112 高普考高考三級 天文 天文觀測 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

• 北斗七星、北極星與仙后座的天球位置。
• 光譜型與恆星表面溫度、顏色的關係。
• 視星等、絕對星等與距離模數。
• 小角度近似與角距離換算實際距離。
• 光譜雙星的判定方式。
• 望遠鏡角解析力與繞射極限。

（一）北斗七星、北極星與仙后座的位置

北斗七星屬於大熊座的一部分，外形可分為「斗身」與「斗柄」：

 搖光 Alkaid
 *
 |
 開陽 Mizar
 *
 |
 玉衡 Alioth
 *
 |
 *
 天權 Megrez
 / \
 * *
 天璇 Merak 天樞 Dubhe

天樞、天璇、天權、玉衡組成斗身；玉衡、開陽、搖光組成斗柄。由斗身外側兩顆指極星天樞、天璇連線，向天樞方向延伸約五倍兩星間距，即可找到北極星。

天璇 Merak * ───────── * 天樞 Dubhe ─────────────── * 北極星 Polaris

 北天極附近

仙后座由五顆亮星組成近似「W」形或「M」形，位於北極星的另一側：

北斗七星 北極星 仙后座
 大熊座 ─────── ● ─────── W 形

北斗七星與仙后座都位於北天區，接近北天極，會繞北極星作周日運動。由於臺灣位於北半球，北極星位於北方、高度約等於當地緯度；北斗七星與仙后座則分居北極星兩側，隨時間呈現不同方位與高度。

解題技巧： 記住「天樞、天璇指向北極星」即可定位北極星；仙后座是北極星另一側的明顯 W 形星群。

（二）開陽的顏色與最難觀測季節

開陽為 A2 型主序星。恆星光譜型由熱到冷依序為：

A 型星表面溫度約為 $7,500$～$10,000\ \mathrm{K}$，輻射能量較集中於藍白光，因此開陽呈現藍白色。

開陽的赤經約為 $13^{\mathrm h}24^{\mathrm m}$。在臺灣冬季夜晚，開陽接近下中天，仰角很低，甚至有一段時間位於地平線下，因此最不容易觀測。

【答案】

• 顏色：藍白色。
• 最難觀測季節：冬季。

解題技巧： 北斗七星雖接近北天區，但開陽的赤緯約為 $+55^\circ$，對臺灣而言不是嚴格的拱極星，因此仍會短暫落到地平線下。

（三）開陽與地球的距離

核心公式

距離模數公式為：

其中：

• $m$：視星等；
• $M$：絕對星等；
• $d$：距離，單位為秒差距。

題目給定：

因此：

代入距離模數：

所以：

分解為：

利用題目提供的近似式：

令 $x=0.374$：

此二階近似略低於實際值，取較精確估算：

因此：

利用

可得：

【答案】

計算假設

假設：

1. 開陽 A 與地球之間的星際消光可以忽略。
2. 題目給定的絕對星等 $M=0.33$ 正確。
3. 視星等與絕對星等使用同一光度系統。

核心觀念

本題考的是「巡天觀測規劃」（survey planning）的基本工程計算，涉及：

1. 立體角（solid angle）與視場面積的換算：$1$ 平方度 $=\left(\dfrac{\pi}{180}\right)^2$ sr，整個天球 $4\pi$ sr $\approx 41253$ 平方度（這是天文觀測規劃中常用的換算常數，考生應熟記）。
2. 巡天張數估算：以「目標天區面積 ÷ 單張視場面積」求出涵蓋整個天區所需的影像數。
3. 時間預算（time budget）：每張影像的「有效耗時」＝曝光時間＋讀出/移動時間，再乘上總張數即為完成一次全波段巡天所需總時數。
4. 可用觀測時數的估計：年可用觀測時數＝天數 × 晴夜率 × 每夜可觀測時數。
5. 巡天重複次數（cadence）：年可用觀測時數 ÷ 完成一次全巡天所需時數。

這類題目的重點在於「單位換算要一致」與「把所有已知條件（波段數、曝光、讀出、晴夜率、可觀測時數）都放進同一個時間預算式子裡」，是天文台巡天設計（如 Pan-STARRS、LSST/Rubin 這類廣角巡天）的標準估算流程。

