115 高普考高考三級 天文 天文觀測 考古題詳解

核心觀念

本題比較望遠鏡集光能力與光譜儀的光譜解析能力，重點是「口徑愈大、解析度愈高就一定愈好嗎？」答案是否定的。儀器設計須配合目標天體亮度、視場、觀測時間及科學問題。

望遠鏡的集光面積約為

$$A=\frac{\pi D^2}{4},$$

其中 $D$ 為口徑。若其他條件相同，口徑加倍，集光面積增為四倍；光子數增加可提升訊雜比，或在相同訊雜比下觀測更暗的天體。理想繞射角解析度則近似為

$$\theta \simeq 1.22\frac{\lambda}{D}.$$

但地面可見光觀測常受大氣視寧度限制，實際角解析度未必隨口徑持續改善。

光譜解析度定義為

$$R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda},$$

其中 $\Delta\lambda$ 是可分辨的最小波長差。速度解析能力約為

$$\Delta v \simeq \frac{c}{R}.$$

因此，高解析度光譜能分開較細的譜線結構，但同一波段通常需分散到更多解析元素，單一解析元素所接收的光子較少。

解題方法

分別從「光子收集與觀測效率」以及「光譜資訊與訊雜比」切入。大、小口徑望遠鏡的差異，主要看集光能力、視場與資源配置；高、低解析度光譜儀的差異，則看能否分辨譜線細節，以及取得指定訊雜比所需的光子數與觀測時間。最後依各自優勢對應科學目標。

（一）大、小口徑望遠鏡

大口徑望遠鏡（約 8 米以上）

優點：

• 集光能力強，適合觀測暗弱、遙遠的天體，例如高紅移星系、類星體、遙遠超新星與低亮度恆星。
• 在相同曝光時間下可取得較高訊雜比；若目標亮度固定，也能更快達到指定訊雜比，或觀測更細微的亮度變化。
• 有利於對暗弱天體進行多色測光、光譜觀測與高時間解析度觀測。
• 在良好視寧度、導星與自適應光學等條件下，可搭配高解析度成像或干涉儀，研究緊密天體、星團核心及星系中心附近的結構。

缺點與限制：

• 建造、維護與操作成本高，對結構、鏡面控制、熱穩定、導星及觀測場址要求高。
• 若觀測的是亮星或亮星系，集光能力容易超出需求，曝光時間短而使讀出、追蹤與校正等固定成本占比提高。
• 大口徑不必然代表更大的視場；焦平面、像差校正、儀器尺寸與成本可能限制可用視場。
• 地面觀測的角解析度常受大氣視寧度限制，口徑增大不會自動消除大氣模糊。
• 若科學目標需要長時間、大面積、均勻的巡天，單一大型望遠鏡未必比多台小望遠鏡更有效率。

**適用研究：**暗弱目標的深場觀測、遙遠星系與類星體研究、暗弱天體光譜、精密徑向速度或譜線研究，以及需要高訊雜比的目標觀測。

小口徑望遠鏡（約 3 米以下）

優點：

• 建造與操作成本較低，較容易長期維護，也可設置多台望遠鏡形成觀測網。
• 適合高效率、長時間或大天區的巡天；多台儀器可提升總觀測時間與天區覆蓋率。
• 觀測亮天體時，集光能力通常足夠，且較不易因光子過多而受飽和限制。
• 適合教育訓練、儀器測試、快速追蹤與常態監測。

缺點與限制：

• 集光能力有限，對暗弱天體須增加曝光時間，或只能取得較低訊雜比。
• 不適合需要大量光子的暗弱目標高解析度光譜，也較難在短時間解析快速變化的暗弱天體。
• 單一小口徑望遠鏡通常難以達成大型望遠鏡的深場觀測能力。

**適用研究：**亮星與亮星系的監測、變星與凌日事件追蹤、太陽系天體觀測、廣域巡天、目標篩選及教育觀測。小望遠鏡網路也適合對已知事件進行持續時間覆蓋。

核心觀念

本題比較的是太空望遠鏡相對於地球的位置，如何影響觀測連續性、觀測環境、通訊與維運。軌道沒有單一的「最佳」選擇，須依望遠鏡的波段、任務需求和可承受的運作成本取捨。

軌道離心率 $e$ 描述軌道的扁長程度：$e\approx0$ 時近圓；$e$ 越大，近地點與遠地點的距離差越大。橢圓軌道若半長軸為 $a$，近地點及遠地點距地心距離分別為：

$$r_{\rm p}=a(1-e),\qquad r_{\rm a}=a(1+e)$$

題目給的哈伯軌道高度約 560 公里，是距地表高度；錢德拉的半長軸約 81,000 公里則是距地心的軌道尺度，兩者不能直接當成相同的「高度」比較。

解題方法

依三個位置逐一比較四項：可連續觀測多久、是否受到地球遮蔽或輻射環境干擾、通訊與維運便利性、軌道本身的代價與限制。再把優缺點連結到望遠鏡任務：近地軌道方便接近與維修；高橢圓軌道爭取較長的連續觀測時段；日地 L2 則提供較穩定的觀測與熱環境。

三種放置地點的優劣

一、低軌低離心率：哈伯太空望遠鏡

哈伯位於距地表約 560 公里的低軌，離心率 $e=0.00013$，軌道近圓。它繞地球運行，因此最明顯的限制是地球會週期性遮住天空中的觀測目標；望遠鏡也需避開地球、太陽與月球造成的指向限制。低軌還會經過南大西洋異常區等高能粒子較多的區域，可能影響儀器運作，增加觀測與資料處理上的限制。

