113 高普考高考三級 天文 太陽系 考古題詳解

核心觀念

行星上的「太陽日」是恆星再次出現在天頂所需的時間，取決於行星自轉與公轉的相對角速度。題目給的自轉方向與公轉方向相同，都是順行；因此，行星自轉一周後，還須多轉一段角度，才能再次朝向恆星。

解題方法

以順行方向為正，行星自轉週期為 $P_{\rm rot}=60$ 地球日，公轉週期為 $P_{\rm orb}=90$ 地球日。自轉與公轉的角速度分別為

$$\omega_{\rm rot}=\frac{360^\circ}{60\ {\rm 日}}, \qquad \omega_{\rm orb}=\frac{360^\circ}{90\ {\rm 日}}.$$

相對於恆星的轉動角速度為兩者之差：

$$\omega_{\rm rel} =\omega_{\rm rot}-\omega_{\rm orb} =360^\circ\left(\frac{1}{60}-\frac{1}{90}\right) =\frac{360^\circ}{180\ {\rm 日}}.$$

所以，再次面向同一恆星的時間間隔為

核心觀念

本題考克卜勒第三定律、橢圓軌道幾何，以及 vis-viva 方程式。設彗星軌道半長軸為 $a$、離心率為 $e$，則近日點距離與遠日點距離分別為

$$q=a(1-e),\qquad Q=a(1+e).$$

以年與天文單位為單位，繞太陽運行的克卜勒第三定律為

$$P^2=a^3.$$

軌道速率則由 vis-viva 方程式表示：

$$v^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right),$$

其中 $r$ 是彗星與太陽的距離，$\mu=GM_\odot$。地球近似為半徑 $1\ \mathrm{AU}$ 的圓軌道，故 $v_{\oplus}^2=\mu/(1\ \mathrm{AU})$。

解題方法

（一）遠日點距離

先由週期求半長軸：

$$a=P^{2/3}=216^{2/3}=36\ \mathrm{AU}.$$

已知近日點距離 $q=0.5\ \mathrm{AU}$，利用 $q+Q=2a$：

$$Q=2a-q=2(36)-0.5=71.5\ \mathrm{AU}.$$

因此，彗星遠日點距離為 $71.5\ \mathrm{AU}$。

（二）速率為地球軌道速率一半時的日心距離

核心觀念

本題考查的是：天體分類會隨觀測資料與分類定義改變。穀神星（Ceres）的軌道位置和外觀特徵，使它先被視為行星；之後陸續發現火星與木星之間有許多相似天體，天文學家遂將這一群天體另列為小行星；2006 年國際天文聯合會（IAU）採用新的行星定義後，穀神星符合矮行星條件。

分類沿革與理由

1801 年：先列為行星。 義大利天文學家皮亞齊（Giuseppe Piazzi）於 1801 年發現穀神星。當時人們預期火星與木星之間應有一顆尚未發現的行星；穀神星就在這兩者之間繞太陽運行，因此最初被當作新行星。

19 世紀中葉：改列為小行星。 穀神星之後，天文學家陸續在相近軌道區域發現智神星、婚神星、灶神星等小天體。這些天體數量增加，且體積遠小於傳統行星，顯示火星與木星之間並非只有一顆行星，而是存在一群軌道相近的小天體。至 1850 年代，將它們另稱為「小行星」或「小行星帶天體」逐漸成為慣例，穀神星也隨之列入此類。

2006 年：重新分類為矮行星。 IAU 於 2006 年正式訂定太陽系行星定義，並另設「矮行星」類別。穀神星繞太陽運行，且自身重力足以使其接近流體靜力平衡、呈近球形；但它沒有清除軌道周圍的其他天體，因此不符合行星的全部條件，而符合矮行星定義。

