114 高普考高考三級 天文 天文觀測 考古題詳解

核心觀念

本題考查光譜分類與恆星顏色、視差測距、天球座標換算角距，以及不同亮度恆星合成視星等。

（一）光譜分類、顏色與表面溫度

光譜分類由高溫至低溫依序為 O、B、A、F、G、K、M。G2 型恆星的有效溫度約為 $5{,}800\ \mathrm{K}$，其光譜能量分布以黃光附近為主，因此物理上呈現黃色。恆星的實際顏色是各波段光的合成結果，不等同於只發出單一顏色的光。

光譜分類後的羅馬數字表示光度級；V 代表主序星。因此 G2V 表示一顆 G2 型主序星，屬於以核心氫融合為主要能源的恆星，性質與太陽相近。

（二）由視差求距離與誤差

視差 $p$ 以角秒表示時，距離 $d$（秒差距）為

題目視差為 $750.81\pm0.38$ 毫角秒，先換成角秒：

距離為

對 $d=1/p$ 作誤差傳播：

依照誤差有效位數，誤差取 $0.0007\ \mathrm{pc}$，距離保留至相同小數位：

（三）雙星角距與投影距離

兩星赤經差須先換成角度。赤經每 $1^\mathrm{h}$ 對應 $15^\circ$，因此每 $1^\mathrm{s}$ 對應 $15''$。兩星赤經差為

換成角秒後，赤經方向的投影角距須乘上赤緯的 $\cos\delta$：

核心觀念

本題考兩件事：以普朗克函數判斷黑體輻射峰值波段，以及以史蒂芬—波茲曼定律估算塵埃熱輻射的總流量。對角直徑為 $\theta$ 的均勻圓形輻射源，其視角面積為 $\Omega=\pi(\theta/2)^2$；積分所有波長後的黑體輻射亮度為 $I=\sigma T^4/\pi$，因此觀測到的總流量為 $F=I\Omega$。

解題方法

（一）峰值波段

題目提供的是每單位波長的普朗克函數 $B_\lambda(T)$。令

對 $B_\lambda$ 對波長微分並令導數為零，可得

此式的正解為 $x\simeq4.965$，所以

取 $T=100\ \mathrm K$，得

因此峰值在中紅外線波段。

題目另提示 $x=2.82$，這是對每單位頻率的普朗克函數 $B_\nu$ 求峰值時的解，不能直接代入 $B_\lambda$ 的峰值公式。以頻率表示，峰值約為 $\nu_{\max}=5.88\times10^{12}\ \mathrm{Hz}$，對應波長約 $51.0\ \mathrm{\mu m}$。兩者不同，是因為「每單位波長」與「每單位頻率」的光譜分布峰值不在同一波長。

（二）塵埃熱輻射總流量與誤差

假設題目所列的 $40\pm0.5$ arcsec 是輻射源的角直徑，且輻射源近似均勻黑體。先將角直徑換為弧度：

圓形視角面積為

黑體表面每單位面積的總輻射功率為 $\sigma T^4$，故觀測總流量為

代入 $T=100\ \mathrm K$、$\theta=1.939\times10^{-4}\ \mathrm{rad}$ 及

核心觀念

本題考查電波干涉儀的兩個核心概念：

1. 可見度（visibility）是天空亮度分布的傅立葉轉換 $V(u,v)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm$

2. $uv$ 平面取樣決定成像能力

• 最短基線決定可恢復的最大角尺度與有效視野。
• 最長基線決定合成波束大小，也就是角解析度。
• 天線本身的主波束則限制單一天區可觀測的視野。

（一）可見度振幅為負值且呈震盪的原因

1. 「振幅為負」的正確意義

複數可見度可寫成

$V=|V|e^{i\phi}$

其中 $|V|$ 是真正的複數振幅，依定義不會是負值。因此圖中縱軸所稱的「可見度振幅」實際上是指可見度的實部、同相分量，或經過相位校正後的帶符號可見度：

$\operatorname{Re}(V)$

它可以為正，也可以為負。

當可見度為負時，代表干涉訊號相對於參考相位反轉了 $\pi$，並不是輻射流量變成負值。輻射流量與可見度的絕對尺度有關，物理上的亮度仍為非負。

2. 金星可視為有限大小的圓盤

金星完整位於視野內，且位於視野中心，因此可將其近似為中心對稱、具有有限角直徑的圓形亮源。

若以 $\theta$ 表示距離金星中心的角距離，干涉條紋函數為

$F(b,\theta)=\cos\left(\frac{2\pi b}{\lambda}\sin\theta\right)$

其中 $b$ 為基線投影長度，$\lambda$ 為觀測波長。

對整個金星圓盤積分後，可見度是各個角位置的干涉訊號總和：

$V(b)=\iint I(\theta)F(b,\theta)\,d\Omega$

由於金星是有限大小的圓盤，不同位置的輻射在較長基線上會具有不同的干涉相位。有些區域產生正貢獻，有些區域產生負貢獻，彼此相加後便會造成抵消。

3. 為何會呈現類似震盪的形式

均勻圓盤的亮度分布經傅立葉轉換後，所得可見度具有貝索函數形式：

$V(q)=V(0)\frac{2J_1(2\pi Rq)}{2\pi Rq}$

其中：

• $J_1$ 為第一類一階貝索函數；
• $R$ 為金星的角半徑；
• $q=b/\lambda$ 為以波長為單位的基線長度；
• $V(0)$ 為零基線可見度，等於金星的總流量。

