112 高普考高考二級 水產資源 生物統計學研究 考古題詳解

核心觀念

本題考查迴歸分析與變異數分析中的模型比較、誤差分解、線性模型架構，以及解釋變數間高度相關所造成的估計問題。回答名詞題時，應先說明名詞的定義，再補上公式或對分析的影響。

解題方法與名詞說明

（一）Posterior comparison test（事後比較檢定）

事後比較檢定是指在整體檢定（例如單因子變異數分析的 $F$ 檢定）達到顯著後，進一步比較各組平均數，以判斷哪些組別之間存在差異。整體 $F$ 檢定只能指出「至少有一組平均數不同」，不能直接指出差異來自哪一組。

若共有 $k$ 組，事後比較可能檢定各組平均數差異：

由於同時進行多個比較會增加整體第一類錯誤率，須採用適當的多重比較方法，例如 Tukey 法、Bonferroni 法或 Scheffé 法，以控制家族錯誤率或其他預先設定的錯誤率。

（二）Lack of fit error（適合度不足誤差）

適合度不足誤差是指所設定的模型無法充分描述資料中系統性變化所造成的誤差。在迴歸分析中，若某些自變數與反應變數的關係並非模型假設的形式，例如真實關係具有曲線型態，卻使用直線模型，就會產生適合度不足。

在有重複觀測值的迴歸資料中，殘差平方和可分解為純誤差平方和與適合度不足平方和：

純誤差反映相同自變數設定下個別觀測值的隨機變動；適合度不足則反映模型預測值與各自變數設定下觀測平均值之間的差異。可用適合度檢定評估模型形式是否適當。

（三）Residual sum of squares（殘差平方和）

殘差平方和是所有觀測值的實際值與模型預測值之差的平方總和，用來衡量模型未能解釋的變異。令第 $i$ 個觀測值為 $y_i$，模型預測值為 $\hat y_i$，殘差為 $e_i=y_i-\hat y_i$，則：

核心觀念

本題檢定「疫苗廠牌」與「疫苗效果（有效／無效）」是否有關，屬於 $2\times3$ 列聯表的卡方獨立性檢定。虛無假說下，各廠牌的有效率相同；若廠牌與效果彼此獨立，則各廠牌觀察到的有效、無效人數，應接近依列聯表邊際總數計算的期望人數。

解題方法

先計算列、欄及總樣本數：

虛無假說下，各廠牌的期望人數為：

每種疫苗的樣本數都是 200，因此各廠牌的期望無效人數為 $40\times200/600=13.333$，期望有效人數為 $560\times200/600=186.667$。

假說與判定法則

顯著水準 $\alpha=0.05$。自由度為：

採右尾卡方檢定；若 $\chi^2_{\text{obs}}>\chi^2_{0.05,2}$，則拒絕 $H_0$。臨界值為 $\chi^2_{0.05,2}=5.991$。

統計量與計算

使用 Pearson 卡方統計量：

核心觀念

本題比較春、夏、秋、冬四組平均餌料消耗量，採用單因子變異數分析（one-way ANOVA）。令四季母平均數分別為 $\mu_{春}$、$\mu_{夏}$、$\mu_{秋}$、$\mu_{冬}$，檢定四季平均消耗量是否相同。

解題方法與計算

每季有 $n_i=5$ 筆資料，總樣本數 $N=20$。各季樣本平均數為：

總平均數為：

假說如下：

組間平方和為：

組內平方和是各季資料相對於該季平均數的平方差總和：

因此：

自由度與均方為：

核心觀念

本題是二因子無重複觀測 ANOVA，也可視為以個體為區集的隨機區集設計。兩個因子為：

• Individual（個體）：4 尾雌魚，故自由度為 $4-1=3$。
• Portion（卵巢部位）：左右兩葉各三個位置，共 6 個部位，故自由度為 $6-1=5$。

每尾魚在每個部位各有一筆觀測，因此總觀測數為 $4\times6=24$，總自由度為 $24-1=23$。誤差自由度為 $(4-1)(6-1)=15$。各因子的檢定統計量為 $F=MS_{\text{因子}}/MS_E$。

解題方法與 ANOVA 表

誤差均方已知為 $MS_E=9441.6$，所以：

個體與部位的均方及 $F$ 值為：

總平方和為：

完成的 ANOVA 表如下：