113 高普考高考三級 航空器維修 定翼機及旋翼機基本原理 考古題詳解

核心觀念

本題考的是流體力學（空氣動力學）中最基礎且最重要的定律之一——白努利定律（Bernoulli's Principle），這是解釋機翼產生升力（Lift）的理論基礎之一，也是航空器維修類科考生必須熟記並能正確寫出公式與各參數物理意義的基本題型。

白努利原理描述的是：在穩定流（steady flow）、不可壓縮（incompressible）、無黏滯（inviscid，忽略摩擦損失）且沿同一流線（streamline）的流體中，流體的「總能量」保持守恆。這個總能量由三個部分組成：

1. 壓力能（靜壓，Static Pressure）
2. 動能（因流速而具有的能量，Dynamic Pressure）
3. 位能（因高度而具有的能量，Potential Energy）

當流體流經一截面積變化的管道或繞過機翼上下表面時，若流速增加，則依能量守恆，其靜壓必須降低；反之流速減慢，靜壓則升高。這就是航空器機翼上表面弧度較大、流速較快、壓力較低，下表面流速較慢、壓力較高，因而產生上下壓差、形成升力的物理基礎（此即「Bernoulli's Principle」在航空應用上的核心意義）。

解題方法

本題屬於「申論定義＋公式」型考題，作答時應依下列邏輯鋪陳，才能拿到完整分數：

第一步：文字敘述原理

白努利原理源自能量守恆定律（Conservation of Energy），適用條件為：

• 流體為穩定流（steady flow，流場中任一點的性質不隨時間改變）
• 流體不可壓縮（incompressible，密度 $\rho$ 為定值，此假設在次音速、低馬赫數流場中成立）
• 流體無黏滯性（inviscid flow，忽略摩擦與黏滯損失）
• 沿同一條流線（along a streamline）分析

在上述條件下，流體沿流線流動時，其單位體積的總能量（壓力能＋動能＋位能）維持定值。

第二步：寫出公式並定義每一個參數

白努利方程式的標準形式為：

$P + \frac{1}{2}\rho V^{2} + \rho g h = \text{常數（constant）}$

或針對流線上任兩點 $1$、$2$ 的關係式寫成：

$P_{1} + \frac{1}{2}\rho V_{1}^{2} + \rho g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2}\rho V_{2}^{2} + \rho g h_{2}$

各參數說明如下：

符號	名稱	說明
$P$	靜壓（Static Pressure）	流體本身作用在單位面積上的壓力，單位為 $\text{N/m}^2$（Pa）
$\rho$	流體密度（Density）	單位體積流體之質量，單位為 $\text{kg/m}^3$；假設為常數（不可壓縮流）
$V$	流速（Flow Velocity）	該點流體之速度，單位為 $\text{m/s}$；$\frac{1}{2}\rho V^{2}$ 稱為動壓（Dynamic Pressure）
$g$	重力加速度（Gravitational Acceleration）	約為 $9.81\ \text{m/s}^2$
$h$	高度（Elevation Head）	該點相對於基準面之垂直高度，單位為 $\text{m}$；$\rho g h$ 代表位能項

航空應用上的簡化：在探討機翼繞流時，由於空氣密度小、上下表面高度差極微，位能項 $\rho g h$ 相較於壓力項與動壓項可忽略不計，因此常簡化為：

一、核心觀念

Dutch Roll（荷蘭滾） 是飛機側向—方向（lateral-directional）動態穩定性中三個特徵模態之一，另外兩個為 螺旋模態（Spiral mode） 與 滾轉衰減模態（Roll subsidence mode）。Dutch Roll 的物理現象是：飛機在側滑角 $\beta$、滾轉角速度 $p$、偏航角速度 $r$ 三者耦合下，產生「機翼交替上下擺動、同時機頭左右搖擺」的阻尼振盪運動，因狀似荷蘭滑冰選手左右擺盪滑行的姿態而得名。

本題考的核心是側向—方向運動方程式中兩個關鍵氣動力穩定導數的交互作用：

• 方向靜穩定性導數 $C_{n\beta}$（weathercock stability）：側滑產生的偏航恢復力矩，$C_{n\beta}>0$ 代表穩定。
• 橫向靜穩定性導數（上反角效應） $C_{l\beta}$（dihedral effect）：側滑產生的滾轉力矩，$C_{l\beta}<0$ 代表穩定（側滑翼有升力恢復傾向）。

