110 高普考高考二級 水產資源 生物統計學研究 考古題詳解

**核心觀念：**複迴歸分析用來描述或預測一個應變數與兩個以上自變數之間的線性關係。它可同時估計各自變數與應變數的關聯，並在其他自變數固定時，解釋某一自變數的迴歸係數。

一般模型寫為：

其中，$Y_i$ 為第 $i$ 個觀測值的應變數，$X_{ij}$ 為自變數，$\beta_0$ 為截距，$\beta_j$ 為迴歸係數，$\varepsilon_i$ 為誤差項。$\beta_j$ 表示在其他自變數固定時，$X_j$ 每增加一單位，$Y$ 的平均值改變 $\beta_j$ 單位。

**解題方法：**依序辨認應變數、自變數數目，以及分析目的。若目的是預測，使用估計後的迴歸式代入自變數值；若目的是檢定，可檢定單一係數 $H_0:\beta_j=0$，或以整體 $F$ 檢定評估所有斜率是否同時為零。

解題技巧：「複」迴歸指的是自變數有兩個以上，不是應變數有多個。解釋單一迴歸係數時，須加上「其他自變數固定」的條件；若自變數彼此高度相關，則可能發生共線性，使係數估計不穩定。

（二）Nonparametric analysis（無母數分析）

**核心觀念：**無母數分析是指不以母群體必須符合特定參數分布（例如常態分布）作為主要分析前提的方法。這類方法常使用次序、符號或秩次進行推論，適用於資料尺度為次序尺度、分布偏斜，或參數法假設不易成立的情形。

常見方法包括：

• 兩獨立樣本比較：Mann–Whitney U 檢定。
• 成對樣本比較：Wilcoxon 符號等級檢定。
• 多組獨立樣本比較：Kruskal–Wallis 檢定。
• 相關分析：Spearman 等級相關。

**解題方法：**先判斷資料是否符合參數方法的假設，再依研究設計選擇無母數方法：區分獨立樣本或成對樣本，以及比較兩組、多組或檢驗相關。無母數方法不代表完全沒有假設，仍須留意抽樣獨立性、研究設計及各檢定本身的適用條件。

**解題技巧：**不要把「無母數」直接解讀成「完全不需要假設」；較精確的說法是它不依賴特定母群參數分布的假設。無母數方法通常較能處理偏態或次序資料，但在參數方法假設成立時，對某些問題的檢定力可能較低。

（三）Regression sum of squares（迴歸平方和）

**核心觀念：**迴歸平方和衡量迴歸模型所解釋的應變數變異量。在含截距的普通最小平方法迴歸中，總平方和可分解為迴歸平方和與殘差平方和：

其中：

核心觀念

本題考查兩個觀念：簡單線性迴歸中解釋變數 $X$ 的性質，以及如何用整體迴歸的 $F$ 檢定判斷斜率是否為零。

簡單線性迴歸的母體模型可寫為

其中 $\beta_0$ 為截距，$\beta_1$ 為斜率，$\varepsilon_i$ 為隨機誤差。通常假設誤差彼此獨立、平均數為零、變異數相同；進行小樣本精確檢定時，另假設誤差服從常態分配。

Model I 與 Model II 的差異

**Model I（第一型迴歸）**將 $X$ 視為固定或已控制的解釋變數。研究者先指定或選取各個 $X_i$，再觀察相對應的 $Y_i$。模型關注的是：在不同固定 $X$ 值下，$Y$ 的平均數如何改變。因此，常見的誤差假設是

例如，研究者設定不同的飼料添加量，再測量魚的生長量，飼料添加量可視為固定的 $X$。

**Model II（第二型迴歸）**則將 $X$ 視為隨機變數，$X$ 與 $Y$ 是從同一個母體中成對抽樣而得。此時兩變數各自有變異，分析著重於兩者的共同變動與線性關係。例如，從魚群中抽樣，記錄每尾魚的體長與體重，兩者都是隨機觀察值。

兩者的主要差異在於 $X$ 的抽樣與分析定位。Model I 中，$X$ 的值由研究設計固定，迴歸分析描述 $Y$ 對 $X$ 的條件平均關係；Model II 中，$X$ 本身也來自隨機抽樣，須一併考慮其變異。若以最小平方法估計迴歸線，兩種模型的係數解讀與推論前提也須依各自的抽樣設計說明。

解題方法：以斜率是否為零判斷線性迴歸

「簡單線性迴歸是否成立」在此通常指母體中 $X$ 與 $Y$ 是否具有線性關係。檢定的核心是斜率：

若 $\beta_1=0$，$X$ 改變時，$Y$ 的母體平均數沒有線性改變；若 $\beta_1\ne0$，則斜率不為零，表示存在線性趨勢。

先將總平方和分解為迴歸平方和與殘差平方和：

其中

核心觀念

本題以四種飼料作為四個處理組，比較黑鯛平均增重是否相同，適用單因子變異數分析（one-way ANOVA）。此法將總變異分解為「飼料間變異」與「飼料內變異」，以 $F$ 統計量檢定各組平均數是否全相等。

令 $\mu_A,\mu_B,\mu_C,\mu_D$ 分別代表四種飼料下黑鯛的平均增重：

解題方法與計算

各組樣本數皆為 $5$，組平均數如下：

總平均為

組間平方和為

組內平方和為

自由度分別為組間 $4-1=3$、組內 $20-4=16$，因此

判定法則、結果與結論

在 $\alpha=0.05$、分子自由度 $3$、分母自由度 $16$ 下，臨界值為

核心觀念

本題考驗兩個類別變項「是否至非洲旅遊」與「是否感染病毒」是否彼此獨立，使用 Pearson 卡方獨立性檢定。

虛無假說與對立假說為：

• $H_0$：至非洲旅遊與是否感染病毒彼此獨立，兩者無關聯。
• $H_1$：至非洲旅遊與是否感染病毒不獨立，兩者有關聯。

若兩變項獨立，各格的期望次數為：

Pearson 卡方統計量為：

解題方法

列合計分別為 $100、100$；欄合計分別為感染 $20$ 人、未感染 $180$ 人；總人數為 $200$ 人。因此，在 $H_0$ 成立時，期望次數為：

核心觀念

本題以迴歸變方分析的 $F$ 檢定，判斷兩個自變數 $X_1、X_2$ 是否對應變數 $Y$ 具有整體線性解釋力。檢定的整體虛無假說是兩個斜率係數同時為零：

含截距的多元迴歸模型有 $k=2$ 個自變數，因此自由度為：

解題方法與計算

誤差平方和由總平方和扣除模型平方和：

模型均方與誤差均方分別為：

整體迴歸檢定統計量為：

完成的變方分析表如下：