），兩式相減可得：