111 高普考高考三級 天文 天文學 考古題詳解

核心觀念

本題為典型的「名詞界定與物理機制」申論題，測驗考生對恆星系統觀測、太陽系天體分類標準、密近雙星重力場動力學，以及廣義相對論重力效應等核心概念的理解深度：

1. 分光雙星（Spectroscopic Binary）：涉及雙星系統軌道運動、視線方向都卜勒效應（Doppler effect）、徑向速度曲線（radial velocity curve）及天體角解析度限制。
2. 矮行星（Dwarf Planet）：涉及 2006 年第 26 屆國際天文學聯合會（IAU）對行星／矮行星所訂定的三要件（繞日公轉、流體靜力平衡達到近球形、未能清除軌道周邊天體）。
3. 洛希瓣（Roche Lobe）：涉及限制性三體問題（restricted three-body problem）、共轉坐標系中的有效位能面（effective potential）、內拉格朗日點（$L_1$）及質量轉移機制（Roche-lobe overflow）。
4. 愛因斯坦環（Einstein Ring）：涉及廣義相對論之強重力透鏡效應（strong gravitational lensing）、光線受質量偏折之幾何光學路徑，以及軸對稱共線（軸心對齊）條件下的愛因斯坦半徑（$\theta_E$）。

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解題方法

本題共 4 小題，每小題配分 5 分。答題切入點應採取「定義 $\rightarrow$ 核心物理機制／判準 $\rightarrow$ 觀測特徵或典型代表範例」的三段式架構：

1. 分光雙星：先指出其空間角距離無法被光學望遠鏡分開，再說明利用都卜勒位移 $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v_r}{c}$ 的週期性變化確認雙星，並區分單線（SB1）與雙線（SB2）分光雙星。
2. 矮行星：精準默寫 IAU 2006 決議文的三大核心要件與非衛星條件，避免使用模糊口語，並列舉著名實例。
3. 洛希瓣：明確界定其為限制性三體系統共轉架構下的「臨界等位面」，指明相交於第一拉格朗日點（$L_1$），並說明當恆星體積超出此界限時的物質轉移天文效應。
4. 愛因斯坦環：強調光源、透鏡體與觀測者三者「精準共線」的幾何條件，並給出愛因斯坦半徑公式 $\theta_E$，說明其成像對稱性。

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小題深入分析（試題逐項解析）

(一) 分光雙星（spectroscopic binary）

• 成因與特徵：此類雙星因相距甚近或距離地球極為遙遠，其角距離小於望遠鏡的角解析極限，在空間影像上呈現單一光點。然而，兩星互繞質心公轉時，視線方向的徑向速度隨時間呈週期性改變，使吸收光譜或發射光譜依據都卜勒效應產生週期性的紅移與藍移。
• 分類：
• 單線分光雙星（SB1）：伴星光度遠低於主星，光譜中僅能觀測到主星的一套譜線在週期性移動。
• 雙線分光雙星（SB2）：兩星亮度相近，光譜可見兩套譜線交替分開與重疊。
• 天文應用：觀測其徑向速度曲線可求得公轉週期 $P$ 與視線速度振幅 $K$，進而計算雙星質量函數（mass function），是精確測量恆星質量的關鍵天體。

(二) 矮行星（dwarf planet）

• 官方定義要件：依據國際天文學聯合會（IAU）於 2006 年通過的第 5A 號決議，矮行星必須同時符合下列四項定義：

1. 繞行太陽運轉（in orbit around the Sun）。
2. 具有足夠質量以自身重力克服剛體力，達到流體靜力平衡（hydrostatic equilibrium）狀態，外觀呈接近球形（nearly round shape）。
3. 未能清除其軌道周邊區域的天體（has not cleared the neighbourhood around its orbit）。
4. 自身不可為其他行星的衛星（is not a satellite）。

• 實例：冥王星（Pluto）、穀神星（Ceres）、鬩神星（Eris）、妊神星（Haumea）、鳥神星（Makemake）。

(三) 洛希瓣（Roche lobe）

• 物理定義：在密近雙星系統中，考量兩星重力與共轉參考系（co-rotating frame）離心力所構成的「有效位能（effective potential）」場中，包圍個別恆星且重力仍由該恆星主導的最大閉合臨界等位面（critical equipotential surface）。
• 幾何與演化機制：

