109 高普考高考二級 水產資源 生物統計學研究 考古題詳解

核心觀念

本題為民國 109 年高考二級「水產資源」類科《生物統計學研究》之名詞解釋試題，旨在評量考生對「假說檢定基本決策準則」、「異質變異數兩樣本推論之自由度修正」、以及「離散機率分配之連續近似修正」等三項核心統計學理與實務運用的掌握程度。各小題之核心觀念與定義如下：

1. Level of significance（顯著水準，記為 $\alpha$）： 屬於統計決策理論與假說檢定（Hypothesis Testing）的核心概念，定義為「在虛無假說（$H_0$）為真時，檢定統計量卻落入拒絕域而導致錯誤拒絕 $H_0$ 的最大容許機率」，即發生型 I 錯誤（Type I error）的機率： $\alpha = P(\text{Reject } H_0 \mid H_0 \text{ is true})$

2. Welch-Satterthwaite approximation（Welch-Satterthwaite 近似法）： 應用於兩獨立樣本 $t$ 檢定中母體變異數不齊一（$\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$，即 Behrens-Fisher 問題）或變異數分析（ANOVA）隨機效應與混合效應模型之均方和線性組合。其核心觀念是以單一卡方分配之線性組合來近似未知之加權卡方分配，藉此計算出有效自由度（effective degrees of freedom, $df'$ 或 $\nu$），使檢定統計量能近似服從 Student's $t$ 分配。

3. Continuity correction（連續性校正）： 當使用「連續型機率分配」（如常態分配）來近似計算「離散型機率分配」（如二項分配、卜瓦松分配）的累積機率，或在列聯表分析中使用卡方檢定時，因離散整數點在連續軸上實質代表一個長度為 $1$ 的區間（即 $[x - 0.5, x + 0.5]$），故在計算臨界值或機率時進行 $\pm 0.5$ 的平移調整，以降低近似誤差。

解題方法

本題為申論式名詞解釋，作答切入點必須兼顧「嚴謹數學定義」、「統計推論機制」與「生物／水產試驗實務應用背景」，展現二級高考所需之深度：

(1) Level of significance（顯著水準）之意涵

• 決策臨界設定：顯著水準 $\alpha$ 是研究者在收集數據前預先設定的容忍門檻（水產試驗常用標準為 $0.05$ 或 $0.01$）。它決定了抽樣分配上的「拒絕域」（Critical Region / Rejection Region）大小。
• 與 $p$ 值之判定準則：當根據樣本資料計算出的 $p$ 值（$p\text{-value}$）滿足 $p \le \alpha$ 時，表示在 $H_0$ 為真之前提下觀察到當前樣本（或更極端情況）的機率極低，因此拒絕 $H_0$，宣稱處理效應達統計顯著；反之，若 $p > \alpha$，則無法拒絕 $H_0$。
• 與檢定力之消長關係：在樣本數固定下，降低 $\alpha$（減少冤枉 $H_0$ 的風險）會導致型 II 錯誤率 $\beta$ 上升，進而降低檢定力（Power $= 1 - \beta$）。

(2) Welch-Satterthwaite approximation（Welch-Satterthwaite 近似法）之意涵

• 背景問題：在兩組獨立樣本平均數差異檢定時，若兩群體變異數不同（$\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$），兩樣本之標準誤為： $SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$ 此時之樞紐統計量（Pivotal statistic）非標準 Student's $t$ 分配，因分母並非單一均方差的開根號，無法直接對應兩樣本自由度相加（$n_1 + n_2 - 2$）。
• 推導與自由度公式：Satterthwaite 提出利用動差相符法，將獨立卡方隨機變數的線性組合以單一卡方分配予以近似，導出 Welch-Satterthwaite 近似自由度 $df'$： $df' = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 - 1}}$
• 實質效果：計算出之 $df'$ 通常為非整數（查表時可採無條件捨去或內插法），且滿足 $\min(n_1 - 1, n_2 - 1) \le df' \le n_1 + n_2 - 2$。這有效修正了異質變異數導致的型 I 錯誤膨脹問題。

(3) Continuity correction（連續性校正）之意涵

核心觀念

1. 資料線性轉換（Linear Transformation）的性質： 設原變數為 $X$，線性轉換後之變數為 $Y = aX + b$（其中 $a, b$ 為常數）：

• 平均數（位置參數）：$\bar{Y} = a\bar{X} + b$。平移常數 $b$ 與倍數縮放 $a$ 皆會改變平均數。
• 標準差（離散參數）：$s_Y = |a| s_X$。平移常數 $b$ 不改變數據間的相對間距（$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$），故不影響標準差；僅縮放係數 $a$ 會造成標準差同比例縮放。

2. 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）：

• 公式：$CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\%$
• 意義：為無因次（無單位）的相對離散指標。
• 適用時機：當欲比較的兩組或多組樣本具有不同測量單位（如本題北部為體重「公斤」、南部為體長「公分」），或平均數差異過大時，無法直接以標準差比較離散程度，必須採用變異係數。

