112 高普考高考三級 天文 太陽系 考古題詳解

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(一) 嘉尼米德的公轉週期

核心觀念

本題考的是**克卜勒第三定律（調和定律）**在同一中心天體（木星）之多顆衛星系統中的應用。由牛頓萬有引力定律，對任一以圓（或橢圓，取半長軸 $a$）軌道繞木星公轉的衛星，重力提供向心力：

$\frac{GM_{J}m}{a^{2}}=\frac{4\pi^{2}ma}{T^{2}}$

化簡後得

$T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM_{J}}\,a^{3}$

由於衛星質量 $m$ 遠小於木星質量 $M_J$ 可忽略，等式右邊 $\dfrac{4\pi^{2}}{GM_{J}}$ 對「所有繞木星公轉的衛星」都是同一個常數。這正是克卜勒第三定律的物理本質：$T^{2}/a^{3}=\text{常數}$，此常數只與中心天體質量有關，與個別衛星無關。因此不需要知道 $G$ 與 $M_J$ 的實際數值，只要用表中任一顆已知衛星當參考，即可用「比值法」求出未知衛星的週期。

解題方法（計算過程）

設埃歐為參考衛星（下標 1），嘉尼米德為待求衛星（下標 2）：

$$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2}=\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3} \quad\Longrightarrow\quad T_2=T_1\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}$$

代入數據：$T_1=1.77$ 天，$a_1=422\times10^{3}$ km，$a_2=1070\times10^{3}$ km

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{1070}{422}=2.5355$

$\left(2.5355\right)^{3/2}=2.5355\times\sqrt{2.5355}=2.5355\times1.5923=4.0374$

$T_2=1.77\times4.0374=7.1463\ \text{天}$

交叉驗證：改以卡利斯多為參考（$T_1=16.7$ 天，$a_1=1883\times10^{3}$ km）

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{1070}{1883}=0.5682,\quad (0.5682)^{3/2}=0.4284$

$T_2=16.7\times0.4284=7.154\ \text{天}$

兩種取法結果一致（皆約 7.15 天），互相驗證計算無誤。

答案

$\boxed{T_{\text{嘉尼米德}}\approx7.15\ \text{天}}$

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(二) 木衛一埃歐同步自轉的原因

核心觀念

本題考的是**潮汐鎖定（tidal locking）／潮汐摩擦（tidal friction）**的物理機制，這是所有太陽系內距離母行星較近之大型衛星（如月球之於地球、埃歐之於木星）演化的共同結局。

解題方法／學理解釋

1. 潮汐隆起的產生：木星對埃歐不同部位的引力並不相同（近木星側受力較強、遠側較弱），此差異引力（潮汐力 $\propto 1/r^{3}$）會將埃歐拉伸成一個沿「木星—埃歐連線」方向延長的橢球，稱為潮汐隆起（tidal bulge）。

2. 隆起錯位產生力矩：若埃歐的自轉週期原本快於公轉週期，則因物質具有黏滯性（有限的形變回應時間），潮汐隆起無法即時對準木星—埃歐連線，而會被自轉「拖帶」向前偏移一個小角度。此時木星對這個偏移隆起的引力會產生一個反向力矩，不斷消耗埃歐的自轉動能與角動量，使其自轉逐漸減速。

3. 達成穩定平衡：此力矩會持續作用，直到埃歐的自轉角速度降到與公轉角速度相等為止。此時潮汐隆起恰好對準木星方向，不再有錯位，力矩歸零，系統達到穩定平衡態——即自轉週期＝公轉週期的「同步自轉」（tidally locked），衛星永遠以同一面朝向木星，如同月球恆以同一面朝向地球。

4. 為何埃歐能在太陽系年齡內達成鎖定：潮汐鎖定所需時標約與 $a^{6}$ 成正比（$a$ 越小，潮汐力矩越強，鎖定越快），且與中心天體質量平方成正比。木星質量極大，而埃歐又是伽利略衛星中軌道半長軸最小者（$a=422\times10^{3}$ km），因此所受的潮汐力矩特別強，鎖定時標遠短於太陽系年齡（約 45 億年），故觀測上埃歐早已完成同步自轉。