核心觀念

本題為高普考天文類科極具代表性的近代天文觀測與相對論綜合計算題，核心考點包含：

1. 超長基線干涉技術（VLBI）：利用分布於全球的電波望遠鏡組成陣列，形成等效口徑相當於地球直徑的虛擬望遠鏡。
2. 干涉儀理論角解析度： $\theta \approx \frac{\lambda}{D}$ 其中 $\lambda$ 為觀測波長，$D$ 為干涉儀的最大基線長度（以地球直徑估算）。
3. 史瓦西黑洞之事件視界（Schwarzschild Radius）： $R_s = \frac{2GM}{c^2}$
4. 天文角直徑與小角度近似： $\theta = \frac{L}{d}$ 利用弧度（$\mathrm{rad}$）與角秒（$\mathrm{arcsec}$）、微角秒（$\mu\mathrm{as}$）的進位換算（$1\,\mathrm{rad} \approx 206{,}265'' = 2.06 \times 10^{11}\,\mu\mathrm{as}$），或利用天文速算公式 $\theta\,[''] = \frac{L\,[\mathrm{AU}]}{d\,[\mathrm{pc}]}$。

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解題方法

第一子題：EHT 所使用的技術

事件視界望遠鏡（Event Horizon Telescope, EHT）採用的是超長基線干涉技術（Very Long Baseline Interferometry, VLBI），具體為毫米波／次毫米波超長基線干涉技術（mm/sub-mm VLBI）。 其原理為將散布於全球各地的毫米波電波望遠鏡同步對準目標，透過各測站的高精度氫邁射原子鐘記錄訊號與精確時間戳記，事後將海量數據彙整至超級電腦進行互相關（Cross-correlation）與合成孔徑運算，等效構成一個口徑達地球直徑大小的虛擬電波望遠鏡。

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第二子題：估算 EHT 的理論最佳角解析度

1. 計算觀測波長 $\lambda$： 觀測頻率 $\nu = 230\,\mathrm{GHz} = 2.3 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}$，光速 $c \approx 3.0 \times 10^8\,\mathrm{m/s}$。 $\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3.0 \times 10^8\,\mathrm{m/s}}{2.3 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}} \approx 1.30 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} = 1.30\,\mathrm{mm}$

2. 設定干涉陣列最大基線長度 $D$： EHT 的望遠鏡分布涵蓋美洲、歐洲、夏威夷至南極，其最大有效基線長度受限於地球物理尺寸，理論最佳等效口徑取地球直徑： $D \approx 2 R_\oplus \approx 1.27 \times 10^4\,\mathrm{km} = 1.27 \times 10^7\,\mathrm{m}$ （若以全球站點間最長實際基線約 $1.07 \times 10^7\,\mathrm{m}$ 或 $1.0 \times 10^7\,\mathrm{m}$ 估算亦可，此處取理論極限地球直徑）。

3. 計算理論最佳角解析度 $\theta$： 根據干涉儀角解析度公式： $\theta \approx \frac{\lambda}{D} = \frac{1.30 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}}{1.27 \times 10^7\,\mathrm{m}} \approx 1.02 \times 10^{-10}\,\mathrm{rad}$

4. 單位換算為微角秒（$\mu\mathrm{as}$）： 因 $1\,\mathrm{rad} = \frac{180 \times 3600}{\pi}'' \approx 206{,}265'' = 2.063 \times 10^{11}\,\mu\mathrm{as}$： $\theta \approx (1.02 \times 10^{-10}\,\mathrm{rad}) \times (2.063 \times 10^{11}\,\mu\mathrm{as/rad}) \approx 21.0\,\mu\mathrm{as}$ （若採用單孔徑繞射的瑞立準則 $\theta \approx 1.22 \frac{\lambda}{D}$，或考量實際基線約 $1.0 \times 10^7\,\mathrm{m}$，估算值約落在 $20 \sim 26\,\mu\mathrm{as}$ 之間，常規理論值以 $\sim 20 \sim 25\,\mu\mathrm{as}$ 為標準）。