因此：

• 在 $b=0$ 附近，整個金星圓盤幾乎同相，$V$ 接近總流量，數值為正。
• 隨著 $b$ 增加，金星不同區域的相位差增加，總和逐漸抵消。
• 當傅立葉轉換穿過零點時，可見度變為負值。
• 再增加基線長度後，積分結果又恢復為正，形成正負交替、振幅逐漸減小的震盪。
• 震盪包絡線的下降，反映有限大小圓盤的空間結構。

對均勻圓盤，第一個零點大致滿足

$2\pi R\frac{b}{\lambda}=3.8317$

因此

$\frac{b}{\lambda}\approx \frac{0.61}{R}$

若以金星角直徑 $\Theta=2R$ 表示，則第一個零點約為

$\frac{b}{\lambda}\approx \frac{1.22}{\Theta}$

這就是利用可見度曲線估計天體角直徑的基本方法。

4. 為何「位於正中央」很重要

若金星位於視野中心，且亮度分布具有中心對稱性，則可見度的虛部相互抵消：

$\operatorname{Im}(V)\simeq 0$

所以主要看到的是帶正負號的實部曲線。

若天體偏離相位中心，則可見度會多出位置造成的相位因子：

$V(u,v)=V_0(u,v)e^{-2\pi i(ul_0+vm_0)}$

此時可見度會表現為複數相位變化，不能只用一條簡單的實數震盪曲線表示。

解題技巧與常見陷阱

• 「可見度振幅為負」應解釋為帶符號的實部或同相分量為負，不能說真正的複數模長 $|V|$ 為負。
• 有限大小的源會造成傅立葉轉換的零點與旁瓣；點源的可見度則不會呈現此種圓盤震盪。
• 源越大，第一個零點出現在越短的基線；源越小，必須使用更長基線才看出結構。
• 中心對稱源且位於相位中心時，虛部為零，是判斷圖形為實數振盪的重要條件。

（二）視野與合成波束的決定

1. 由可見度反演亮度分布

陣列測得不同基線位置的可見度，即是在 $uv$ 平面上取樣 $V(u,v)$。對這些資料作反傅立葉轉換，可得到天空亮度分布：

$I(l,m)=\iint V(u,v)e^{2\pi i(ul+vm)}\,du\,dv$

核心觀念

本題考查日地限制性三體問題中的拉格朗日點。考生須掌握：

1. 在太陽、地球共同繞其質心公轉的旋轉座標系中，某些位置的重力與離心力可達到平衡。
2. 五個拉格朗日點分為：

• 共線點：$L_1、L_2、L_3$
• 三角點：$L_4、L_5$

3. 穩定性須由小擾動分析判定，而非只看重力是否平衡。
4. JWST、Herschel 與 WMAP 均放置於日地系統的 $L_2$ 附近。

（一）拉格朗日點的位置、定義與穩定性

1. 日地系統示意圖

以下為不按線性比例繪製的示意圖：

 L4
 ●
 ／ ＼
 ／ ＼
 ／ ＼
 L3 ● ───────●──────────────●────── ● L2
 太陽 地球
 
 ＼ ／
 ＼ ／
 ●
 L5

其中：

• $L_1$ 位於太陽與地球之間的日地連線上。
• $L_2$ 位於地球外側、背向太陽的日地連線上。
• $L_3$ 位於太陽另一側，與地球大致相對的位置。
• $L_4$ 位於地球公轉軌道前方約 $60^\circ$ 處。
• $L_5$ 位於地球公轉軌道後方約 $60^\circ$ 處。

$L_4$、$L_5$ 與太陽、地球形成近似正三角形，因此也稱為三角拉格朗日點。

地球繞太陽運動，月球則繞地球運動；圖中月球繞地球的軌道相對於日地距離很小，實際上月球也同時隨地球繞太陽運動。

2. 拉格朗日點的定義

在隨太陽、地球共同旋轉的座標系中，太空船受到：

• 太陽的萬有引力；
• 地球的萬有引力；
• 旋轉座標系中的離心力。

在五個特殊位置，這些力的合力恰好使太空船以與地球相同的角速度繞太陽運動。因此，太空船相對於太陽與地球的位置可保持不變。

以旋轉座標系表示，可將有效勢能寫成

其中 $n$ 為日地系統的公轉角速度。拉格朗日點滿足

這表示在旋轉座標系中，重力與離心力達到平衡。

3. 穩定性判定

「力平衡」不代表「穩定」。判斷方法是對拉格朗日點施加微小位移，觀察擾動後的運動：

• 若太空船會回到原位置附近，該點為穩定點。
• 若偏離量會隨時間增大，該點為不穩定點。
• 數學上可將運動方程式在平衡點附近線性化，檢查特徵值；若存在正實部特徵值，擾動會成長，表示不穩定。

各點的穩定性如下：

$L_1、L_2、L_3$ 是共線點，微小擾動會使太空船逐漸偏離，因此屬於不穩定點。

$L_4、L_5$ 的穩定性來自三體系統中重力與科氏力的共同作用。一般條件為兩大天體質量比必須足夠懸殊；日地系統的質量比符合此條件，所以 $L_4、L_5$ 為穩定點。

（二）太空望遠鏡的位置與繞行軌道

1. 所在拉格朗日點

三具太空望遠鏡皆位於日地系統的 $L_2$ 附近：