解題方法

(一) 影像張數與重複觀測次數

Step 1：單張影像的立體角

視場 $5^\circ\times5^\circ$，換算成立體角：

亦即約 $25$ 平方度（$5°\times5°=25\ \deg^2$）。

Step 2：可觀測天區（$2\pi$ sr）換算成張數

全天球 $4\pi$ sr 對應面積：

故可觀測的半天球 $2\pi$ sr 對應：

單一波段所需張數：

三個波段合計（完成一次「全波段全天圖」）：

Step 3：完成一次全巡天所需時間

每張影像耗時＝曝光 $40$ 秒＋讀出移動 $20$ 秒 $=60$ 秒（$=1$ 分鐘）。

Step 4：年可用觀測時數

以一年 $365$ 夜、晴夜率 $90\%$、每夜平均可觀測 $7$ 小時計：

Step 5：每個天區、每個波段一年可重複觀測次數

檢核（獨立算法驗證）： $41.25$ 小時 $\div 7$ 小時/夜 $=5.89$ 夜（實際觀測夜數）， 再除以晴夜率 $0.9$，得日曆天數 $5.89/0.9\approx6.55$ 天完成一次巡天； 一年可完成次數 $365/6.55\approx55.7$ 次，與上式一致，驗算通過。

核心觀念

本題考察三大主題：

1. 光學繞射極限公式（Rayleigh criterion）與 Wien 位移定律的聯合應用
2. 太空望遠鏡相對地面望遠鏡的優勢，以及 日地 L2 拉格朗日點的軌道力學意義與其對紅外觀測的實際效益
3. JWST 與 HST 的波段互補性，特別是紅外波段在宇宙學、恆星形成、系外行星科學上的不可取代性

核心公式：

$\theta_{\text{diff}} = 1.22\,\frac{\lambda}{D}\ \text{(rad)}$

$\lambda_{\max} T = b = 2.898\times10^{-3}\ \text{m·K（Wien 位移定律）}$

(一) 繞射極限與對應黑體溫度

繞射極限角分辨力

由 Rayleigh 判據：

$\theta = 1.22\,\frac{\lambda}{D} = 1.22 \times \frac{26\times10^{-6}\ \text{m}}{6.5\ \text{m}} = 1.22 \times 4\times10^{-6}\ \text{rad} = 4.88\times10^{-6}\ \text{rad}$

換算為角秒（$1\ \text{rad} = 206265''$）：

$\theta = 4.88\times10^{-6} \times 206265'' \approx 1.0''$

答：約 $1.0$ 角秒（次角秒等級解析力，遠優於同口徑地面望遠鏡受大氣視寧度限制的 $\sim1''$ 甚至更差的表現）。

對應黑體溫度（Wien 位移定律）

$T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2.898\times10^{-3}\ \text{m·K}}{26\times10^{-6}\ \text{m}} \approx 111\ \text{K}$

答：約 $110$–$111\ \text{K}$，此溫度對應太陽系外圍低溫天體（如柯伊伯帶天體、彗星核）、原行星盤外部冷塵埃、或高紅移星系中被紅移到中紅外的塵埃熱輻射等。

(二) 太空望遠鏡優勢；L2 區域的定義、優勢與限制

JWST 相較同口徑地面望遠鏡的優勢

1. 無大氣吸收：地球大氣（主要是水氣、$\mathrm{CO_2}$）在紅外多個波段幾乎完全不透明，形成有限的「大氣窗口」；地面望遠鏡在許多紅外波段（含 $26\,\mu m$ 附近）根本無法觀測，太空環境則完全避開此限制。
2. 無大氣視寧度（seeing）影響：太空無大氣擾動，可達成繞射極限解析力（即第(一)小題的 $\sim1''$），地面望遠鏡即使用自適應光學也難以完全消除殘餘像差。
3. 低背景熱輻射：紅外觀測最大干擾來自望遠鏡本身與大氣的熱輻射背景。JWST 可被動＋主動冷卻至約 $40\,\text{K}$，大幅降低儀器自身熱噪訊，地面望遠鏡（常溫）在中紅外波段背景輻射極強，訊噪比大受限制。
4. 無光害、可連續長時間穩定觀測同一目標。

L2 區域的定義

$L2$（Lagrange Point 2）是日－地二體系統五個拉格朗日點之一，位於太陽－地球連線上、地球背向太陽方向約 $150$ 萬公里（$\sim0.01\ \text{AU}$）處。在此處，太陽與地球對物體的重力合力恰可提供該物體與地球同步繞太陽公轉所需的向心力，使物體相對地球位置大致保持固定（JWST 實際上是繞 $L2$ 點做小幅度的暈輪軌道 halo orbit，而非精確靜止於一點）。

