111 高普考高考三級 天文 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析） 考古題詳解

核心觀念

本題評量線性方程組解的存在性與唯一性（Existence and Uniqueness of Solutions to Linear Systems），主要涉及以下數學工具與定理：

1. 克拉瑪法則（Cramer's Rule）與行列式判定：若係數矩陣的行列式 $\det(A) \neq 0$，則該線性方程組必有唯一解。
2. 高斯消去法（Gaussian Elimination）與增廣矩陣（Augmented Matrix）：透過列運算（Row Operations）將增廣矩陣化簡為列階梯形矩陣（Row Echelon Form）。
3. 魯歇－卡佩里定理（Rouché–Capelli Theorem / 秩定理）：設 $A$ 為係數矩陣，$[A|B]$ 為增廣矩陣，未知數個數為 $n=3$：

• 唯一解：$\text{rank}(A) = \text{rank}([A|B]) = 3$。
• 無窮多解：$\text{rank}(A) = \text{rank}([A|B]) < 3$。
• 無解：$\text{rank}(A) < \text{rank}([A|B])$（即消去後出現「$0 = \text{非零常數}$」之矛盾方程）。

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解題方法

將給定的線性方程組寫為增廣矩陣 $[A|B]$，並利用高斯消去法進行列運算化簡。為使計算簡潔，將第二個方程式調至第一列作為基準列：

$$[A|B] = \begin{bmatrix} 2 & 1 & d & c \\ 1 & 0 & 1 & b \\ 1 & 1 & 2 & a \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & b \\ 2 & 1 & d & c \\ 1 & 1 & 2 & a \end{bmatrix}$$

步驟一：消去第一行（Column 1）首項以下之元素

• 第二列減去第一列的 $2$ 倍（$R_2 \to R_2 - 2R_1$）：
• 第三列減去第一列（$R_3 \to R_3 - R_1$）：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & b \\ 0 & 1 & d - 2 & c - 2b \\ 0 & 1 & 1 & a - b \end{bmatrix}$$

步驟二：消去第二行（Column 2）第三列之元素

• 第三列減去第二列（$R_3 \to R_3 - R_2$）：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & b \\ 0 & 1 & d - 2 & c - 2b \\ 0 & 0 & 3 - d & a + b - c \end{bmatrix}$$

核心觀念

本題主要測驗考生處理非線性形式常微分方程式（ODE）時的「變數角色轉換」能力與「一階線性微分方程式」的標準求解技巧，核心重點包含：

1. 反函數導數關係（互換自變數與應變數）： 當方程式形式為 $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$，直接將 $y$ 視為應變數極為複雜或無法分離時，可利用導數的反函數性質：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad (y \neq 0)$$

改將 $x$ 視為應變數、$y$ 視為自變數。

2. 一階線性常微分方程式標準式與積分因子法： 一階線性常微分方程式之標準型式為：

$$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$$

其積分因子（Integrating Factor）定義為：

$$I(y) = e^{\int P(y)\,dy}$$

兩邊同乘 $I(y)$ 後可將左式化為全微分 $\frac{d}{dy}[x \cdot I(y)]$，進而積分得解。

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解題方法

步驟一：觀察方程式結構並進行變數轉換

原微分方程式為：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{e^{-2y} - 2xy}$$

若將 $y$ 視為 $x$ 的函數，因分母同時存在指數項 $e^{-2y}$ 與乘積項 $-2xy$，既非分離變數型，亦非齊次或白努利（Bernoulli）方程式。

觀察發現：自變數 $x$ 僅以一次方（線性）的形式出現在分母中。因此，考慮將 $x$ 視為 $y$ 的函數，取其倒數：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{e^{-2y} - 2xy}{y}$$

步驟二：整理為一階線性常微分方程式標準式

因題目指定求非零通解（$y \neq 0$），將右式拆項展開：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{e^{-2y}}{y} - 2x$$

移項整理得：

$$\frac{dx}{dy} + 2x = \frac{e^{-2y}}{y}$$

此式即為以 $x$ 為應變數、$y$ 為自變數之一階線性常微分方程式，其中：

$$P(y) = 2, \quad Q(y) = \frac{e^{-2y}}{y}$$

步驟三：求取積分因子

計算積分因子 $I(y)$：

$$I(y) = e^{\int 2\,dy} = e^{2y}$$

核心觀念

本題評量向量分析（Vector Analysis）中經典的向量乘積微分恆等式（Vector Differential Product Rules），主要涉及以下核心定義與公式：

1. 向量內積的梯度展開恆等式： 對於任意三維可微向量場 $\vec{F}$ 與 $\vec{G}$，其純量積（內積）之梯度滿足：

$$\nabla(\vec{F}\cdot\vec{G}) = (\vec{F}\cdot\nabla)\vec{G} + (\vec{G}\cdot\nabla)\vec{F} + \vec{F}\times(\nabla\times\vec{G}) + \vec{G}\times(\nabla\times\vec{F})$$