Dutch Roll 即為此二者「恢復速度不同步」所誘發的耦合振盪。

二、解題方法：成因推導

1. 側向—方向線性化運動方程式

以機體軸小擾動線性化後，側向三個方程式為：

$m\dot{v} = Y_\beta \beta + Y_p p + Y_r r - mgU_0\phi$ $I_x \dot{p} - I_{xz}\dot{r} = L_\beta \beta + L_p p + L_r r$ $I_z \dot{r} - I_{xz}\dot{p} = N_\beta \beta + N_p p + N_r r$

其中 $L_\beta \propto C_{l\beta}$、$N_\beta \propto C_{n\beta}$、$N_r$ 為偏航阻尼導數（$C_{n_r}$ 相關）。

2. 特徵方程式分解為三模態

上述三階系統之特徵方程式為五次多項式，可近似因式分解為：

$\left(s - \lambda_{spiral}\right)\left(s - \lambda_{roll}\right)\left(s^2 + 2\zeta_{DR}\omega_{n,DR}s + \omega_{n,DR}^2\right) = 0$

前二者為實根（螺旋、滾轉衰減），後者為一對共軛複根，即為 Dutch Roll 模態。

3. Dutch Roll 近似模型（僅取 $\beta$、$r$ 兩自由度）

工程實務上常忽略滾轉自由度 $p$（因滾轉阻尼 $L_p$ 通常很大、衰減極快），只取 $\beta$–$r$ 二階耦合系統近似求 Dutch Roll 特性：

$\omega_{n,DR}^2 \approx \frac{N_\beta}{I_z}$

$2\zeta_{DR}\omega_{n,DR} \approx -\left(N_r + \frac{Y_\beta}{mU_0}\right)$

由此可見：

• $\omega_{n,DR}$（振盪頻率）主要由 方向穩定性 $N_\beta$（即 $C_{n\beta}$） 決定，$C_{n\beta}$ 越大，Dutch Roll 頻率越高、振盪越明顯。
• $\zeta_{DR}$（阻尼比）主要由 偏航阻尼 $N_r$ 決定，$N_r$（負值愈大）代表阻尼愈強、Dutch Roll 衰減愈快。

4. 物理成因鏈（考試作答重點）

Dutch Roll 之所以發生，是因為 方向恢復（yaw restoring）與橫向恢復（roll restoring）的相位與時間常數不一致，形成如下循環：

1. 陣風或擾動使飛機產生側滑角 $\beta$；
2. 方向穩定性 $C_{n\beta}>0$ 產生偏航恢復力矩，使機頭轉向來流（風標效應），但此偏航運動會誘發滾轉角速度 $p$（因偏航會使外側機翼速度增加、產生額外升力）；
3. 同時上反角效應 $C_{l\beta}<0$ 使側滑翼產生滾轉修正力矩；
4. 若 $C_{l\beta}$ 相對 $C_{n\beta}$ 過小，滾轉修正跟不上偏航修正的節奏，飛機在修正側滑過程中「滾轉超前或落後」，導致側滑角反覆再生，形成 β–p–r 三者耦合的持續振盪。

5. 加劇 Dutch Roll 之設計與飛行條件

核心觀念

本題考的是噴射機（渦輪引擎）巡航性能分析中最經典的推導之一——布雷蓋航程方程式（Breguet Range Equation）。此題型結合了兩大力學基礎：

1. 等高度定常水平飛行的力平衡條件：升力等於重力、推力等於阻力。
2. 燃油消耗與瞬時重量變化的微分關係，配合積分求出總航程。

由於題目定義 $C$ 為「每產生一磅推力，每小時消耗燃料 $C$ 磅」，其單位為 $\text{lb/hr/lb}=1/\text{hr}$，這正是推力比燃油消耗率（Thrust Specific Fuel Consumption, TSFC）的定義，故可判斷本題描述的是渦輪噴射（渦輪扇）動力飛機，而非螺旋槳飛機（螺旋槳飛機的 $c$ 是以馬力為基準，公式形式不同）。

必須用到的基本公式： $L=\frac{1}{2}\rho V^2 S C_L,\qquad D=\frac{1}{2}\rho V^2 S C_D$

解題方法

步驟一：建立等高度定常水平飛行的平衡方程式

飛機做等高度（$\rho$ 不變）、等速直線（定常）飛行時，垂直方向與水平方向皆平衡：

$L=W,\qquad T=D$

由升力方程式： $W=\frac{1}{2}\rho V^2 S C_L$

解出瞬時巡航速度：

$\boxed{V=\sqrt{\dfrac{2W}{\rho S C_L}}}$

此式說明：在等高度飛行下，若維持攻角不變（即 $C_L$ 不變），隨著燃油消耗、重量 $W$ 下降，巡航速度 $V$ 會隨之逐漸減小——這正是「等高度巡航」（相對於「等速爬升巡航」cruise-climb）的技術特徵。

