110 高普考高考二級 核子工程 核工原理研究 考古題詳解

核心觀念與解題方法

本題考查核工原理的四項基礎定義：中子與物質作用的截面及平均自由徑、核子束縛能、放射性衰變，以及核反應的能量變化。作答時要先說明物理意義，再列出相互關係或能量公式，並釐清各量的單位與正負號。

（一）微觀截面、巨觀截面與平均自由徑

微觀反應截面 $\sigma$ 描述單一靶核與入射粒子發生特定反應的機率大小，可視為靶核對該反應所呈現的有效面積。反應種類不同，截面也不同，例如散射、吸收及裂變截面。其單位為面積，常用 barn，且 $1\ \mathrm{barn}=10^{-24}\ \mathrm{cm^2}$。

巨觀反應截面 $\Sigma$ 描述粒子在材料中每單位行進距離發生特定反應的機率。若材料中靶核數密度為 $N$，則

$$\Sigma=N\sigma$$

其中 $\Sigma$ 的單位為長度的倒數，例如 $\mathrm{cm^{-1}}$。若材料含有多種核種，則應加總各核種的貢獻：

$$\Sigma=\sum_i N_i\sigma_i$$

平均自由徑 $\lambda$ 是粒子在連續兩次該類反應之間，平均行進的距離。對均勻材料而言，

$$\lambda=\frac{1}{\Sigma}=\frac{1}{N\sigma}$$

解題技巧： 微觀截面看「單一靶核」，巨觀截面看「單位路程中的反應機率」；巨觀截面愈大，平均自由徑愈短。若題目指定某一反應，截面與平均自由徑都必須針對該反應定義。

（二）核子束縛能

核子束縛能是將原子核完全分解為各個自由質子與中子，所需提供的能量；等價地說，也是自由核子結合形成原子核時所釋放的能量。

若原子核含有 $Z$ 個質子及 $N$ 個中子，其質量虧損為

$$\Delta m=Zm_p+Nm_n-m_{\text{核}}$$

束縛能為

$$B=\Delta m c^2$$

若使用原子質量單位表示，常用換算為 $1\ \mathrm{u}\,c^2\approx 931.5\ \mathrm{MeV}$。比較不同核種的穩定程度時，常看平均束縛能 $B/A$，其中 $A=Z+N$；平均束縛能較大通常表示核子結合較緊密。

解題技巧： 束縛能為正值，表示形成原子核時釋能；計算質量虧損時，必須比較「自由質子與中子總質量」和「原子核質量」。

（三）放射性衰變及常見種類

放射性衰變是具有不穩定性的原子核自發轉變成另一核種，並放出粒子或電磁輻射的過程。單一原子核何時衰變無法確定，但大量原子核遵循統計衰變律：

$$N(t)=N_0e^{-\lambda_d t}$$

核心觀念

本題考核中子輸運中的巨觀截面、碰撞密度、反應率與作用機率。設核種原子數密度為 $N$，微觀總截面為 $\sigma_t$，則巨觀總截面為

$$\Sigma_t=N\sigma_t$$

其中 $N$ 的單位是 $\mathrm{atoms/cm^3}$，$\sigma_t$ 的單位是 $\mathrm{cm^2}$，因此 $\Sigma_t$ 的單位為 $\mathrm{cm^{-1}}$。

若中子通量為 $\phi$，碰撞密度為

$$R_t=\Sigma_t\phi$$

單位為 $\mathrm{collisions/(cm^3\cdot s)}$。靶內每秒作用數目則為碰撞密度乘以靶體積。

解題方法

先由靶材密度換算 C-12 原子數密度，再乘上微觀總截面求巨觀總截面。題目給的中子束強度是通量，射束截面積則用於計算每秒入射中子數；計算靶內碰撞密度時，則以通量乘巨觀截面。