答案

核心觀念

本題考查行星磁場成因的核心理論——發電機理論（dynamo theory），以及木星磁層的整體結構。這是天文（太陽系）科目中「行星物理」單元的基礎重點，命題重點有三：

1. 發電機理論形成磁場的三大物理條件；
2. 木星磁場成因與地球的異同（金屬氫取代地球的液態鐵外核）；
3. 木星磁層結構的空間分區與邊界（太陽風、弓形震波、磁層頂、磁尾）。

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（一）發電機理論的三大條件

發電機理論（dynamo theory）主張行星磁場是由行星內部導電流體的對流運動與行星自轉交互作用所產生、並能自我維持的電磁感應現象。要形成並維持此一「自激發電機」，必須同時滿足以下三大條件：

1. 導電流體（conducting fluid） 行星內部須存在具有高導電度的流體層，作為電流傳導的介質。例如地球的液態鐵鎳外核、木星內部的液態金屬氫層。若內部為固態或絕緣體，則無法產生感應電流。

2. 對流運動（convection） 導電流體必須存在對流運動，其驅動力通常來自行星內部熱能（放射性元素衰變熱、行星形成殘留熱、重力位能釋放等）所造成的溫度梯度，使流體產生上升與下降的熱對流。對流運動提供流體攜帶磁力線運動、進而感應電流所需的動能來源。

3. 自轉（rotation） 行星必須具有足夠快的自轉速度，透過科氏力（Coriolis force）使原本雜亂的對流運動組織成具有規則性、螺旋狀（helical）結構的柱狀對流胞，這種有組織的流動才能使感應電流形成閉合迴路並自我維持、放大磁場，而非彼此抵消。自轉過慢（如金星）則難以組織出有效的發電機作用。

三者缺一不可：導電流體提供介質、對流提供動能來源、自轉（科氏力）提供組織對流使其能自我維持磁場的機制。三者同時具備，才能透過電磁感應的正回饋機制，將流體的動能持續轉換為磁場能量，形成並維持全球性磁場。

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（二）木星磁場的形成機制

木星磁場的形成機制與地球相同，皆遵循發電機理論的三大條件，但其導電流體的物質形態不同，關鍵差異如下：

1. 導電流體：金屬氫（metallic hydrogen），而非液態鐵 木星是氣態巨行星，主要成分為氫與氦。木星內部壓力極高（深度約達木星半徑的 80% 以下，壓力可達百萬大氣壓以上），在此極端高壓環境下，氫分子被壓縮至電子被剝離、呈現類似金屬的自由電子海結構，稱為液態金屬氫（liquid metallic hydrogen）。此液態金屬氫層具有極高的導電度，取代了地球核心中液態鐵鎳合金的角色，作為發電機的導電介質。

2. 對流運動 木星內部仍保有形成初期的原始熱（重力收縮釋放的位能）以及氦氘分離等持續釋放的重力位能，使木星向外輻射的熱能遠大於其吸收太陽的能量（約為吸收太陽輻射能量的 1.6 倍以上）。此內部熱源驅動液態金屬氫層產生強烈的熱對流運動。

3. 自轉 木星自轉極快，自轉週期僅約 9.9 小時，是太陽系行星中自轉最快者。快速自轉產生強烈的科氏力，使金屬氫層中的對流被組織成規則的柱狀螺旋對流結構，形成高效率的發電機作用。

結果：由於木星的金屬氫導電層體積遠大於地球外核、對流更為劇烈、自轉又遠快於地球，三項條件均優於地球，因此木星產生的磁場強度極強，其磁矩約為地球的 近 2 萬倍，是太陽系中除太陽黑子局部磁場外最強的行星磁場，並形成太陽系中最龐大的磁層結構。