在 $L2$ 觀測的優勢

核心觀念

本題屬於天文觀測領域之基本名詞解釋題，考察考生對天文座標時間系統、天文觀測環境定義、以及天文物理現象與統計方法之基礎掌握程度。五個名詞分別涉及：時間系統（恆星時）、球面天文座標基準（子午線）、觀測環境條件（天文曙光）、現代天文物理前沿觀測對象（重力波）、以及統計分析工具（卜瓦松分布）。此類題型評分重點在於定義精確、要點齊全，每小題 2 分，答題應力求簡潔完整，涵蓋定義核心與必要延伸說明。

解題方法與逐項詳解

(一) 恆星時（sidereal time）

定義：恆星時是以「地球對恆星（或春分點）的自轉週期」為基準所定義的時間系統，其時刻以春分點的時角來表示。具體而言，恆星時 $\text{ST}$ 定義為春分點（vernal equinox）通過觀測者所在子午線的時角： $\text{ST} = \text{HA}_{\gamma}$ 其中 $\text{HA}_{\gamma}$ 為春分點的時角。

關鍵補充要點：

• 一個恆星日（sidereal day）約為 $23^{\text{h}}56^{\text{m}}4^{\text{s}}$（平太陽時），比一個太陽日（solar day，$24^{\text{h}}$）略短，原因是地球繞太陽公轉造成太陽視位置在天球上緩慢東移，使地球需多轉一點角度才能讓太陽再度回到子午線。
• 恆星時在觀測上極為重要：當某天體的赤經（RA）等於當地恆星時時，該天體正通過子午線（即上中天），此關係式為 $\text{ST} = \alpha + \text{HA}$ （$\alpha$ 為赤經，HA 為時角），是排定觀測時程、換算時角的核心公式。

(二) 子午線（meridian）

定義：子午線（又稱天球子午圈，celestial meridian）是通過觀測者天頂（zenith）、天底（nadir）、以及天球北極（NCP）與南極（SCP）的大圓。它是天球座標系統（地平座標系與赤道座標系轉換）的重要參考大圓。

關鍵補充要點：

• 子午線將天空分為東、西兩半；天體通過子午線的瞬間稱為「中天（transit / meridian passage）」，此時天體的時角為零（若在上中天，即高度角最大處）。
• 地面上亦有「地理子午線」，即連接地球南北兩極、通過某地的大圓，對應觀測者的地理經度，是天文台選址與世界時區劃分的基準。
• 天文觀測上，天體中天時大氣質量（airmass）最小，是最佳觀測時機，此概念常與恆星時、時角搭配應用。

(三) 天文曙光（astronomical twilight）

定義：天文曙光是指太陽在地平線下俯角介於 $18^{\circ}$ 至幾何地平線（$0^{\circ}$）之間更精確地說是太陽中心低於地平線 $12^{\circ}$ 至 $18^{\circ}$之間所對應的天空微光時段，此時天空散射光已極其微弱，肉眼幾乎無法察覺天空亮度變化，理論上為適合進行深空天文觀測的最暗時段起訖點。

關鍵補充要點（曙光分級）：

• 民用曙光（civil twilight）：太陽俯角 $0^{\circ}\sim6^{\circ}$，天空仍明亮，可進行一般戶外活動。
• 航海曙光（nautical twilight）：太陽俯角 $6^{\circ}\sim12^{\circ}$，海平面與地平線仍可辨識。
• 天文曙光（astronomical twilight）：太陽俯角 $12^{\circ}\sim18^{\circ}$，此為天文觀測上「真正黑夜」與「殘餘曙光」的分界；當太陽俯角超過 $18^{\circ}$（即太陽高度角低於 $-18^{\circ}$）後，方進入「天文夜（astronomical night）」，天空背景光達到最暗，是專業天文觀測（尤其暗弱天體、光度測光）安排觀測起止時間的重要依據。

(四) 重力波（gravitational wave）

定義：重力波是依據愛因斯坦廣義相對論（General Relativity）所預測，由具有加速度且非球對稱（或非軸對稱）質量分布的天體系統（如相互繞行的緻密雙星）所產生，以光速在時空