解題方法

步驟一：校正北部黑喉魚樣本之平均數與標準差（體重測量）

設黑喉魚實際體重為 $X$，測量所得觀測值為 $X_{\text{obs}}$。 依題意，測量時連同容器重 $0.2\text{ 公斤}$ 一併計入，故： $X_{\text{obs}} = X + 0.2 \implies X = X_{\text{obs}} - 0.2$ 此為 $a = 1, b = -0.2$ 之線性平移。

1. 校正後平均體重（$\bar{X}$）： $\bar{X} = \bar{X}_{\text{obs}} - 0.2 = 1.5 - 0.2 = 1.3\text{ (公斤)}$
2. 校正後體重標準差（$s_X$）： 因常數平移不改變離散程度（$a = 1$）： $s_X = s_{X_{\text{obs}}} = 0.13\text{ (公斤)}$

步驟二：校正南部黑喉魚樣本之平均數與標準差（體長測量）

設黑喉魚實際體長為 $Y$，測量所得觀測值為 $Y_{\text{obs}}$。 依題意，所有測量值皆為實際體長之 $80\%$（即 $0.8$），故： $Y_{\text{obs}} = 0.8Y \implies Y = \frac{1}{0.8} Y_{\text{obs}} = 1.25 Y_{\text{obs}}$ 此為 $a = 1.25, b = 0$ 之等比例縮放。

1. 校正後平均體長（$\bar{Y}$）： $\bar{Y} = 1.25 \times \bar{Y}_{\text{obs}} = \frac{25}{0.8} = 31.25\text{ (公分)}$

核心觀念

本題評量**抽樣調查設計（Sampling Survey Design）在水產資源生物統計調查實務上的應用，核心在於分析母體結構的變異拆解（Analysis of Variance Components）**與抽樣方法的最適搭配：

1. 變異數結構原理： 母體總變異可拆解為「組間變異（Between-group variance, $\sigma_B^2$）」與「組內變異（Within-group variance, $\sigma_W^2$）」。
2. 分層抽樣（Stratified Sampling）之適用條件： 當母體副單元呈現「層內同質（組內變異小）、層間異質（組間變異大）」時，將各異質群體視為不同「層（Strata）」，自各層獨立隨機抽樣，能消除層間變異對估計量的影響，獲得最低變異數（最高估計效率）。
3. 集群抽樣（Cluster Sampling）之適用條件： 當母體副單元呈現「群內異質（組內變異大）、群間同質（組間變異小）」時，每一個群體（Cluster）即為全體母體的縮影，可將箱視為初級抽樣單元（Primary Sampling Unit, PSU），隨機抽取部分箱調查即可代表全體，大幅節省開箱與分類成本。

解題方法

一、南北兩地樣本結構之變異特性論述

1. 北部加工廠（按規格分箱包裝）之變異特性：

• 包裝機制：廠方依體型大小（如大、中、小規格）分門別類裝箱。
• 結構變異特性：
• 箱內變異極小（組內同質）：同一個包裝箱內的黑喉魚體型高度一致，組內變異數 $\sigma_W^2 \to 0$。
• 箱間變異極大（組間異質）：不同規格箱之間的魚體平均大小差異顯著，組間變異數 $\sigma_B^2$ 占總變異的絕大部分。

2. 南部加工廠（隨機分箱包裝）之變異特性：

• 包裝機制：廠方不論體型大小直接混雜裝箱。
• 結構變異特性：
• 箱內變異極大（組內異質）：單一箱內混雜各年齡層與體長大小的黑喉魚，個體間變異涵蓋了母體整體變異範圍，組內變異數 $\sigma_W^2$ 極大。
• 箱間變異極小（組間同質）：由於各箱皆為隨機裝填，每箱的體長平均值與分散情形高度相仿，各箱間之組間變異數 $\sigma_B^2 \to 0$。

二、對應資料結構之最適抽樣方法

1. 北部加工廠之抽樣方法：分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）

• 抽樣規劃：
• 將不同「體型規格箱」設定為相互獨立的層（Strata）。
• 查明現場各規格箱的總箱數或總重量，計算各層權重 $W_h = \frac{N_h}{N}$。
• 在每一規格層內分別進行簡單隨機抽樣（SRS），可採用「等比例配置法（Proportional Allocation）」或考慮各層變異度的「內曼配置法（Neyman Allocation）」。
• 理論依據：
• 若在此結構下採取隨機抽取整箱測量，一旦未抽到特定規格（如特大或特小規格箱），樣本將產生嚴重的抽樣偏誤（Selection Bias）。
• 分層抽樣能保證每一體型等級均有代表性樣本進入，有效消除箱間的巨大變異，使全體體型分佈的估計達到最高精度。

