114 高普考高考三級 天文 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析） 考古題詳解

核心觀念

這題考 $LU$ 分解：將矩陣 $A$ 寫成下三角矩陣 $L$ 與上三角矩陣 $U$ 的乘積，且題目指定 $L$ 的對角線元素皆為 $1$。這種形式也稱為 Doolittle 分解。

以高斯消去法消去 $A$ 對角線下方的元素時，消去倍數會成為 $L$ 的下三角元素；消去後得到的上三角矩陣則是 $U$。

解題方法

設

先用第一列消去第一欄下方的元素：

• 第二列減去第一列的 $2$ 倍，消去倍數為 $m_{21}=2$。
• 第三列減去第一列的 $3$ 倍，消去倍數為 $m_{31}=3$。

因此得到

接著用第二列消去第二欄下方的元素。消去倍數為

故第三列減去第二列的 $4$ 倍：

消去後的矩陣即為

核心觀念

這題考常係數線性微分方程的通解，解法是先求齊次方程的特徵根，再依右側外力項的型態求特解。當外力項與齊次解重複時，特解試設需乘上 $x$；此處 $e^{-x}$ 正好對應特徵根 $r=-1$。

解題方法

先解對應的齊次方程

設 $y=e^{rx}$，得到特徵方程

特徵根為 $r=-1,\ i,\ -i$，因此齊次解為

將右側分成 $e^{-x}$ 與 $4x$，分別求特解。

對 $e^{-x}$，由於 $e^{-x}$ 已出現在齊次解中，試設

令微分算子 $L(D)=D^3+D^2+D+1=(D+1)(D^2+1)$。利用

可得

所以

核心觀念

曲線是兩個曲面的交線。若以 $F(x,y,z)=0$ 與 $G(x,y,z)=0$ 表示兩曲面，交線在光滑點的切線方向同時垂直於兩曲面的法向量 $\nabla F$ 與 $\nabla G$，因此可取

作為切線方向。

解題方法

令

兩曲面的法向量分別為

在指定點 $P=(0,1,3)$：

故交線的切線方向可取

核心觀念

球面是曲面，計算其表面積可將球面參數化，並積分面積元素。半徑為 $1$ 的球面可用球座標表示為

其中 $\phi$ 是從正 $z$ 軸量起的極角，$\theta$ 是方位角。參數曲面的面積元素為

解題方法

先計算兩個切向量：

核心觀念

本題考查極座標下的拉普拉斯方程與分離變數法。令 $u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$，代入方程後可分離成徑向方程與角向方程。角向邊界條件會限制可用的特徵值；「$u$ 在原點要有定義」則排除在 $r=0$ 發散的徑向解。

解題方法

設

代入

並乘以 $r^2/(R\Theta)$，得

左右兩邊分別只依賴 $r$ 與 $\theta$，故皆為常數。設分離常數為 $\lambda$，得到

由邊界條件 $u(r,0)=u(r,\pi/2)=0$，非零解須滿足

若 $\lambda=0$，角向解為一次函數，兩端皆為零只得到零解；若 $\lambda<0$，角向解為雙曲函數組合，兩端皆為零同樣只有零解。因此須有 $\lambda>0$。令 $\lambda=\mu^2$，則

由 $\Theta(0)=0$ 得 $A=0$；再由 $\Theta(\pi/2)=0$ 得