2. 方向導數運算子（對流微分運算子）： 記號 $(\vec{A}\cdot\nabla)$ 為純量微分運算子：

$$\vec{A}\cdot\nabla = A_x\frac{\partial}{\partial x} + A_y\frac{\partial}{\partial y} + A_z\frac{\partial}{\partial z}$$

作用於向量場 $\vec{B}$ 時，產生一個新的向量場 $(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}$。 3. Levi-Civita 符號與 Kronecker Delta 關係（指標記號）：

$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}$$

此性質對應向量三重積的展開法則（BAC-CAB 公式）。

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解題方法

題目欲求之目標式為：

$$\vec{E} = \nabla(\vec{F}\cdot\vec{G}) - \vec{G}\times(\nabla\times\vec{F}) - \vec{F}\times(\nabla\times\vec{G})$$

步驟一：分析第 1 項 $\nabla(\vec{F}\cdot\vec{G})$ 的分量

在笛卡兒坐標系中，考慮第 1 項的 $x$ 分量。根據微積分乘法定則（Leibniz rule）：

$$\begin{aligned} [\nabla(\vec{F}\cdot\vec{G})]_x &= \frac{\partial}{\partial x}(F_x G_x + F_y G_y + F_z G_z) \\ &= \left( G_x\frac{\partial F_x}{\partial x} + G_y\frac{\partial F_y}{\partial x} + G_z\frac{\partial F_z}{\partial x} \right) + \left( F_x\frac{\partial G_x}{\partial x} + F_y\frac{\partial G_y}{\partial x} + F_z\frac{\partial G_z}{\partial x} \right) \\ &= \sum_{k=x,y,z} G_k \frac{\partial F_k}{\partial x} + \sum_{k=x,y,z} F_k \frac{\partial G_k}{\partial x} \end{aligned}$$

步驟二：分析第 2 項 $\vec{G}\times(\nabla\times\vec{F})$ 的分量

設旋度向量 $\vec{C} = \nabla\times\vec{F}$，其各分量為：

$$C_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \quad C_y = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \quad C_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}$$

則外積 $\vec{G}\times\vec{C}$ 的 $x$ 分量為：

$$\begin{aligned} [\vec{G}\times(\nabla\times\vec{F})]_x &= G_y C_z - G_z C_y \\ &= G_y\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) - G_z\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \\ &= G_y\frac{\partial F_y}{\partial x} + G_z\frac{\partial F_z}{\partial x} - \left( G_y\frac{\partial F_x}{\partial y} + G_z\frac{\partial F_x}{\partial z} \right) \end{aligned}$$

為了湊出方向導數運算子 $(\vec{G}\cdot\nabla)F_x = G_x\frac{\partial F_x}{\partial x} + G_y\frac{\partial F_x}{\partial y} + G_z\frac{\partial F_x}{\partial z}$，我們在前後各加入與減去一項 $G_x\frac{\partial F_x}{\partial x}$：

$$\begin{aligned} [\vec{G}\times(\nabla\times\vec{F})]_x &= \left( G_x\frac{\partial F_x}{\partial x} + G_y\frac{\partial F_y}{\partial x} + G_z\frac{\partial F_z}{\partial x} \right) - \left( G_x\frac{\partial F_x}{\partial x} + G_y\frac{\partial F_x}{\partial y} + G_z\frac{\partial F_x}{\partial z} \right) \\ &= \sum_{k=x,y,z} G_k \frac{\partial F_k}{\partial x} - [(\vec{G}\cdot\nabla)\vec{F}]_x \end{aligned}$$

核心觀念

本題旨在評量多元微積分中「多重積分求立體體積」的核心計算能力，主要涵蓋以下重點觀念：

1. 空間曲面形狀與上下邊界判定：

• 曲面 $z = 1 - (x^2+y^2)$ 為頂點在 $(0,0,1)$、開口朝下且對稱於 $z$ 軸的旋轉拋物面（Elliptic Paraboloid）。
• 平面 $z = 1 - y$ 為傾斜平面。

2. 交線在座標平面之投影： 聯立兩曲面方程式以求得封閉立體在 $xy$ 平面上的投影區域 $D$（圓形區域）。
3. 重積分之變數變換（極座標變換）： 將雙重積分 $V = \iint_D (z_{\text{上}} - z_{\text{下}})\,dA$ 藉由極座標或平移極座標進行化簡與求解。

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解題方法

步驟一：判斷立體區域之上下邊界

將兩曲面方程式改寫為以 $z$ 表示的形式：

• 上曲面（拋物面）：$z_{\text{top}} = 1 - x^2 - y^2$
• 下曲面（平面）：$z_{\text{bottom}} = 1 - y$

在兩曲面所夾的有限封閉區域內，拋物面位於上方，平面位於下方，故在該區域內滿足： $z_{\text{top}} \ge z_{\text{bottom}} \implies 1 - x^2 - y^2 \ge 1 - y$