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第三子題：估算銀心超大質量黑洞事件視界之角大小

1. 計算黑洞的事件視界物理尺寸（史瓦西半徑 $R_s$）： 已知銀心黑洞質量 $M = 4 \times 10^6\,M_\odot$。 一個太陽質量（$1\,M_\odot$）的史瓦西半徑為： $R_{s,\odot} = \frac{2GM_\odot}{c^2} \approx \frac{2 \times (6.674 \times 10^{-11}) \times (1.989 \times 10^{30})}{(3.0 \times 10^8)^2} \approx 2.95 \times 10^3\,\mathrm{m} \approx 2.95\,\mathrm{km} \approx 3.0\,\mathrm{km}$ 因此該黑洞的事件視界半徑為： $R_s = 4 \times 10^6 \times 2.95\,\mathrm{km} \approx 1.18 \times 10^7\,\mathrm{km} = 1.18 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ 事件視界物理直徑為： $2R_s \approx 2.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$

核心觀念

本題旨在考驗考生對**太陽活動、太陽磁流體力學（MHD）以及日地太空天氣（Space Weather）**的物理認知。核心概念與關鍵物理量涵蓋：

1. 日冕物質拋射（Coronal Mass Ejection, CME）之物理定義：大量電漿（離子與自由電子）與太陽磁場自日冕快速拋射至行星際空間的高能爆發現象，典型拋射質量約 $10^{11} \sim 10^{13}\text{ kg}$，傳播速度介於 $200 \sim 3000\text{ km/s}$ 之間。
2. 磁流體力學機制：非位能磁場（Non-potential Magnetic Field）之能量積聚、磁通量繩（Magnetic Flux Rope）之失去力平衡（Loss of Equilibrium）與不穩定性（如扭曲不穩定性 Kink Instability、環狀不穩定性 Torus Instability），以及關鍵的**磁重聯（Magnetic Reconnection）**釋放磁能並轉化為熱能與動能。
3. 地磁耦合與太空天氣效應：行經行星際空間之行星際日冕物質拋射（ICME）若帶有南向行星際磁場（$B_z < 0$），會與地球磁層頂發生磁重聯，將能量注入地球磁層，誘發地磁風暴（Geomagnetic Storm）、電離層擾動、極光及地表的地磁感應電流（GIC）。

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解題方法

本題為標準的申論型天文物理題，答題架構應劃分為三個邏輯層次，由淺入深、由因至果：

1. 第一部分（定義）：明確給出 CME 的物理組成（高溫電漿雲與凍結磁場）、空間尺度與運動速度範疇，並點出其與純電磁輻射爆發（如太陽閃焰 Solar Flare）之本質差異。
2. 第二部分（起因）：自磁活動區出發，說明太陽磁場因差動自轉與對流扭曲形成高能磁通結構；闡明力平衡破壞、扭曲／環狀不穩定性引發拋射，並說明磁重聯在此過程中扮演的「磁拓撲改變」與「能量爆發性釋放」角色。
3. 第三部分（地球影響）：採「空間由外至內」或「系統分類法」有系統地條列：高層太空（人造衛星受損與大氣阻力激增）、中層電離層（通訊中斷與 GPS 導航誤差）、低層地面基礎設施（輸電網絡 GIC 感應電流），以及高能輻射對人體健康的威脅。

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選項分析

本題為非選擇題（高考三級申論題，無選項）。評分依據在於內容之專業性、結構之嚴整性及專有名詞之準確度。考場評分標準對應重點如下：

• 定義部分：須明確指出包含「電漿物質」與「磁場」兩者，若僅回答「太陽噴出氣體」得分偏低。
• 起因部分：須點出「磁能釋放」、「磁通量繩（Flux Rope）」及「磁重聯（Magnetic Reconnection）」等關鍵 MHD 理論。
• 影響部分：須區分「地磁風暴（磁層／電離層）」、「地面感應電流（GIC）」及「人造衛星／通訊阻礙」，具體列舉實例機制尤佳。

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解題技巧

1. 名詞勿混淆（高頻陷阱）：切勿將 CME 與「閃焰（Solar Flare）」混為一談。閃焰主要是光子爆發（電磁輻射），以光速傳播（約 8.3 分鐘抵達地球）；CME 則是帶電粒子團塊與磁場結構，需歷時約 15 至 72 小時方抵達地球。兩者常共生，但物理機制與效應不同。
2. 答題量級數據加分法：在定義中附上典型數值（質量 $10^{11} \sim 10^{13}\text{ kg}$、速度數百至數千 $\text{km/s}$、行進時間約 $1 \sim 3\text{ 天}$），能顯著突顯考生的專業水準。
3. 記憶架構（四維空間影響法）：