核心觀念

本題評量二項母體比例之大樣本區間估計與兩獨立樣本比例差之假設檢定。核心統計概念與公式如下：

1. 大樣本常態近似條件（Central Limit Theorem）： 當樣本數滿足 $n\hat{p} \ge 5$ 且 $n(1 - \hat{p}) \ge 5$ 時，樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分配近似於常態分配： $\hat{p} \sim N\left(p, \frac{p(1 - p)}{n}\right)$

2. 單一母體比例之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間（Confidence Interval, CI）： $\hat{p} \pm Z_{1 - \alpha/2} \times SE(\hat{p}) = \hat{p} \pm Z_{1 - \alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$ 本題要求 95% 信賴區間，取雙尾臨界值 $Z_{0.975} = 1.96$。

3. 兩獨立母體比例差之假設檢定（Two-sample $Z$-test for Proportions）：

• 虛無假設 $H_0: p_1 - p_2 = 0$（南北兩海域雌魚比例無顯著差異）
• 對立假設 $H_1: p_1 - p_2 \ne 0$（南北兩海域雌魚比例具有顯著差異）
• 在 $H_0$ 成立的假設下，兩母體比例相等，應採用**合併估計比例（Pooled Proportion, $\hat{p}_c$）**計算標準誤： $\hat{p}_c = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{n_1 \hat{p}_1 + n_2 \hat{p}_2}{n_1 + n_2}$
• 檢定統計量： $Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - 0}{\sqrt{\hat{p}_c (1 - \hat{p}_c) \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$

解題方法

一、整理已知條件

• 北部海域（標記為 1）：
• 樣本數 $n_1 = 2,464$
• 樣本雌魚比例 $\hat{p}_1 = 0.56$
• 雌魚樣本數 $x_1 = 2,464 \times 0.56 = 1,379.84 \approx 1,380$
• 南部海域（標記為 2）：
• 樣本數 $n_2 = 1,275$
• 樣本雌魚比例 $\hat{p}_2 = 0.51$
• 雌魚樣本數 $x_2 = 1,275 \times 0.51 = 650.25 \approx 650$
• 常態臨界值：雙尾 $\alpha = 0.05$ 時，臨界值為 $Z_{0.975} = 1.96$。

二、估計南北兩海域雌魚比例之 95% 信賴區間

1. 北部海域 95% 信賴區間：

• 估計標準誤： $SE(\hat{p}_1) = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1 - \hat{p}_1)}{n_1}} = \sqrt{\frac{0.56 \times (1 - 0.56)}{2,464}} = \sqrt{\frac{0.2464}{2,464}} = \sqrt{0.0001} = 0.01$
• 誤差邊際（Margin of Error）： $E_1 = Z_{0.975} \times SE(\hat{p}_1) = 1.96 \times 0.01 = 0.0196$
• 95% 信賴區間： $0.56 \pm 0.0196 \implies [0.5404, 0.5796] \quad (\text{或 } 54.04\% \sim 57.96\%)$

2. 南部海域 95% 信賴區間：

• 估計標準誤： $SE(\hat{p}_2) = \sqrt{\frac{\hat{p}_2(1 - \hat{p}_2)}{n_2}} = \sqrt{\frac{0.51 \times (1 - 0.51)}{1,275}} = \sqrt{\frac{0.2499}{1,275}} = \sqrt{0.000196} = 0.014$
• 誤差邊際： $E_2 = Z_{0.975} \times SE(\hat{p}_2) = 1.96 \times 0.014 = 0.02744$
• 95% 信賴區間： $0.51 \pm 0.02744 \implies [0.48256, 0.53744] \quad (\text{四捨五入至小數第四位為 } [0.4826, 0.5374] \text{，即 } 48.26\% \sim 53.74\%)$

三、推論兩海域雌魚比例是否具有顯著差異

核心觀念

本題比較兩個巢狀線性模式：模式 B 比模式 A 多納入經度因子。加入因子會降低殘差平方和、提高 $R^2$，但也會增加參數數目。因此，不能只看 $R^2$ 或個別因子的顯著性，還要用會懲罰模式複雜度的 AIC 比較。

決定係數與 AIC 的計算式為：

其中 $SSE$ 為殘差平方和，$SST$ 為總平方和，$n$ 為樣本數，$k$ 為估計參數數目，$C$ 為兩模式相同的常數。比較 AIC 時，數值較小者較佳。

解題方法

兩模式的樣本數均為 $n=1{,}000$，總平方和均為 $SST=870.5$。

模式 A 的殘差平方和為 $452.6$：

模式 B 的殘差平方和為 $424.3$：

因此，模式 B 的 $R^2$ 較高，表示其解釋的總變異比例較大。

模式 A 含截距，以及季節與緯度的類別參數，共有 $1+3+20=24$ 個迴歸參數；模式 B 再加入經度的 $35$ 個參數，共有 $1+3+20+35=59$ 個迴歸參數。