優點是距地球近，通訊延遲短、資料傳輸方便，也較容易安排太空人或維修任務。哈伯曾接受太空梭維修與升級，讓儀器更新並延長任務壽命。低軌發射與進入軌道的能量需求相對可控，但大氣阻力仍會逐漸改變軌道，需考慮軌道維持或任務壽命。

**適合之處：**重視近地操作、通訊及維修能力的任務。 **主要代價：**地球遮蔽與輻射環境會切割觀測時段，觀測連續性較差。

二、高軌高離心率：錢德拉 X 光望遠鏡

錢德拉沿高離心率橢圓軌道繞地球運行。以題目數值估算：

$$r_{\rm p}=81{,}000(1-0.74)=21{,}060\ {\rm km}$$ $$r_{\rm a}=81{,}000(1+0.74)=140{,}940\ {\rm km}$$

這是距地心距離；若取地球半徑約 6,400 公里，對應的近地點及遠地點高度約為 14,700 公里及 134,500 公里。錢德拉在遠離地球的軌道區段，可長時間避開地球遮蔽，並遠離地球輻射帶，因此能進行長時間、不間斷的天體觀測。

核心觀念

誤差傳遞要先確認兩次觀測的誤差是否相關。題目未提供相關資訊，以下依天文觀測常用假設，視 $m_1$、$m_2$ 的測量誤差互相獨立，且 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 分別為其標準差。

若 $x,y$ 獨立，則線性組合的變異數為

$$\operatorname{Var}(a x+b y)=a^2\operatorname{Var}(x)+b^2\operatorname{Var}(y).$$

平均星等與星等差雖由獨立的 $m_1,m_2$ 算出，兩者仍可能彼此相關；須用共變異數判斷。

(一) 平均星等與星等差的誤差

由

$$\bar m=\frac{m_1+m_2}{2}$$

可得

$$\operatorname{Var}(\bar m) =\frac{1}{4}\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right), \qquad \sigma_{\bar m}=\frac{1}{2}\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}.$$

又

$$\Delta m=m_1-m_2,$$

因此

$$\operatorname{Var}(\Delta m) =\sigma_1^2+\sigma_2^2, \qquad \sigma_{\Delta m}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}.$$

(二) 證明不獨立並計算相關係數

兩者的共變異數為

$$\begin{aligned} \operatorname{Cov}(\bar m,\Delta m) &=\operatorname{Cov}\left(\frac{m_1+m_2}{2},m_1-m_2\right)\\ &=\frac{1}{2}\left[ \operatorname{Var}(m_1)-\operatorname{Cov}(m_1,m_2) +\operatorname{Cov}(m_2,m_1)-\operatorname{Var}(m_2) \right]\\ &=\frac{\sigma_1^2-\sigma_2^2}{2}, \end{aligned}$$

其中使用 $\operatorname{Cov}(m_1,m_2)=0$。若 $\sigma_1\ne\sigma_2$，共變異數不為零，因此兩者不獨立。

相關係數為

$$\begin{aligned} \rho_{\bar m,\Delta m} &=\frac{\operatorname{Cov}(\bar m,\Delta m)} {\sigma_{\bar m}\sigma_{\Delta m}}\\ &=\frac{(\sigma_1^2-\sigma_2^2)/2} {\left[\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}/2\right] \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\\ &=\boxed{\frac{\sigma_1^2-\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}. \end{aligned}$$

若 $\sigma_1=\sigma_2$，則相關係數為 $0$。若兩次觀測誤差為聯合常態分布，此時零相關即可推出獨立；但一般分布下，零相關不必然代表獨立。

核心觀念

本題考查星際介質中三種氫的觀測方法：游離氫區以復合譜線示蹤，原子氫以 21 公分超精細譜線觀測，冷分子氫則通常透過一氧化碳等分子間接估算。

解題方法與分題說明

（一）為何觀察游離氫要用氫原子發出的 H$\alpha$ 譜線？

H II 區中的氫原子已游離，主要以質子 $\mathrm{H^+}$ 和自由電子存在。游離態的氫本身沒有束縛電子，因此不會發生中性氫原子的 $n=3\to2$ 能階躍遷。

然而，H II 區中的自由電子會與質子復合，形成中性氫原子。新形成的原子常處於激發態，電子逐級躍遷至較低能階；當電子由 $n=3$ 跃遷至 $n=2$ 時，會放出 H$\alpha$ 光子。這種復合輻射來自 H II 區內復合形成的氫原子，因此可以用來追蹤游離氫區。

**得分關鍵：**H$\alpha$ 不是由自由質子直接發出，而是由游離區內的電子與質子復合後，所形成的中性氫原子發出。

（二）觀測原子氫使用哪一條譜線？其輻射機制為何？

觀測中性原子氫（H I）通常使用 21 公分譜線，其頻率約為 $1420.4\ \mathrm{MHz}$。

氫原子的電子與質子都具有自旋磁矩。兩者自旋方向平行與反平行時，原子的總角動量不同，形成非常接近的超精細能階。電子與質子的自旋由平行態轉為反平行態時，放出一個 21 公分光子；反向躍遷則吸收該光子。這是超精細能階間的磁偶極躍遷，也稱為自旋翻轉躍遷。

（三）為何難以直接觀測冷氫分子？如何估算其含量？

$\mathrm{H_2}$ 是由兩個相同氫原子核組成的對稱分子，沒有永久電偶極矩，因此沒有容易觀測的電偶極純轉動譜線。它的轉動躍遷只能透過很弱的電四極輻射發生；