113 高普考高考三級 天文 天文觀測 考古題詳解

核心觀念

本題考查高能伽瑪射線無法用一般反射望遠鏡聚焦成像時，三種儀器如何透過粒子與物質的交互作用重建入射方向與能量。關鍵是辨認各儀器的主要作用機制：

• COMPTEL：量測伽瑪光子的康普頓散射與後續吸收。
• Fermi/LAT：量測伽瑪光子轉換成電子—正電子對後的徑跡與能量。
• H.E.S.S.：量測伽瑪光子在大氣中引發的廣延空氣簇射所產生的契倫可夫光。

能量範圍依序由 MeV、MeV 至 GeV，再到 GeV 至 TeV，反映各自採用的探測方式不同。

解題方法

逐一說明各儀器的「光子如何留下可量測訊號」、「如何由訊號反推天區方向」，並列出主要觀測能量範圍。能量範圍用常見的儀器工作範圍表示，實際上下限會依儀器配置與分析條件而異。

（一）CGRO/COMPTEL

成像原理：康普頓散射成像

COMPTEL 由上下兩層偵測器構成。入射伽瑪光子先在上層低原子序液體閃爍體中發生康普頓散射，量測反沖電子留下的能量沉積；散射後的光子再進入下層 NaI(Tl) 閃爍體，並在其中被吸收。量測兩次交互作用的位置與能量，即可重建入射光子的方向與能量。

若入射光子能量為 $E_\gamma$，散射後光子能量為 $E'_\gamma$，散射角為 $\theta$，則康普頓散射關係為

其中 $m_ec^2 \simeq 511\ \mathrm{keV}$。兩層偵測器的位置連線給出散射光子的方向，而能量沉積可用來求散射角 $\theta$。因此，單一事件只能指出天空上一個圓錐形方向約束；許多事件的圓錐交會後，便可定位光源並形成天區影像。

主要觀測能量： 約 $0.75$ 至 $30\ \mathrm{MeV}$ 的伽瑪射線。

（二）Fermi/LAT

成像原理：電子—正電子對轉換成像

LAT 是太空中的高能伽瑪射線望遠鏡。伽瑪光子進入鎢轉換層後，會在原子核庫侖場附近轉換成電子與正電子。矽條追蹤器量測這兩個帶電粒子的徑跡，利用其初始方向重建入射伽瑪光子的方向；下方的 CsI(Tl) 量能器量測粒子及其電磁簇射的能量，據以估算原光子的能量。反符合偵測器則協助剔除帶電宇宙射線背景。

電子—正電子對具有相反電荷，且大致沿原光子方向前進；重建兩條徑跡的共同初始方向，可估計光子入射方向。高能伽瑪光子的能量主要由量能器中電磁簇射的能量沉積估算。

核心觀念

題目考查輻射流量與發光度的關係。假設天體向各方向均勻輻射，距離為 $d$ 的觀測者測得流量 $F$，則

其中 $F$ 是單位面積、單位時間接收到的能量；$L$ 是該波長範圍內每單位時間放出的能量。題目說星際吸收可忽略，因此不需額外作消光修正。

解題方法

先將距離換成公分，再代入公式。使用 $1\,\mathrm{kpc}=3.086\times10^{21}\,\mathrm{cm}$：

因此發光度為

流量與距離都有不確定度。因為 $L\propto Fd^2$，若將兩項測量誤差視為互相獨立的隨機誤差，使用相對誤差平方和：

核心觀念

本題考查望遠鏡焦平面上的像素大小如何換算為天空角尺度，以及成像解析力由哪些因素限制。

• 望遠鏡焦距為 $f=F D$，其中 $F$ 是焦比、$D$ 是主鏡口徑。
• 焦平面長度 $x$ 對應的角度，在小角度近似下為 $\theta \simeq x/f$（弧度）。
• 影像解析力須比較像素取樣尺度、望遠鏡繞射極限與大氣視相。數值越大的角尺度代表限制越嚴格。

（一）視野 FoV

LOT 口徑 $D=1\,\mathrm{m}$，焦比為 $8$，所以焦距為

相機每邊有 $2048$ 個像素，每個像素大小為 $15\,\mu\mathrm{m}$，因此感光面的邊長為

視野邊長的角度為

將弧度換算成角分：

因此，SOPHIA+LOT 的視野約為每邊 $13.2$ 角分，視野形狀為正方形。

（二）成像空間解析力限制

先求像素角尺度。單一像素在焦平面上的大小為 $15\,\mu\mathrm{m}=15\times10^{-6}\,\mathrm{m}$，故

核心觀念

本題考查視星等、絕對星等與距離模數的關係。Ia 型超新星在光度極大時的典型絕對星等約為 $M\simeq-19.3$ 等；肉眼極限星等題目給定為 $m=+6$ 等。

距離模數公式為：

其中 $m$ 是視星等、$M$ 是絕對星等，$d$ 是以秒差距（pc）表示的距離。

解題方法

取 Ia 型超新星在極大光度時的典型絕對星等 $M=-19.3$，令其剛好達到肉眼極限 $m=+6$：

代入距離模數公式：