定義與判定

依 IAU 2006 年決議，太陽系中的行星須同時符合三項條件：

1. 繞太陽運行。
2. 自身重力足以克服剛體力量，使天體達到流體靜力平衡，呈近球形。
3. 已清除其軌道周圍區域中的其他天體。

矮行星須符合下列條件：

核心觀念

本題考的是行星吸收恆星輻射後，如何藉由熱輻射達到能量平衡。平衡溫度是指行星吸收的能量與向外放出的熱能相等時，依理想化假設計算出的溫度；它不一定等於行星實際的地表溫度。

計算時假設恆星與行星皆可視為黑體，恆星均勻向外輻射，行星在全球範圍內平均再輻射，且不考慮大氣的吸收、散射與溫室效應。反照率 $A$ 表示入射輻射中被反射的比例，因此吸收比例為 $1-A$。

解題方法

恆星表面每單位面積的輻射通量為 $\sigma T^4$，其中 $\sigma$ 為史蒂芬－波茲曼常數。恆星總光度為

$$L=4\pi R^2\sigma T^4.$$

距恆星距離為 $a$ 處的輻射通量，依反平方定律為

$$F(a)=\frac{L}{4\pi a^2} =\sigma T^4\left(\frac{R}{a}\right)^2.$$

行星攔截輻射的有效截面積為 $\pi r_p^2$，其中 $r_p$ 是行星半徑；其吸收功率為

$$P_{\mathrm{吸收}}=(1-A)F(a)\pi r_p^2.$$

若行星在整個表面均勻放出熱輻射，其放射面積為 $4\pi r_p^2$，平衡時有

$$(1-A)F(a)\pi r_p^2=4\pi r_p^2\sigma T_{\mathrm{平}}^4.$$

消去行星半徑並代入 $F(a)$：

$$T_{\mathrm{平}}^4 =\frac{1-A}{4}T^4\left(\frac{R}{a}\right)^2,$$

因此

$$\boxed{T_{\mathrm{平}} =T\left(\frac{R}{2a}\right)^{1/2}(1-A)^{1/4}}.$$

題目所給的 $R,T,a,A$ 足以決定此理想化平衡溫度，不需要行星半徑。

實際表面溫度與平衡溫度不同的原因

上式假設行星沒有大氣，且能把吸收的能量均勻分配到整個表面。實際行星或衛星若偏離這些假設，表面溫度便可能與計算值不同。

核心觀念

本題考查木星冰衛星的海洋世界與適居性，以及 JUICE 與 Europa Clipper 的任務分工。衛星外表雖覆有冰殼，內部仍可能因潮汐加熱等作用保有液態水海洋。若同時具備液態水、有機化學物質與可利用能源，就值得進一步評估其是否具有支持生命的環境。

要注意，「探測適居性」是調查生命所需條件是否存在，不等於直接尋找或確認外星生命。

解題方法

分別說明兩項任務的目標天體、探測方式與科學目的，再說明為何冰衛星值得探測。作答時應凸顯兩者分工：JUICE 以木星系統及多顆冰衛星為研究範圍，並以木衛三為主要環繞探測目標；Europa Clipper 則集中對木衛二進行多次近距離飛掠，評估其適居性。

JUICE：木星冰衛探測器

JUICE（Jupiter Icy Moons Explorer）是歐洲太空總署（ESA）的探測任務，研究木星系統及其具地下海洋潛力的冰衛星：

• 木衛三（Ganymede）：JUICE 將進入木衛三軌道，深入研究其內部、冰殼、可能的海洋、表面與磁場。
• 木衛二（Europa）與木衛四（Callisto）：進行近距離觀測，研究其表面、組成、冰殼與海洋特徵。
• 木星系統：觀察木星的大氣、磁層、環境及其他衛星，理解巨行星系統如何運作。

因此，JUICE 的核心目標是描繪木星冰衛的特性與潛在適居性，並以木衛三為主要環繞研究對象。

Europa Clipper：木衛二快船

Europa Clipper 是美國 NASA 的任務，主要目標是木衛二。太空船將繞木星運行，並多次近距離飛掠木衛二，以降低長時間處於木星強烈輻射環境中的風險，同時取得不同區域的詳細資料。

其主要工作可整理為三項：