(一) 巨觀總截面

C-12 的莫耳質量取 $12\ \mathrm{g/mol}$，阿伏加德羅常數取 $N_A=6.022\times10^{23}\ \mathrm{atoms/mol}$。原子數密度為

$$N=\frac{\rho N_A}{A} =\frac{(1.6\ \mathrm{g/cm^3})(6.022\times10^{23}\ \mathrm{atoms/mol})} {12\ \mathrm{g/mol}} =8.03\times10^{22}\ \mathrm{atoms/cm^3}$$

微觀總截面換算為

$$\sigma_t=2.6\ \mathrm{barn} =2.6\times10^{-24}\ \mathrm{cm^2}$$

因此

$$\Sigma_t=N\sigma_t =(8.03\times10^{22})(2.6\times10^{-24}) =0.2088\ \mathrm{cm^{-1}}$$

(二) 碰撞密度

以題目給定的中子通量 $\phi=8\times10^7\ \mathrm{n/(cm^2\cdot s)}$ 計算：

$$R_t=\Sigma_t\phi =(0.2088\ \mathrm{cm^{-1}}) (8\times10^7\ \mathrm{n/(cm^2\cdot s)}) =1.67\times10^7\ \mathrm{collisions/(cm^3\cdot s)}$$

(三) 每秒作用數目

薄靶體積為

$$V=(1.0\ \mathrm{cm^2})(0.05\ \mathrm{cm}) =0.05\ \mathrm{cm^3}$$

因此每秒作用數目為

核心觀念

增殖因數 $k$ 表示每一代中子引發的下一代中子數與本代中子數的比值。$k=1$ 為臨界，$k<1$ 為次臨界，$k>1$ 為超臨界。

無限大介質假設反應器沒有邊界，因而不考慮中子洩漏；有限反應器則必須計入中子逃出系統的效應。題目考查的是中子從產生、慢化到被燃料吸收並引發下一代裂變的過程。

解題方法

沿著中子世代循環拆解增殖因數：先看燃料熱中子吸收後產生多少裂變中子，再依序考慮快裂變、慢化、熱中子利用，以及有限反應器中的快、熱中子不洩漏機率。

（一）四因子公式

$$k_\infty=\eta\epsilon p f$$

• $\eta$：再生因數（reproduction factor）。燃料每吸收一個熱中子所產生的平均裂變中子數，常寫成

$$\eta=\nu\frac{\Sigma_{f,\mathrm{fuel}}}{\Sigma_{a,\mathrm{fuel}}}$$

其中 $\nu$ 為每次裂變平均放出的中子數，$\Sigma_f$ 與 $\Sigma_a$ 分別為燃料的宏觀裂變與吸收截面。它描述燃料吸收熱中子後的中子產生能力。

• $\epsilon$：快裂變因數（fast fission factor）。快中子在慢化至熱能前，於燃料中引發快裂變所增加的中子數之效應。因快裂變會額外提供中子，通常 $\epsilon>1$。

• $p$：共振逃脫機率（resonance escape probability）。中子由快能區慢化至熱能區時，未被共振吸收而成功進入熱能區的機率。共振吸收以鈾等核種為主，因此通常 $0<p<1$。

• $f$：熱中子利用因數（thermal utilization factor）。系統中被燃料吸收的熱中子占所有熱中子吸收的比例：

$$f=\frac{\text{燃料中的熱中子吸收}}{\text{全系統的熱中子吸收}}$$

熱中子若被慢化劑、結構材料或控制材料吸收，便不會在燃料中造成裂變，因此通常 $0<f<1$。

四因子的乘積描述無限大介質中每代中子的增殖，不包含中子從系統邊界逸出的損失。

（二）六因子公式與典型數值

六因子公式是在四因子公式上加入兩種不洩漏機率：

• $P_{\mathrm{f}}$：快中子不洩漏機率。中子在快能區尚未慢化前，未逸出反應器邊界的機率。
• $P_{\mathrm{t}}$：熱中子不洩漏機率。中子進入熱能區後，未逸出反應器邊界的機率。

