115 高普考高考三級 天文 近代物理 考古題詳解

核心觀念

本題考查光電效應的實驗現象、古典電磁波理論的困難，以及愛因斯坦光量子模型。光的頻率決定單一光子的能量；金屬的功函數則是電子逸出表面所需的最小能量。逸出電子的最大動能由光子能量扣除功函數得到。

解題方法與推導

（一）主要實驗結果與古典理論的困難

光電效應的主要實驗結果如下：

1. 存在截止頻率：對每一種金屬，只有當入射光頻率高於某一最低值 $\nu_0$，才會有光電子逸出；低於 $\nu_0$ 時，即使增大光強或延長照射時間，仍不會產生光電子。
2. 光電子動能取決於頻率：在頻率高於截止頻率時，光電子的最大動能隨入射頻率增加而增加；在頻率固定時，提高光強主要增加逸出電子的數量，不會提高最大動能。
3. 逸出幾乎沒有可測的時間延遲：只要頻率足以使電子逸出，光照後電子便迅速放出。

古典電磁理論將光視為能量連續分布的電磁波，預測光強越大，電子吸收能量越快，因而應有較大的電子動能；即使頻率低於實驗所見的截止頻率，電子也應能藉由長時間吸收能量而逸出。這些預測與實驗不符，尤其無法解釋截止頻率及光電子最大動能由頻率決定的現象。

愛因斯坦提出光量子模型：頻率為 $\nu$ 的光由能量為 $h\nu$ 的光子組成，金屬中的電子一次吸收一個光子。能量守恆關係為

$$h\nu=\phi+K_{\max},$$

其中 $\phi$ 是金屬功函數，$K_{\max}$ 是光電子的最大動能。此模型自然解釋了頻率門檻，以及光強增加時主要增加光子數目、因而增加光電子數量的結果。

（二）截止電壓與頻率的關係

以反向電壓阻止光電子到達集電極；當反向電壓達到截止電壓 $V_s$ 時，即使最大動能的光電子也恰被停止。因此

$$eV_s=K_{\max},$$

其中 $e$ 是基本電荷量。代入光電效應能量方程式：

$$eV_s=h\nu-\phi,$$

故截止電壓與入射頻率的關係為

$$V_s=\frac{h}{e}\nu-\frac{\phi}{e}.$$

這是一條直線。若以 $V_s$ 為縱軸、$\nu$ 為橫軸，斜率為 $h/e$，縱軸截距為 $-\phi/e$，因此

核心觀念

粒子在三維無限深方形位能井中的能量，由三個互相獨立的一維定態能量相加而成。邊長為 $L_1,L_2,L_3$ 時，

$$E_{n_1,n_2,n_3} =\frac{h^2}{8m} \left( \frac{n_1^2}{L_1^2} +\frac{n_2^2}{L_2^2} +\frac{n_3^2}{L_3^2} \right), \qquad n_1,n_2,n_3=1,2,3,\ldots$$

本題 $L_1=L_2=L$、$L_3=2L$，因此

$$E_{n_1,n_2,n_3} =\frac{h^2}{8mL^2} \left(n_1^2+n_2^2+\frac{n_3^2}{4}\right).$$

令 $E_0=\dfrac{h^2}{8mL^2}$，則只需依序排列無因次量

$$Q=n_1^2+n_2^2+\frac{n_3^2}{4}, \qquad E=E_0Q.$$

解題方法

依 $Q$ 由小到大排列正整數量子數組合。由於前兩個方向長度相同，交換 $n_1,n_2$ 不改變能量；若 $n_1\ne n_2$，這兩組量子數構成二重簡併。再比較不同 $n_3$ 的組合是否給出相同的 $Q$。

前十個最低能量如下：

能階序位	無因次量 $Q$	能量 $E$	對應量子數 $(n_1,n_2,n_3)$	簡併度
1	$\frac94$	$\frac{9h^2}{32mL^2}$	$(1,1,1)$	1
2	$3$	$\frac{3h^2}{8mL^2}$	$(1,1,2)$	1
3	$\frac{21}{4}$	$\frac{21h^2}{32mL^2}$	$(1,1,3)$	1
4	$6$	$\frac{3h^2}{4mL^2}$	$(1,1,4)$	1

核心觀念

本題考查狹義相對論中的質能關係。以功的定義 $dW=F\,dx$、功能原理 $dW=dK$，以及相對論性動量 $p=\gamma mv$ 推導粒子動能，再由低速極限辨認靜止能量，得到 $E=mc^2$。

