114 高普考高考二級 生物多樣性 生物統計學研究 考古題詳解

核心觀念

有母數統計與無母數統計的主要差別，在於分析時對母體分配及其參數所作的假設，以及檢定所使用的資料資訊。

• 有母數統計（parametric statistics）：假設母體資料服從某一特定機率分配，例如常態分配，並以有限個母數描述母體特徵，例如平均數 $\mu$、變異數 $\sigma^2$。常見方法包括 $z$ 檢定、$t$ 檢定、變異數分析（ANOVA）及線性迴歸。
• 無母數統計（non-parametric statistics）：不需預先假設母體服從特定的參數分配，常以次序、等級或符號進行分析。常見方法包括符號檢定、Wilcoxon 符號等級檢定、Mann–Whitney $U$ 檢定、Kruskal–Wallis 檢定及 Spearman 等級相關。

「無母數」不等於完全沒有假設，也不代表資料一定不受任何模型限制；各種無母數方法仍有其適用條件，例如樣本獨立性、配對結構或分配形狀條件。

解題方法

作答時可依「假設—適用情境—優缺點」比較兩類方法。先交代有母數方法以母體分配及參數為分析基礎，再說明無母數方法減少對特定分配的依賴，接著指出何時採用各方法，最後比較其檢定力與資料要求。

例如，研究不同水域魚類的平均體長時，若觀測值彼此獨立、資料近似常態且變異數條件合理，可用兩獨立樣本 $t$ 檢定；若體長資料明顯偏態、有嚴重離群值，或樣本量小而常態假設不適合，可考慮 Mann–Whitney $U$ 檢定。若比較的是同一批魚類處理前後的測量值，則須採配對資料方法，例如配對 $t$ 檢定或 Wilcoxon 符號等級檢定，不能把兩次測量當成獨立樣本。

應用時機與優缺點

核心觀念

這是同一批 10 位學生的教學前、後測資料，屬於成對樣本。先計算每位學生的分數差，再以成對樣本 $t$ 檢定判斷母體平均增加分數是否大於 5 分。假設差值近似常態分布。

解題方法與計算

令 $D_i=\text{教學後分數}-\text{教學前分數}$，則各學生的分數差為：

因此：

檢定假說為：

差值的樣本變異數與標準差為：

檢定統計量為：

核心觀念

多重迴歸的最佳模式選擇，是在解釋能力、模型複雜度與預測表現之間取捨。增加自變數通常會提高樣本內的 $R^2$，但也可能使模型過度配適；因此不能只以 $R^2$ 最大作為選模依據。

設候選模型有 $p$ 個自變數、樣本數為 $n$，殘差平方和為 $SSE$，總平方和為 $SST$，誤差均方為 $MSE=SSE/(n-p-1)$。常見準則如下。

四種最佳模式選擇準則

1. 決定係數 $R^2$

$R^2=1-\frac{SSE}{SST}$

$R^2$ 表示模型解釋依變數總變異的比例。候選模型中，$R^2$ 越大，樣本內配適通常越好。但只要增加自變數，$R^2$ 不會下降，因此不能單獨用它比較自變數數目不同的模型。

2. 調整決定係數 $\bar R^2$

$\bar R^2=1-\frac{SSE/(n-p-1)}{SST/(n-1)}$

$\bar R^2$ 依自由度調整加入自變數所付出的代價；只有新增變數帶來的解釋力足以抵銷複雜度，數值才會提高。比較不同大小的模型時，通常比單看 $R^2$ 合適。選擇時以 $\bar R^2$ 較大者為佳。

3. Mallows 的 $C_p$

常用形式為

$C_p=\frac{SSE_p}{MSE_{\text{full}}}-(n-2p)$

其中 $SSE_p$ 是含 $p$ 個自變數之候選模型的殘差平方和，$MSE_{\text{full}}$ 是包含全部候選自變數之完整模型的誤差均方。$C_p$ 用來評估模型偏差與變異的取捨；理想情況是 $C_p$ 小，且接近模型參數個數（若將截距計入，約為 $p+1$），表示模型偏差不大而複雜度適中。不同教材的 $p$ 計數慣例可能不同，使用時須前後一致。

4. 赤池資訊量準則（AIC）

線性迴歸常見形式為

核心觀念

本題要比較三個獨立地點的平均細菌數，只有一個因子「離河口距離」，有 10 m、20 m、30 m 三個水準，因此使用單因子變異數分析（one-way ANOVA）。

虛無假說與對立假說為：

ANOVA 的檢定統計量為 $F=MS_{\text{組間}}/MS_{\text{組內}}$。$F$ 值愈大，表示地點間的平均差異相對於組內變異愈大。

解題方法與計算

各組樣本數皆為 $6$，樣本平均數如下：

總樣本數 $N=18$，總平均數為：

各組組內平方和為：

因此：

組間平方和與總平方和為：

自由度為組間 $3-1=2$、組內 $18-3=15$、總計 $18-1=17$。ANOVA 表如下：

核心觀念

本題考二因子變異數分析（two-way ANOVA）：飼養密度有 $2$ 個水準，水溫有 $3$ 個水準，每個「密度 × 水溫」組合有 $5$ 次重複，共 $2\times3\times5=30$ 筆觀測值。

「Cell」代表 $6$ 個處理組合的總處理效果，其自由度為 $ab-1=5$；接著可分解為水溫效應、密度效應及交互作用。各項 $F$ 統計量均以誤差均方 $MS_E$ 為分母。

分析假設為觀測值彼此獨立、誤差近似常態，且各處理組合的誤差變異數相同。

解題方法與 ANOVA table

總自由度為 $N-1=30-1=29$；誤差自由度為 $ab(r-1)=2\times3\times(5-1)=24$。因此：

處理組合總平方和由總平方和扣除誤差平方和：

密度效應自由度為 $2-1=1$，故其平方和為 $SS_{\text{密度}}=MS_{\text{密度}}\times df=7.5\times1=7.5$。交互作用平方和則由 Cell 平方和扣除兩個主效應平方和：

各項 $F$ 值以 $MS_E=67.9167$ 為分母計算。

假說、判定法則與檢定結果