113 高普考高考三級 天文 近代物理 考古題詳解

核心觀念

本題考查狹義相對論與廣義相對論的基本數學形式、物理意義，以及在遙遠星系觀測中的適用範圍。狹義相對論描述慣性參考系間的時空關係；廣義相對論則以時空幾何描述重力，並將理論延伸至加速參考系。

解題方法

回答時先列出兩理論最具代表性的數學式，再說明公式中的物理量及其含意。最後依遙遠星系的觀測情境，區分局部運動與重力效應，並指出宇宙膨脹造成的尺度影響。

(一) 數學形式

狹義相對論

狹義相對論的兩項基本原理是：物理定律在所有慣性參考系中形式相同；真空中的光速對所有慣性觀測者皆為 $c$。其時空關係可用洛侖茲變換表示。若 $S'$ 相對於 $S$ 沿 $x$ 軸以速度 $v$ 運動，則

$$x'=\gamma(x-vt),\qquad t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right),$$

其中

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

狹義相對論的不變時空間隔為

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.$$

另一個常見結果是質能關係：

$$E^2=(pc)^2+(mc^2)^2,$$

靜止時 $p=0$，因此 $E=mc^2$。

廣義相對論

廣義相對論的場方程為

$$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} =\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu},$$

其中

$$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}.$$

$g_{\mu\nu}$ 是時空度規，$R_{\mu\nu}$ 是里奇曲率張量，$R$ 是純量曲率，$T_{\mu\nu}$ 是能量—動量張量，$\Lambda$ 是宇宙常數，$G$ 是萬有引力常數。

(二) 數學式的理論內含

狹義相對論：時空與運動

洛侖茲變換指出，不同慣性觀測者對時間與空間座標的測量彼此相關。時間間隔與空間距離會隨觀測者的相對速度而改變，但光速以及時空間隔具有不變性。

核心觀念

本題考查普朗克定律如何描述黑體的光譜輻射亮度，以及對所有頻率積分後，如何得到 Stefan–Boltzmann 定律。普朗克定律逐一給出各頻率或波長的輻射強度；Stefan–Boltzmann 定律則描述黑體表面每單位時間、每單位面積向外放出的總能量。

題目原卷公式文字未完整呈現。以下採用普朗克定律常見的頻率形式說明；末尾另列波長形式，方便對照不同教材的寫法。

（一）符號定義與物理意義

黑體的頻率形式普朗克定律為

$$B_\nu(T)= \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{\exp\left(\frac{h\nu}{k_{\mathrm B}T}\right)-1}.$$

其中：

• $B_\nu(T)$：溫度為 $T$ 的黑體在頻率 $\nu$ 處的光譜輻射亮度，常用單位為 $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,Hz^{-1}}$。
• $T$：黑體的絕對溫度，單位為 K。
• $\nu$：輻射頻率，單位為 Hz。
• $h$：普朗克常數。
• $k_{\mathrm B}$：波茲曼常數。
• $c$：真空中的光速。
• $\exp\!\left(h\nu/(k_{\mathrm B}T)\right)-1$：反映能量量子化的因子；分母中的 $-1$ 是黑體光子分布的特徵。

$B_\nu(T)$ 表示黑體在頻率 $\nu$ 附近、每單位頻寬、每單位投影面積、每單位立體角所發出的輻射能量。它是光譜量，不是對全部頻率加總後的總輻射功率。

有些教材使用波長形式：

$$B_\lambda(T)= \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{\exp\left(\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}\right)-1},$$

其中 $B_\lambda(T)$ 是每單位波長間隔的光譜輻射亮度，$\lambda$ 為波長。頻率形式與波長形式描述同一輻射分布，但因頻寬變數不同，須使用

$$B_\nu\,d\nu = -B_\lambda\,d\lambda, \qquad B_\nu = B_\lambda\left|\frac{d\lambda}{d\nu}\right| = B_\lambda\frac{\lambda^2}{c}$$

相互換算，不能只將 $\nu=c/\lambda$ 代入公式而忽略頻寬變換。

（二）與 Stefan–Boltzmann 定律的數學關係

解題方法

對黑體表面在所有向外半球方向的輻射，以及所有頻率積分，得到總輻射出射度。黑體輻射亮度具有方向同性，因此對出射半球積分會產生因子 $\pi$：

核心觀念

本題考查夸克的電荷與自旋、基本粒子質量的比較，以及氫原子光譜系列的極限波長。

上夸克 $u$ 的電荷為 $+\frac{2}{3}e$，下夸克 $d$ 的電荷為 $-\frac{1}{3}e$，其中 $e$ 為基本電荷量。兩者都是自旋為 $\frac{1}{2}$ 的費米子。

氫原子光譜可用 Rydberg 公式表示：

$$\frac{1}{\lambda} =R_{\mathrm H}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right), \qquad n_i>n_f$$

其中 $n_f$ 是躍遷終態的主量子數。各系列的最短波長對應 $n_i\to\infty$ 的極限。

解題方法

（一）上夸克與下夸克的性質為：

$$q_u=+\frac{2}{3}e,\qquad q_d=-\frac{1}{3}e$$ $$s_u=s_d=\frac{1}{2}$$

（二）使用夸克的現代（current）質量比較：下夸克的質量大於上夸克；中子與質子的質量則遠大於單一夸克，且中子略重於質子。因此排序為：

$$m_n>m_p>m_d>m_u$$

此處比較的是夸克的基本質量。質子與中子的質量主要來自強作用下的夸克、膠子系統能量，不能把它們的質量簡單視為組成夸克質量的總和。

（三）令 Balmer series 最短波長為 $\lambda_B$。Balmer 系列的終態為 $n_f=2$，故其最短波長滿足：

$$\frac{1}{\lambda_B} =R_{\mathrm H}\left(\frac{1}{2^2}-0\right) =\frac{R_{\mathrm H}}{4}$$

Lyman 系列終態為 $n_f=1$：

核心觀念

題目中的高爾夫球靜止質量與速率以空格表示，缺少數值，因此無法算出數值答案。以下令靜止質量為 $m_0$、速率為 $v$，並以 $c$ 表示真空光速。相對論因子為

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$

相對論動量為 $p=\gamma m_0v$；動能為總能量扣除靜止能量，即 $K=(\gamma-1)m_0c^2$。物質波波長依德布羅意關係 $\lambda=h/p$ 計算，其中 $h$ 為普朗克常數。

解題方法

（一）等效質量、動量及動能

採相對論公式，將靜止質量乘上相對論因子，得到等效質量：

$$m_{\text{等效}}=\gamma m_0 =\frac{m_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$

由相對論動量定義，

$$p=\gamma m_0v =\frac{m_0v}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$

總能量為 $E=\gamma m_0c^2$，靜止能量為 $E_0=m_0c^2$，因此動能為

$$K=E-E_0 =(\gamma-1)m_0c^2 =m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-1\right).$$

（二）物質波波長