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（三）木星磁層結構繪圖與描述

結構示意圖（側視剖面示意）：

核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 太陽系小天體的軌道分類與位置描述：包括「小行星帶」「近地小行星（NEA）」「阿波羅型」等軌道分類概念，以及軌道半長軸 $a$、近日點距離 $q$、遠日點距離 $Q$ 等基本軌道參數的意義。
2. 小行星光譜分類（Tholen / SMASS 分類系統）：特別是 C 型（Carbonaceous type，碳質型）小行星的反照率（albedo）、光譜特徵與化學組成，並將其與碳質球粒隕石（carbonaceous chondrite）連結。

這是天文考科中「太陽系小天體」單元的標準考點，考生須熟記各光譜型小行星（C、S、M 等型）的基本資料，以及隼鳥 2 號、OSIRIS-REx 等近年重大太陽系探測任務所鎖定的目標天體特性。

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解題方法

（一）龍宮小行星在太陽系裡的約略位置

解題切入點：龍宮（162173 Ryugu）並非位於主小行星帶，而是一顆近地小行星（Near-Earth Asteroid, NEA），其軌道與地球軌道相交，屬於**阿波羅型（Apollo group）**小行星。作答時應掌握以下軌道參數，說明其「約略位置」：

• 軌道半長軸：$a \approx 1.19\ \text{AU}$
• 近日點距離：$q \approx 0.96\ \text{AU}$（小於地球軌道半徑 1 AU，故軌道與地球軌道相交）
• 遠日點距離：$Q \approx 1.42\ \text{AU}$（延伸至火星軌道附近）
• 公轉週期：$P \approx 1.3\ \text{年}$（約 474 天）
• 軌道傾角：約 $5.9^{\circ}$

由克卜勒第三定律可驗證其公轉週期：

$P^2 = a^3 \implies P = a^{3/2} = (1.19)^{3/2} \approx 1.30\ \text{年}$

由於 $q < 1\ \text{AU} < Q$，龍宮的軌道橫跨地球軌道內外，屬於穿越地球軌道的近地小行星，也因此被歸類為**潛在威脅小行星（PHA）**候選天體之一（若考慮最小軌道交會距離足夠小）。

值得補充說明的是天體起源：龍宮的光譜與軌道動力學研究顯示，它原本很可能來自主小行星帶外側（約 2.5–3 AU 之間、含水碳質天體較多的區域），後因與木星的平均運動共振（如 3:1 共振）或 $\nu_6$ 長期共振作用，軌道離心率被擾動放大，逐漸演化成近日點深入內太陽系、與地球軌道相交的近地小行星。

作答要點整理：龍宮＝近地小行星（阿波羅型）、軌道半長軸約 1.19 AU、軌道與地球軌道相交、起源推測來自主小行星帶外側經共振擾動遷移而來。

（二）C 型小行星的特徵與主要化學組成

解題切入點：本小題考的是 Tholen 光譜分類系統中 C 型（碳質型） 的定義性特徵，應從「反照率」「光譜形狀」「空間分布」「化學組成」四個面向完整作答：

1. 數量與分布位置 C 型是太陽系中數量最多的小行星光譜型，約占已知小行星總數的 75%。主要分布於主小行星帶外側（距太陽約 2.7 AU 以外，即 $\nu_6$ 長期共振帶之外），愈往外圍 C 型比例愈高，反映太陽系形成時溫度梯度的影響（外側低溫區才能保存揮發性物質與含水礦物）。

2. 反照率（albedo）特徵 C 型小行星表面極暗，幾何反照率 $p_V$ 約在 0.03–0.09 之間，是所有小行星光譜型中最暗的類別之一。這種低反照率正是其名稱「碳質」的由來——表面富含碳質及有機物質，強烈吸收可見光。

3. 光譜特徵

• 可見光波段反射光譜平坦、缺乏明顯吸收特徵，顏色呈中性偏灰或略帶藍灰色。
• 在紫外光（波長小於約 0.4 μm）處反照率有明顯下降（UV drop-off）。