因此：

$$k_{\mathrm{eff}}=k_\infty P_{\mathrm{f}}P_{\mathrm{t}}$$

核心觀念

燃耗率（Burnup Rate, BR）表示反應器每單位時間因核分裂消耗的燃料質量。題目給定每次核分裂釋放 $200\ \mathrm{MeV}$，因此可先由反應器熱功率換算每秒核分裂數，再換算為每日消耗的 U-235 質量。

題目第一小題以熱功率 $P$（$\mathrm{MW}$）表示；第二小題給的是淨電功率，須先用淨熱效率換算成反應器熱功率。

解題方法

一、推導燃耗率公式

每次核分裂釋放的能量為

$$E_f=200\times 10^6\ \mathrm{eV} \times 1.602\times 10^{-19}\ \mathrm{J/eV} =3.204\times 10^{-11}\ \mathrm{J}.$$

反應器熱功率為 $P\ \mathrm{MW}=P\times10^6\ \mathrm{J/s}$，故每秒核分裂次數為

$$\dot N_f =\frac{P\times10^6\ \mathrm{J/s}} {3.204\times10^{-11}\ \mathrm{J/fission}} =3.121\times10^{16}P\ \mathrm{fissions/s}.$$

每次核分裂消耗一個 U-235 原子。取阿伏加德羅常數 $N_A=6.022\times10^{23}\ \mathrm{atoms/mol}$，U-235 的莫耳質量約為 $235\ \mathrm{g/mol}$，則每秒消耗質量為

$$\dot m =\dot N_f\frac{235\ \mathrm{g/mol}}{N_A} =1.218\times10^{-5}P\ \mathrm{g/s}.$$

換算成每日：

核心觀念

本題考查中子數量的守恆，以及如何從中子連續性方程式，在擴散近似下得到中子擴散方程式。核心是對控制體積列出「流入、流出、源項與吸收」的平衡關係。

以下以 $\phi(\mathbf r)$ 表示中子通量，$\mathbf J(\mathbf r)$ 表示中子流密度，$\Sigma_a$ 表示巨觀吸收截面，$S$ 表示外加中子源密度；若考慮核分裂，另以 $\nu\Sigma_f$ 表示每次裂變產生中子的源項係數。

（一）穩態中子連續性方程式

對任一控制體積，中子數的變化率等於流入減流出，加上源項，再扣除吸收。一般形式為：

$$\frac{\partial n}{\partial t} +\nabla\cdot\mathbf J +\Sigma_a\phi =S$$

其中 $n$ 為單位體積中的中子數密度。穩態時 $\partial n/\partial t=0$，故：

$$\nabla\cdot\mathbf J+\Sigma_a\phi=S$$

若明確計入核分裂中子源，且 $S_{\mathrm{ext}}$ 為外加源，則：

$$\nabla\cdot\mathbf J+\Sigma_a\phi =\nu\Sigma_f\phi+S_{\mathrm{ext}}$$

各項物理意義如下：

• $\nabla\cdot\mathbf J$：中子流的散度，表示單位體積內中子的淨流出率；散度為正代表淨流出，為負代表淨流入。
• $\Sigma_a\phi$：中子吸收率密度，表示單位體積、單位時間內被吸收的中子數。
• $S$：中子產生率密度，可包含外加源與核分裂產生的中子。
• $\partial n/\partial t$：中子數密度的時間變化率；穩態下此項為零。

（二）穩態中子擴散方程式

解題方法與方程式

在連續性方程式中，以擴散定律描述中子流：

$$\mathbf J=-D\nabla\phi$$

其中 $D$ 為擴散係數，負號表示中子由通量高處向通量低處流動。代入穩態連續性方程式，並將源項寫成外加源與核分裂源，可得：

$$-\nabla\cdot(D\nabla\phi)+\Sigma_a\phi =\nu\Sigma_f\phi+S_{\mathrm{ext}}$$

若介質均勻、$D$ 為常數，則化為：