步驟二：建立燃油消耗微分方程

依 $C$ 的定義，單位時間消耗的燃油重量與推力成正比：

$-\frac{dW}{dt}=C\,T$

（負號表示飛機重量隨時間遞減）。因為定常飛行時 $T=D$，故：

$-\frac{dW}{dt}=C\,D$

步驟三：以升阻比取代阻力，並轉換為對距離的微分

利用 $L=W$ 的關係，可將阻力寫成：

$D=\frac{1}{2}\rho V^2SC_D=\frac{C_D}{C_L}\cdot\frac{1}{2}\rho V^2SC_L=\frac{C_D}{C_L}\,W$

代入前式：

$-\frac{dW}{dt}=C\,W\,\frac{C_D}{C_L}$

又因飛行距離 $R$ 滿足 $dR=V\,dt$，即 $dt=\dfrac{dR}{V}$，代入上式並整理：

$-\frac{dW}{dR}=\frac{C\,C_D}{C_L\,V}\,W$

$dR=-\frac{V}{C}\cdot\frac{C_L}{C_D}\cdot\frac{dW}{W}$

步驟四：代入 $V$ 的表示式並整理

將步驟一所得 $V=\sqrt{\dfrac{2W}{\rho S C_L}}$ 代入：

$$dR=-\frac{1}{C}\sqrt{\frac{2W}{\rho SC_L}}\cdot\frac{C_L}{C_D}\cdot\frac{dW}{W} =-\frac{1}{C}\sqrt{\frac{2C_L}{\rho S}}\cdot\frac{1}{C_D}\cdot\frac{dW}{\sqrt{W}}$$

（此步驟關鍵在於把 $\sqrt{W}/W=1/\sqrt{W}$ 提出，使積分成為標準冪函數積分。）

步驟五：對重量積分（由滿油重 $W$ 積到耗盡燃油後之重 $W-W_f$）

核心觀念

本題考的是飛行力學（Flight Dynamics）中「飛機穩定性」章節的基本分類——靜穩定性（Static Stability）與動態穩定性（Dynamic Stability）的區別，並聚焦在「縱向」（Longitudinal，即繞飛機橫軸 Y 軸的俯仰運動）方向上的動態穩定表現與其維持方法。

作答時必須清楚建立以下觀念層次：

1. 靜穩定性只描述飛機受擾動瞬間的「初始反應趨勢」（是否有恢復力矩），不涉及時間過程。
2. 動態穩定性則描述飛機受擾動後，隨「時間」演變的整體運動歷程，是否最終收斂回平衡狀態。
3. 縱向動態穩定牽涉的關鍵氣動力導數為俯仰力矩係數對攻角的導數 $C_{m_\alpha}$（靜穩定項）、對俯仰角速度的導數 $C_{m_q}$（阻尼項）、以及對攻角變化率的導數 $C_{m_{\dot\alpha}}$（下洗延遲項）。

解題方法／作答架構

申論題答題應採「定義→分類→機制→方法」四段式鋪陳，讓閱卷者能明確辨識考生掌握完整知識架構，而非片段記憶。以下依此架構完整展開。

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內容詳解

一、縱向動態穩定的定義

飛機在飛行中受到外界擾動（如陣風、亂流）後，其攻角、俯仰角、速度、高度等狀態變數會偏離原平衡狀態。動態穩定性是指：

飛機受擾動後所產生的振盪運動，其振幅隨時間變化的趨勢。

依振幅隨時間的變化，可分三種情況：

• 動態穩定（Dynamically Stable）：擾動後的振盪幅度隨時間逐漸衰減，最終收斂回原平衡狀態，即為阻尼振盪（Damped Oscillation）。
• 動態不穩定（Dynamically Unstable）：振盪幅度隨時間逐漸增大，稱為發散振盪（Divergent Oscillation）。
• 中性動態穩定（Neutrally Stable）：振盪幅度維持不變，既不衰減也不發散。

須特別強調：靜穩定為動態穩定的必要條件，但非充分條件。也就是說，飛機必須先具備靜穩定（擾動後有恢復力矩，$C_{m_\alpha}<0$）才可能達到動態穩定；但即使靜穩定，若缺乏足夠阻尼，仍可能因振盪不衰減而呈現動態不穩定（此即所謂「靜穩定、動不穩定」的情形）。