• 太空設備：軌道衰退、單一事件翻轉（SEU）。
• 電磁通訊：電離層擾動、短波無線電通訊中斷、GNSS 誤差。
• 地面工程：地磁感應電流（GIC）、變壓器燒毀、輸電網崩潰。
• 自然景觀：低緯度極光現象。

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【答案】

核心觀念

本題評量恆星天文學中最基礎且核心的二維光譜分類系統（MK 系統，Morgan-Keenan Classification）及其在赫羅圖（H-R Diagram）上的物理詮釋：

1. 第一維度：光譜型（Spectral Type）

• 核心物理量：恆星表面有效溫度（$T_{\rm eff}$）。
• 物理機制：由波茲曼方程式（Boltzmann equation）與沙哈游離方程式（Saha equation）決定不同溫度下各元素原子的激發態與游離態布居數，進而決定吸收譜線的種類與強度。

2. 第二維度：光度級（Luminosity Class）

• 核心物理量：恆星光度（$L$）與半徑（$R$）。
• 物理機制：恆星表面重力加速度 $g = \frac{GM}{R^2}$ 決定恆星大氣層的氣體壓力與電子壓力（$P_e$）。透過壓力增寬效應（Pressure Broadening / Stark Effect），譜線寬度反映了恆星半徑與光度。

3. 赫羅圖與光度方程式

• 恆星光度、半徑與溫度的關係式為史蒂芬-波茲曼定律： $L = 4\pi R^2 \sigma T_{\rm eff}^4$
• 結合光譜型（橫軸）與光度級（縱軸），即可在赫羅圖上唯一定位恆星的演化階段與物理狀態。

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解題方法（申論擬答）

一、光譜型（Spectral Type）

1. 定義與分類序列

• 恆星光譜型主要依照恆星表面有效溫度高低排列，標準序列由高溫至低溫依序為： $\text{O} - \text{B} - \text{A} - \text{F} - \text{G} - \text{K} - \text{M}$
• 每一光譜型再細分為 10 個次級（0 至 9，數字愈大溫度愈低，例如 A0 比 A9 熱）。

2. 物理機制與譜線特徵

• 恆星成分絕大多數以氫、氦為主，光譜差異並非化學成分不同，而是溫度不同導致原子的游離與激發狀態改變（沙哈與波茲曼方程式主導）：
• O 型（$T > 30,000\text{ K}$）：離子化氦（$\text{He II}$）吸收線顯著，中性氦（$\text{He I}$）較弱，氫巴耳末線（Balmer lines）微弱。
• B 型（$10,000\text{ K} - 30,000\text{ K}$）：中性氦（$\text{He I}$）達到最強，巴耳末線逐漸增強。
• A 型（$7,500\text{ K} - 10,000\text{ K}$）：氫巴耳末線達到最大強度（以 A0 最強，如織女星），游離金屬線開始出現。
• F 型（$6,000\text{ K} - 7,500\text{ K}$）：氫線開始減弱，游離鈣（$\text{Ca II}$ 的 H、K 吸收線）顯著增強。
• G 型（$5,200\text{ K} - 6,000\text{ K}$）：游離鈣（$\text{Ca II}$）線極強，中性金屬線（如 $\text{Fe I}$）增強，氫線中等。
• K 型（$3,700\text{ K} - 5,200\text{ K}$）：中性金屬線占主導地位，分子吸收帶（如 $\text{CH}$、$\text{CN}$）開始出現。
• M 型（$T < 3,700\text{ K}$）：氧化鈦（$\text{TiO}$）等分子吸收帶極強，中性金屬線發達。

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二、光度級（Luminosity Class）

1. 定義與等級劃分

• 單憑光譜型（溫度）無法區分具有相同表面溫度但體積與光度差異極大的恆星（如紅巨星與紅矮星同為 M 型）。耶基斯天文台（Yerkes）建立了光度級系統，以羅馬數字標示：
• Class Ia-O / 0：特超巨星（Hypergiants）
• Class Ia：極亮超巨星（Luminous supergiants）
• Class Ib：較暗超巨星（Less luminous supergiants）
• Class II：亮巨星（Bright giants）
• Class III：正常巨星（Normal giants）
• Class IV：次巨星（Subgiants）
• Class V：主序星／矮星（Main-sequence stars / dwarfs）
• Class VI（或稱 sd）：次矮星（Subdwarfs）
• Class VII（或稱 D）：白矮星（White dwarfs）

