113 高普考高考三級 天文 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析） 考古題詳解

核心觀念

對角化的關鍵是求出矩陣 $A$ 的特徵值與特徵向量。若 $A$ 有兩個線性獨立的特徵向量，將它們依序排成矩陣 $P$ 的欄向量，則

其中 $D$ 的對角元素就是相應的特徵值。

線性微分方程組 $\mathbf u'(t)=A\mathbf u(t)$ 若可對角化，令 $\mathbf u=P\mathbf z$，便可化為兩個互不耦合的純量方程，逐一求解。

解題方法

（一）求 $P$ 使 $P^{-1}AP=D$

先求特徵方程：

因此

特徵值為 $\lambda_1=-2$、$\lambda_2=-3$。

對 $\lambda_1=-2$，解 $(A+2I)\mathbf v_1=\mathbf 0$：

故可取特徵向量 $\mathbf v_1=(1,1)^T$。

對 $\lambda_2=-3$，解 $(A+3I)\mathbf v_2=\mathbf 0$：

故可取特徵向量 $\mathbf v_2=(1,2)^T$。

以兩個特徵向量作為 $P$ 的欄向量，得到

因為 $\det P=1\ne0$，$P$ 可逆，且 $AP=PD$，所以 $P^{-1}AP=D$。

（二）求一般解並證明極限為零

令

核心觀念

空間曲線 $\mathbf r(t)$ 從 $t=a$ 到 $t=b$ 的弧長，定義為速度大小的積分：

因此，先對位置向量微分求出速度，再計算速度向量的長度並積分。

解題方法

已知

對各分量微分：

速度大小為

核心觀念

本題考拉格朗日乘數法：在等式限制 $g(x,y,z)=3$ 下，若 $f$ 在限制曲面上有局部極值，且 $\nabla g\ne \mathbf 0$，則存在乘數 $\lambda$ 使

限制曲面 $x^2+2y^4+3z^6=3$ 是閉且有界的集合，故連續函數 $f$ 在其上必有最大值。求出候選點後，還須比較其函數值，並留意邊界情形；此題的限制曲面沒有邊界。

解題方法

直接處理 $f=xy^2z^3$ 時，偏導方程會出現零座標情形。由於約束含平方項，改令

則 $Y\ge 0$，而 $X,Z$ 可正可負。問題化為

下的最大值。這是橢球上的乘積極值問題。

先看零值情形：若 $X=0$、$Y=0$ 或 $Z=0$，則 $F=0$。另一方面，取 $X,Y,Z>0$ 且符合約束時可使 $F>0$，因此最大值必為正，最大點不會落在乘積為零的情形。

對 $X,Y,Z>0$，取對數可將乘積極值改寫為

以拉格朗日乘數法處理限制式 $X^2+2Y^2+3Z^2=3$：

因此

整理得

故

設 $X^2=6k,\;Y^2=3k,\;Z^2=2k$。代入約束：

所以 $k=\frac16$。因此

核心觀念

本題考查標量函數的梯度與方向導數，以及向量場的旋度與散度。令

為單位向量，則方向導數為

對向量場 $\vec{V}=(V_1,V_2,V_3)$，旋度與散度分別定義為

解題方法

（一）求 $\nabla f$ 與方向導數

已知 $f(x,y,z)=3xy-2yz$，分別對 $x,y,z$ 偏微分：

因此

在點 $(1,0,1)$，梯度為

方向導數取梯度在方向 $\vec u$ 上的內積：

（二）求 $\operatorname{curl}(\vec V)$ 與 $\operatorname{div}(\operatorname{curl}(\vec V))$

核心觀念

本題考查傅立葉轉換解熱傳導方程，以及高斯函數的傅立葉轉換。對 $x$ 作傅立葉轉換後，空間二階導數會轉為 $-\omega^2$，因此熱方程可化為關於 $t$ 的常微分方程。

採用題目給定的轉換慣例：

解題方法

對方程 $u_t=u_{xx}$ 的兩側作 $x$ 的傅立葉轉換。假設所需的微分與積分可交換，並且邊界項在無窮遠處消失，則

因此

將它視為以 $t$ 為變數的常微分方程，並由初始條件 $u(x,0)=f(x)$ 得 $\hat{u}(\omega,0)=\hat{f}(\omega)$，解得

代入傅立葉反轉公式：

再利用 $\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega y}f(y)\,dy$，交換積分次序可得

其中

對 $t>0$，使用高斯積分公式

因此

於是