115 高普考高考三級 天文 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析） 考古題詳解

核心觀念

這題考一階線性常係數非齊次微分方程組。先求平衡解，把非齊次系統改寫成齊次系統，再用矩陣的特徵值與特徵向量求通解。第二小題則利用解的長時間主導項，判斷向量方向的極限。

解題方法

令

先求平衡解 $z_*$，使 $Az_*+b=0$。設 $z_*=(x_*,y_*)^{\mathsf T}$，則

解得 $x_*=0,\ y_*=-1$，所以

令 $u=z-z_*$，即 $u=(x,y+1)^{\mathsf T}$，則 $\dot u=Au$。求矩陣 $A$ 的特徵值：

因此特徵值為 $\lambda_1=1$、$\lambda_2=-4$。

當 $\lambda_1=1$ 時，$(A-I)w=0$ 給出特徵向量 $w_1=(1,3)^{\mathsf T}$；當 $\lambda_2=-4$ 時，$(A+4I)w=0$ 給出特徵向量 $w_2=(1,-2)^{\mathsf T}$。故

（一）通解

加回平衡解 $z_*$，得到

其中 $C_1,C_2$ 為任意常數。分量形式為

（二）求 $\lim_{t\to\infty}v(t)$

核心觀念

（一）不定積分 $\int\sqrt{1+y^2}\,dy$ 可用雙曲代換 $y=\sinh u$，利用恆等式 $1+\sinh^2u=\cosh^2u$ 化簡根號。

（二）曲線 $y=f(x)$ 繞 $x$ 軸旋轉一周，曲面面積公式為

本題區間內 $\sin x\ge 0$，故 $|\sin x|=\sin x$。

解題方法

（一）令 $y=\sinh u$，則 $dy=\cosh u\,du$，且 $\sqrt{1+y^2}=\cosh u$，因此

由 $\sinh 2u=2\sinh u\cosh u$，並代回 $y=\sinh u$、$\cosh u=\sqrt{1+y^2}$，得

又 $\operatorname{arsinh}y=\ln\left|y+\sqrt{1+y^2}\right|$，故亦可寫為

核心觀念

散度定理在平面上的形式為

其中 $C$ 是區域 $D$ 的正向邊界，$\vec n$ 是單位外法向量。左側計算區域內散度總量；右側計算向量場穿出邊界的總通量。

本題給定 $\vec F=(x,y)$，因此

解題方法

先計算左側的面積分，再參數化橢圓邊界計算右側通量，最後比較兩者。

橢圓

的半軸長分別為 $a=2$、$b=1$，所圍面積為 $\pi ab=2\pi$。因此

計算邊界通量時，取逆時針參數化

其切向量為

對逆時針方向的平面曲線，外向法線乘弧長元素可寫成

核心觀念

本題考察半無限弦的波動方程、拉普拉斯轉換，以及有界條件如何排除不適當的解。對時間變數 $t$ 作拉普拉斯轉換，利用初始條件將時間微分轉成代數式，再解關於 $x$ 的常微分方程。

採用的公式為

其中 $U(x,s)=\mathcal{L}_t\{u(x,t)\}$。

解題方法

對方程

作時間拉普拉斯轉換。因為 $u(x,0)=0$、$u_t(x,0)=0$，可得

整理為

此方程的通解為

對 $x$ 而言，$e^{sx}$ 隨 $x\to\infty$ 增長，與解在空間上有界的條件不相容，因此 $A(s)=0$。邊界條件 $u(0,t)=0$ 轉換後為 $U(0,s)=0$，故

因此

利用位移公式