2. 光譜判別機制：大氣壓力增寬效應

• 根據 $L = 4\pi R^2 \sigma T_{\rm eff}^4$，在相同溫度（相同光譜型）下，光度 $L$ 愈大，代表恆星半徑 $R$ 愈巨大。

核心觀念

本題評量星系天文學中的基礎架構——哈伯星系型態分類法（Hubble Classification of Galaxies），亦即著名的「哈伯音叉圖（Hubble Tuning Fork Diagram）」。作答核心包含：

1. 外觀形態分類指標：光學波段下的幾何形狀、對稱性、棒狀結構（Bar）、核球與盤面亮度比例（Bulge-to-Disk Ratio）、旋臂纏繞程度（Pitch Angle）及解析粗糙度。
2. 橢圓度量化公式：橢圓星系子分類的軸比關係式： $n = 10 \times \left(1 - \frac{b}{a}\right)$ 其中 $a$ 為視長軸半徑，$b$ 為視短軸半徑。
3. 物理實質連結：各類星系對應的星族成分（星族一與星族二）、星際介質（ISM）含量、恆星形成率（SFR）及運動學特徵（隨機速度 vs. 有序自轉）。

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解題方法

本題為高等考試典型的申論題型，答題切入點應採「總分結構」：

1. 宏觀架構：先指出哈伯分類將星系分為四大主類（橢圓、透鏡、螺旋／棒旋、不規則），並建構「音叉圖」的分岔拓撲關係。
2. 微觀分述：針對每一主類及次分類，精確交代「幾何形態特徵」、「分類準則（含代號與公式）」及「物理環境（恆星與氣體特性）」。
3. 觀念釐清：簡要澄清「早期型（Early-type）」與「晚期型（Late-type）」為歷史分類名詞，不代表恆星演化順序。

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選項分析（本題為申論題，依分類體系逐項解析）

一、 橢圓星系（Elliptical Galaxies, 記為 E）

• 幾何形態與分類判準：
• 外觀呈光滑無結構的橢圓形或球形，光度分佈符合德沃庫勒爾定律（de Vaucouleurs' $R^{1/4}$ law）。
• 依投影於天球上的「視扁率」劃分，記為 $\text{E}n$（$n = 0 \sim 7$），計算公式為： $n = 10 \times \left(1 - \frac{b}{a}\right)$ （取最接近的整數）。$\text{E0}$ 投影為正圓形（$b/a = 1$），$\text{E7}$ 為最扁的橢圓（$b/a \approx 0.3$）；自然界中未見超過 $\text{E7}$ 的穩定系統。
• 物理與星族特徵：
• 主要由年老、富金屬的星族二（Population II）恆星組成，整體顏色偏紅。
• 缺乏低溫冷氣體與塵埃，目前的恆星形成活動極為微弱。
• 恆星軌道主要由不規則的隨機運動（Random velocity dispersion, $\sigma$）支撐，而非整體有序自轉。

二、 透鏡狀星系／透鏡星系（Lenticular Galaxies, 記為 S0 或 SB0）

• 幾何形態與分類判準：
• 位於音叉圖柄部與雙分岔交會處，為橢圓星系過渡至螺旋星系的中間型態。
• 結構上具有明顯的「中心核球（Bulge）」與「星系盤（Disk）」，但盤面上完全缺乏明顯的旋臂結構。
• 若盤中央存在棒狀結構，則歸類為 $\text{SB0}$；無棒狀結構者則記為 $\text{S0}$。
• 物理與星族特徵：
• 擁有旋渦星系的盤狀幾何，但氣體含量已近耗盡，主要為老齡恆星，無顯著恆星形成區。

三、 正常螺旋星系（Normal Spiral Galaxies, 記為 S 或 SA）

• 幾何形態與次分類判準：
• 具有扁平星系盤、顯著旋臂、中心核球及外圍的球狀星系暈（Halo）。
• 依以下三個互相協同的特徵，由緊密到鬆散細分為 $\text{Sa} \rightarrow \text{Sb} \rightarrow \text{Sc}$（現代擴充可至 $\text{Sd}$）：