二、縱向動態穩定的兩種典型模式

將縱向線性化運動方程式求解特徵根後，通常可分解為兩組二階振盪模式：

1. 長週期模式（Phugoid Mode）

• 週期長（約 20 秒至數分鐘），阻尼比極小（阻尼弱）。
• 運動特徵：速度與高度以近乎定攻角的方式交換能量（爬升減速、俯衝加速），攻角幾乎維持不變。
• 因週期長、變化緩慢，飛行員容易察覺並以操縱面主動修正，故對飛安威脅較小。

2. 短週期模式（Short Period Mode）

• 週期短（約 1～2 秒），阻尼比較大（自然阻尼強）。
• 運動特徵：攻角快速振盪變化，涉及升力與俯仰力矩的迅速調整。
• 因週期短、飛行員反應可能跟不上，若阻尼不足容易誘發「飛行員誘發振盪」（PIO, Pilot Induced Oscillation），對飛安威脅較大，是設計上須嚴格把關的模式。

以特徵方程式表示，任一模式可寫為標準二階系統：

$s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$

其中阻尼比 $\zeta > 0$ 且自然頻率 $\omega_n$ 為實數時，系統呈現衰減振盪，即動態穩定；若 $\zeta < 0$，則振盪發散。依 Routh–Hurwitz 判據，須確認特徵方程式所有係數同號且滿足判別式，才能保證所有根之實部為負。

三、保持縱向動態穩定的方法

核心觀念

本題考的是旋翼機自旋下降（Autorotation） 時，主旋翼盤面（rotor disk）沿半徑方向的氣動力分區理論，此為直升機空氣動力學（Helicopter Aerodynamics）中「自旋」章節的核心觀念，常見於 FAA Helicopter Flying Handbook（FAA-H-8083-21）及 Leishman《Principles of Helicopter Aerodynamics》。

基本原理： 動力正常時，氣流由旋翼盤上方向下流過（downwash）；一旦引擎（或傳動系統）失效，飛行員須立即降下總距桿（collective）進入自旋，此時直升機因重力下降，產生一股由下往上穿過旋翼盤的相對氣流（upward inflow through the disk），方向與正常動力飛行時完全相反。

旋翼葉片上任一點的合成相對風，是由兩個速度分量向量合成而得：

$V_{tangential}=\Omega r$

（切向速度，隨半徑 $r$ 線性增加）與

$V_{up}$

（自旋下降造成的垂直上升氣流分量，沿半徑方向大致均勻）。

兩者合成角 $\phi=\arctan\!\left(\dfrac{V_{up}}{\Omega r}\right)$，攻角則為

$\alpha=\theta-\phi$

（$\theta$ 為葉片幾何節距角）。

由於 $\Omega r$ 隨半徑增加而變大，但 $V_{up}$ 大致不變，因此合成入流角 $\phi$ 由槳轂向槳尖遞減，導致沿半徑各處攻角不同、升力與阻力方向不同、對旋轉平面的力矩貢獻也不同——這正是為何主旋翼盤在自旋時必須分成三個作動區的物理原因。

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解題方法：三個作動區逐一說明

由槳轂（hub）向槳尖（blade tip） 依序分為：失速區 → 驅動區 → 被驅動區，可用下圖表示（旋翼半徑剖面示意）：

槳轂 (Hub, r=0) 槳尖 (Tip, r=R)
 |─────────────|───────────────────────|──────────────────|
 | Stall | Driving Region | Driven Region |
 | Region | （驅動區／自轉區） | （被驅動區／螺旋槳區）|
 |（失速區） | | |
 |─────────────|───────────────────────|──────────────────|
 0 ~25%R ~70%R 100%R

 ↑ 由下往上流入之相對氣流 (upward inflow, autorotative airflow)

各區速度三角形（合成相對風向量）示意（由內而外攻角遞減）：

失速區： 驅動區： 被驅動區：
 L↑ D→(大) L↑ D→(小) L↑(大) D→
 \ | \ | \ |
 \ |合成相對風 \ |合成相對風 \ |合成相對風
 \|(角度大,α超臨界) \ |(角度適中) \ |(角度小,α小)
 ────●──→ Ω r ───●──→ Ω r ───●──→ Ω r
 （合力沿旋轉方向 （合力反旋轉方向
 分量→驅動扭矩） 分量→阻礙扭矩）

（一）失速區（Stall Region）

• 位置：最靠近槳轂，約自 $r=0$ 至 $0.25R$ 附近。
• 成因：此處切向速度 $\Omega r$ 最小，而垂直上升氣流分量相對固定，合成入流角 $\phi$ 最大，使得攻角 $\alpha$ 超過臨界攻角（critical AOA），葉片產生失速。