解題方法

設粒子靜止質量為 $m$，速率為 $v$，洛侖茲因子為

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}},$$

其中 $c$ 為真空光速。由功的定義及功能原理，

$$dK=dW=F\,dx.$$

又 $F=dp/dt$ 且 $dx=v\,dt$，故

$$dK=v\,dp.$$

代入相對論性動量 $p=\gamma mv$：

$$K=\int_0^v v\,d(\gamma mv) =\int_0^v m v\,d(\gamma v).$$

因為

$$\frac{d(\gamma v)}{dv}=\gamma^3,$$

所以

$$K=\int_0^v m v\gamma^3\,dv =mc^2(\gamma-1).$$

整理為

$$K=(\gamma-1)mc^2=\gamma mc^2-mc^2.$$

相對論總能量為 $E=\gamma mc^2$，因此靜止時（$v=0$、$\gamma=1$）的能量為

$$E_0=mc^2.$$

也就是靜止質量 $m$ 對應的能量；質量差 $\Delta m$ 對應能量差 $\Delta E=\Delta m c^2$。

（一）質能互換公式

由功與動量積分所得的相對論動能為 $K=(\gamma-1)mc^2$。加上靜止能量 $E_0=mc^2$，總能量為

$$E=K+E_0=(\gamma-1)mc^2+mc^2=\gamma mc^2.$$

物體靜止時 $\gamma=1$，故

$$\boxed{E_0=mc^2}.$$

（二）1.0 公克質量的能量，以及與燃燒能量之比

取 $m=1.0\ \mathrm{g}=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{kg}$，並用 $c=3.00\times10^8\ \mathrm{m/s}$：

$$E=mc^2 =(1.0\times10^{-3})(3.00\times10^8)^2 =9.0\times10^{13}\ \mathrm{J}.$$

1.0 公克碳的莫耳數為

核心觀念

本題考查量子力學如何在含有大量粒子的系統中形成可觀測的集體行為，以及超導、超流與約瑟芬效應的基本特徵。回答時宜先說明「宏觀量子現象」的共同基礎，再分別交代各現象的物理表徵與關鍵方程。

解題方法

採「共同原理 → 物理系統 → 可觀測特徵」的順序作答：

1. 說明大量粒子具有共同的量子相干性，因此可用集體波函數或序參量描述。
2. 分別指出超導是帶電載子的相干量子態，超流是流體的相干量子態。
3. 以兩個超導體之間的弱連結說明約瑟芬效應，並列出其電流與相位、電壓與相位變化率的關係。

（一）宏觀量子現象

量子力學通常用來描述原子、分子等微觀系統；但在某些低溫、具有強關聯或長程相干性的系統中，大量粒子能共同處於同一個相干量子態，使量子效應在宏觀尺度上呈現可測量的結果，稱為宏觀量子現象。

例如，超導體中的大量庫柏對（Cooper pairs）可由具有共同相位的序參量描述：

$$\Psi(\mathbf r)=|\Psi(\mathbf r)|e^{i\theta(\mathbf r)}.$$

此時，集體相位 $\theta$ 等宏觀自由度也呈現量子力學行為；量子化能階、穿隧等效應可作用於整個集體變數，而不只是一個孤立粒子。宏觀系統仍遵守量子力學，宏觀性指的是參與作用的粒子數多、可觀測尺度大。

2025 年諾貝爾物理獎表彰 Clarke、Devoret 與 Martinis 在電路中觀測到宏觀量子力學穿隧及能量量子化。這類實驗展示了電路的集體變數可具有量子行為。

（二）超導現象（superconductivity）

超導是某些材料在低於特定臨界溫度 $T_c$ 時進入的一種狀態，主要特徵包括：

• 直流電阻為零：電流可在超導體中持續流動而不因電阻耗散能量。
• 完全抗磁性（邁斯納效應）：材料進入超導態時，磁場被排斥出超導體內部；這是超導態的重要特徵，不只是材料電阻為零的結果。

在傳統超導體中，電子透過有效吸引形成庫柏對；庫柏對凝聚成具有宏觀相干性的量子態。其電荷為 $2e$，其中 $e$ 為基本電荷量。超導電流可由序參量相位的空間變化理解；超導環中的磁通量亦呈量子化，其量子為

$$\Phi_0=\frac{h}{2e},$$

其中 $h$ 為普朗克常數。因為載流子是電荷為 $2e$ 的庫柏對，磁通量子分母為 $2e$。

（三）超流體（superfluidity）