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（一）熱木星（Hot Jupiter）

核心觀念

本小題考的是系外行星分類中最具代表性、也是史上第一顆確認系外行星（51 Pegasi b，1995年發現）所屬的族群——「熱木星」。考生須掌握其定義特徵（質量、軌道週期、軌道半徑）以及成因學說（形成與遷移機制），這是天文考科中系外行星單元的必考基礎概念。

解題方法（內容說明）

1. 定義特徵

熱木星是一類質量與木星相當或更大（約 $0.3$–數個 $M_\text{Jupiter}$ 以上）、但公轉軌道極短（軌道半徑通常小於 $0.1$ AU，軌道週期短至數天甚至小於 $10$ 天） 的巨行星。由於軌道半徑遠小於太陽系中木星所在的 $5.2$ AU，此類行星距離其主恆星極近，因此表面（大氣層頂）溫度極高，可達 $1000$–$2000$ K 以上，故稱為「熱」木星。

其軌道週期可用克卜勒第三定律估算：

$P^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_\star+M_p)}a^3 \approx \frac{a^3}{M_\star}\ (\text{年、AU、太陽質量制})$

當 $a\sim0.05$ AU、$M_\star\sim1\,M_\odot$ 時，$P$ 僅約數天，遠短於木星繞太陽的 $11.86$ 年。

2. 觀測背景與典型例子

第一顆確認的系外行星 51 Pegasi b 即為熱木星，質量約 $0.47\,M_\text{Jupiter}$，軌道週期僅約 $4.2$ 天，軌道半徑約 $0.05$ AU。由於熱木星「質量大、軌道近、週期短」的特性，恰好使其在徑向速度法與凌日法兩種主流偵測法中訊號都特別顯著，因此在系外行星發現初期（1990年代末至2000年代）佔已知系外行星的大宗比例，形成觀測上的選樣偏差（selection bias）。

3. 成因：行星遷移學說

依據現行的行星形成理論（核心吸積模型），巨行星應形成於恆星系統中的「雪線」（snow line）之外（距離較遠、溫度夠低，揮發性物質可凝結成固態核心並吸積氣體外殼），此區域大約對應太陽系中木星、土星所在的數 AU 之外。熱木星既然質量與木星相當，理論上也應誕生於雪線外側，之後才透過**行星遷移（planetary migration）**機制（主要為與原行星盤氣體的角動量交換，即「I 型／II 型盤遷移」，或行星-行星散射、Kozai-Lidov 機制搭配潮汐圓化等動力學過程）向內遷移，最終在極靠近母恆星處穩定下來，形成目前觀測到的短週期、近圓軌道熱木星。

解題技巧

• 答題時務必包含三個要素：質量（木星級）、軌道半徑（極小，<0.1 AU）、溫度（因近距離而極高），三者缺一不可，這是評分關鍵字。
• 進階加分點：說明熱木星不可能原地形成（雪線內物質不足以吸積出巨行星），必須訴諸遷移機制，這是命題者常見的延伸考點。
• 常見陷阱：勿與「超級地球（Super-Earth）」或「熱海王星（Hot Neptune）」混淆，熱木星特指質量達到木星量級的氣態巨行星。

【答案】熱木星是指質量與木星相當（約 0.3 個木星質量以上）、但公轉軌道半徑極小（通常小於 0.1 AU）、軌道週期極短（數天量級）、因而表面溫度極高的系外巨行星，代表例子為 51 Pegasi b。因其形成理論要求巨行星誕生於雪線外側，熱木星被認為是形成後經由盤遷移等機制向內遷移而至目前軌道位置的天體。

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（二）徑向速度法（Radial Velocity Method）偵測系外行星

核心觀念

本小題考徑向速度法（又稱都卜勒光譜法，Doppler spectroscopy）的物理原理，核心觀念包括：二體問題中恆星與行星繞共同質心運動、都卜勒效應、光譜線位移的週期性測量，以及由此反推行星質量下限（$M_p \sin i$）的公式推導。

解題方法（原理與步驟）