1. 核球與盤面的亮度比值（Bulge-to-Disk ratio）：$\text{Sa}$ 最大，$\text{Sb}$ 次之，$\text{Sc}$ 最小。
2. 旋臂纏繞緊密程度（Winding tightness / Pitch angle）：$\text{Sa}$ 旋臂緊密纏繞；$\text{Sc}$ 旋臂開闊、鬆散。
3. 旋臂結構解析度與叢聚度（Arm clumpiness）：$\text{Sa}$ 旋臂光滑平順；$\text{Sc}$ 旋臂高度碎片化，佈滿離散的亮星團與電離氫區（H II regions）。

• 物理與星族特徵：
• 盤面與旋臂以自轉運動為主，富含星際氣體與塵埃，為活躍恆星形成場所，聚集大量年輕的星族一（Population I）高溫大質量恆星，顏色偏藍。
• 核球與星系暈則由較年老的星族二恆星與球狀星團組成。

核心觀念

本題評量宇宙學（Cosmology）中「宇宙微波背景輻射」（Cosmic Microwave Background, CMB）的熱力學演化性質與觀測特徵，涉及以下三大核心定律與定義：

1. 宇宙膨脹與宇宙學紅移（Cosmological Redshift）： 在廣義相對論的 FLRW 度規下，光子在膨脹宇宙中傳播時，其波長 $\lambda$ 會隨宇宙尺度因子（Scale Factor）$a(t)$ 等比例拉長： $\lambda \propto a(t)$ 紅移值 $z$ 與現代尺度因子 $a_0$ 及過去尺度因子 $a(t)$ 之關係定義為： $1 + z = \frac{a_0}{a(t)} = \frac{\lambda_0}{\lambda(z)}$ 其中 $\lambda_0$ 為現今觀測到的波長，$\lambda(z)$ 為紅移 $z$ 時代的光子波長。

2. 黑體輻射光譜與溫度的演化： 宇宙早期處於熱平衡狀態，CMB 具有極高精確度的黑體輻射譜。隨宇宙絕熱膨脹，輻射的光子數守恆且黑體光譜形態保持不變，但輻射溫度 $T$ 會隨尺度因子成反比冷卻： $T(t) \propto \frac{1}{a(t)} \implies T(z) = T_0 (1 + z)$ 其中現今 CMB 溫度 $T_0 \approx 2.73\text{ K}$（精確值約為 $2.7255\text{ K}$）。

3. 維恩位移定律（Wien's Displacement Law）： 黑體輻射在波長分佈 $B_\lambda(\lambda, T)$ 下的峰值波長 $\lambda_{\max}$ 與其絕對溫度 $T$ 成反比： $\lambda_{\max} T = b$ 其中維恩常數 $b \approx 2.898 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{K}$。

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解題方法

本題包含三個子問題，依序由理論定性推導至定量計算：

一、宇宙微波背景輻射是否會隨著宇宙膨脹而改變？

會改變。 當宇宙膨脹時，宇宙尺度因子 $a(t)$ 隨時間增加，傳播中的 CMB 光子波長被拉長（發生宇宙學紅移），光子能量 $E = \frac{hc}{\lambda}$ 下降，整體能量密度隨 $a^{-4}(t)$ 稀釋。因此，CMB 的特徵輻射溫度會隨膨脹而下降（$T \propto a^{-1}$），其黑體輻射光譜的峰值波長亦隨之向長波方向移動（$\lambda_{\max} \propto a$）。

二、現今 CMB 的峰值波長 $\lambda_{\max, 0}$

現今 CMB 的黑體輻射溫度經精確量測為 $T_0 \approx 2.7255\text{ K}$（解題一般取 $T_0 \approx 2.73\text{ K}$）。 依據維恩位移定律： $\lambda_{\max, 0} = \frac{b}{T_0}$

代入數值： $\lambda_{\max, 0} = \frac{2.898 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{K}}{2.7255\text{ K}} \approx 1.063 \times 10^{-3}\text{ m} \approx 1.06\text{ mm}$ （此波長位於電磁波譜的微波至次毫米波波段）。

三、在紅移 $z = 200$ 時的峰值波長 $\lambda_{\max}(z = 200)$

可藉由「波長隨尺度因子比例縮放」或「維恩位移定律」兩種等價切入點求解：