步驟二：求交線在 $xy$ 平面上的投影區域 $D$

令兩曲面方程式之 $z$ 值相等： $1 - x^2 - y^2 = 1 - y$ 整理得： $x^2 + y^2 - y = 0$ 進行配方： $x^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

此交線投影於 $xy$ 平面為一圓形區域 $D$：

• 圓心：$\left(0, \frac{1}{2}\right)$
• 半徑：$R = \frac{1}{2}$

步驟三：列出體積之重積分式

立體體積 $V$ 可表為頂底曲面高度差在投影區域 $D$ 上的雙重積分： $V = \iint_D \left( z_{\text{top}} - z_{\text{bottom}} \right) \, dA = \iint_D \left[ (1 - x^2 - y^2) - (1 - y) \right] \, dxdy$ $V = \iint_D \left( y - x^2 - y^2 \right) \, dxdy$

利用配方結果，被積函數可改寫為： $y - x^2 - y^2 = \frac{1}{4} - \left[ x^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 \right]$

步驟四：平移極座標變換與求值

令平移極座標： $\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y - \frac{1}{2} = r\sin\theta \end{cases}$

此變換之 Jacobian 行列式為 $J = r$。 積分範圍為：

• $0 \le r \le \frac{1}{2}$
• $0 \le \theta \le 2\pi$

將變數代入積分式： $V = \int_0^{2\pi} \int_0^{1/2} \left( \frac{1}{4} - r^2 \right) r \, dr d\theta$

核心觀念

1. 極坐標下拉普拉斯算子與徑向對稱性（Radial Symmetry）： 在二維極坐標 $(r,\theta)$ 下，拉普拉斯算子為 $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}$ 題目要求求解「徑向解」（radial solution），代表解 $u$ 僅為半徑 $r$ 的函數，與極角 $\theta$ 無關，即 $u = u(r)$。因此對 $\theta$ 的偏導數均為零： $\frac{\partial u}{\partial \theta} = 0, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$ 原偏微分方程（PDE）因而簡化為二階常微分方程（ODE）。

2. 拉普拉斯徑向微分算子的緊湊形式： 徑向部分可合併寫為全微分形式： $\frac{d^2 u}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{du}{dr} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right)$ 此形式將二階 ODE 轉化為可依序兩次直接積分的一階分離變數型方程。

3. 微積分有理化代換積分技巧： 在第二次積分時，涉及包含根式 $\sqrt{r^2+c^2}$ 的無理分式積分，需運用變數代換（如令 $t = \sqrt{r^2+c^2}$）將其化為部分分式進行對數積分。

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解題方法

步驟一：將偏微分方程簡化為常微分方程

由徑向解假設 $u(r,\theta) = u(r)$，原方程式化為： $\frac{d^2 u}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{du}{dr} = \frac{1}{\sqrt{r^2+c^2}}$ 改寫為緊湊形式： $\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{1}{\sqrt{r^2+c^2}}$

步驟二：第一次分離變數積分

兩邊同乘以 $r$： $\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{r}{\sqrt{r^2+c^2}}$ 對 $r$ 進行不定積分： $r\frac{du}{dr} = \int \frac{r}{\sqrt{r^2+c^2}}\,dr$ 利用微分關係 $d(r^2+c^2) = 2r\,dr$，得： $\int \frac{r}{\sqrt{r^2+c^2}}\,dr = \sqrt{r^2+c^2} + C_1$ 其中 $C_1$ 為任意常數。

步驟三：分離變數準備第二次積分

兩邊同除以 $r$（$r > 0$）： $\frac{du}{dr} = \frac{\sqrt{r^2+c^2}}{r} + \frac{C_1}{r}$ 因此，$u(r)$ 的積分表達式為： $u(r) = \int \frac{\sqrt{r^2+c^2}}{r}\,dr + C_1 \int \frac{1}{r}\,dr$ 其中第二項積分為 $C_1 \ln r$。

步驟四：計算關鍵積分 $I = \int \frac{\sqrt{r^2+c^2}}{r}\,dr$

令 $t = \sqrt{r^2+c^2}$，因為 $c > 0$ 且 $r > 0$，故 $t > c > 0$。 兩邊平方得 $t^2 = r^2+c^2 \implies r^2 = t^2-c^2$。 微分得 $t\,dt = r\,dr \implies dr = \frac{t}{r}\,dt$。 將變數代換入積分式： $I = \int \frac{t}{r} \left(\frac{t}{r}\,dt\right) = \int \frac{t^2}{r^2}\,dt = \int \frac{t^2}{t^2-c^2}\,dt$ 將被積函數進行部分分式拆解： $\frac{t^2}{t^2-c^2} = 1 + \frac{c^2}{t^2-c^2} = 1 + \frac{c}{2}\left(\frac{1}{t-c} - \frac{1}{t+c}\right)$ 進行逐項積分： $I = t + \frac{c}{2}\left(\ln(t-c) - \ln(t+c)\right) = t + \frac{c}{2}\ln\left(\frac{t-c}{t+c}\right)$ 將 $t = \sqrt{r^2+c^2}$ 代回：