114 高普考高考三級 天文 近代物理 考古題詳解

核心觀念

本題考查量子糾纏的定義、糾纏系統的應用，以及古典位元與量子位元的差異。回答時應掌握兩點：糾纏是整體量子態不能拆成各部分量子態的乘積；量子電腦則利用量子疊加、糾纏與干涉來處理資訊。

解題方法

（一）何謂量子糾纏？

若由兩個或多個子系統組成的量子系統，其整體量子態無法寫成各子系統量子態的張量積，便稱為量子糾纏態。以兩個量子位元為例，糾纏態可寫成

這個狀態不能分解為單一量子位元狀態 $|\psi_A\rangle\otimes|\psi_B\rangle$。測量其中一個量子位元後，兩者的測量結果會呈現相關性；例如在上述狀態中，若以計算基底測量，結果只會是 $00$ 或 $11$，且各有 $1/2$ 的機率。

這種相關性不能用「粒子事先各自帶有一組固定答案」的局域古典模型完整解釋。貝爾不等式提供檢驗方式：量子力學預測某些糾纏態在適當測量設定下會違反貝爾不等式，實驗也已觀察到此違反。糾纏相關性不代表能以超光速傳送可控制的訊息；單獨觀察任一端的結果仍是隨機的。

（二）量子糾纏的潛在或現行應用

1. 量子通訊與量子密碼：利用糾纏建立安全金鑰分配，或用量子隱形傳態傳送未知量子態；隱形傳態仍需傳送古典資訊，不能超光速傳訊。
2. 量子計算：糾纏可形成量子位元間的關聯，是許多量子演算法與量子糾錯方法的重要資源。
3. 量子網路與量子中繼：在遠距離節點間分配糾纏，支援量子通訊與分散式量子資訊處理。
4. 量子精密量測：適當製備的糾纏態可用於提升部分量測任務的靈敏度。

（三）古典電腦與量子電腦的主要區別

核心觀念

本題考查黑體輻射的定義、頻譜特徵、古典理論的困難，以及普朗克以能量量子化提出的解釋。核心是理解：黑體輻射的頻譜只由溫度決定；古典物理預測高頻輻射能量無限增大；普朗克則假設物質與電磁場交換能量時，能量只能以離散量子為單位改變。

解題方法與各小題說明

（一）黑體輻射的定義與基本概念

黑體是理想化的物體，能完全吸收所有入射電磁輻射，不反射也不透射。處於熱平衡時，黑體也會以特定頻譜放射電磁波，稱為黑體輻射。

黑體輻射的光譜只取決於黑體的絕對溫度，與材料種類、形狀等性質無關。實驗上，帶有小孔的空腔可近似黑體：入射輻射進入小孔後會在空腔內多次反射，因而幾乎完全被吸收；空腔達到熱平衡後，小孔射出的輻射則近似黑體輻射。

（二）頻譜分布與維恩位移定律

黑體輻射的頻譜有以下主要特徵：

1. 在特定溫度下，輻射強度隨頻率或波長而變化，形成連續光譜。
2. 輻射強度先隨頻率增加而上升，達到峰值後再下降；高頻端的強度趨近於零。
3. 溫度升高時，總輻射能量增加，頻譜峰值也移向較短波長。

維恩位移定律描述峰值波長與絕對溫度的關係：

因此，溫度越高，$\lambda_{\max}$ 越短。須注意，峰值的位置會依採用的頻譜表示方式而不同；上述公式指的是以波長表示的頻譜峰值。

（三）古典理論的問題與紫外災難

依古典電磁學與能量均分定理，空腔中的電磁波模式在熱平衡時各自平均具有能量 $kT$。瑞利－金斯定律據此預測，單位體積、單位頻率間隔中的能量密度為

此式預測能量密度隨頻率平方增加。若將所有頻率的能量加總，則

核心觀念

光具有波粒二象性：在不同實驗安排下，光會呈現波動或粒子的特徵。這不是說光在同一個測量中必定同時呈現兩種經典性質，而是說完整描述光時，波動與粒子兩種面向都不可缺少。

波動性主要表現在干涉、繞射與偏振等現象；粒子性則表現在光能以離散的光子形式與物質交換能量與動量。光子的能量與動量為

其中 $h$ 為普朗克常數，$\nu$ 為頻率，$\lambda$ 為波長。

解題方法

本題要求說明「如何在實驗中觀察到波動性與粒子性」，並以兩項代表性實驗討論其觀測結果、物理意涵，以及對經典物理的挑戰。作答宜各舉一項最具代表性的波動實驗與粒子實驗，再指出兩者如何共同促成量子物理的建立。

實驗一：雙狹縫干涉——光的波動性

令單色光照射兩條狹縫，狹縫後方放置屏幕。兩狹縫發出的光波在屏幕上疊加，形成明暗相間的干涉條紋。若狹縫間距為 $d$、屏幕距離為 $L$，且 $L\gg d$，相鄰亮紋間距近似為

亮紋出現在兩路光的光程差為整數倍波長之處；暗紋則出現在光程差為半整數倍波長之處。條紋分布顯示，光具有相位，且不同路徑的光能彼此疊加，這是典型的波動特徵。

此實驗挑戰了「光只是沿直線行進的經典粒子」的觀點：若光僅是互不作用的粒子，便無法直接解釋規律的明暗干涉條紋。干涉現象因而支持光的波動描述，並與經典電磁波理論相符。

實驗二：光電效應——光的粒子性

以不同頻率的光照射金屬表面，可觀察逸出電子。實驗有三項重要結果：

1. 存在截止頻率 $\nu_0$；當 $\nu<\nu_0$ 時，即使提高光強度，也不會產生光電子。
2. 當 $\nu>\nu_0$ 時，光電子的最大動能隨入射光頻率增加，而不隨光強度增加。

核心觀念

本題考查肥皂水薄膜的「薄膜干涉」與「干涉增強、減弱」條件。白光照射薄膜時，不同波長的光在薄膜上、下表面反射後互相干涉；由於肥皂水膜厚度由上而下改變，因此不同位置會增強不同波長，形成彩色條紋。

肥皂水薄膜的折射率大於空氣，入射光近乎垂直，且上表面反射會產生半波損失，下表面反射不產生半波損失。因此反射光的相長干涉條件為

垂直入射時 $r=0$，所以

其中 $n$ 為薄膜折射率、$d$ 為膜厚、$\lambda$ 為真空中的波長。

（一）影響色澤、色帶寬度與分布範圍的因素

主要因素如下：

1. 薄膜厚度 $d$：肥皂膜受重力排液，上方較薄、下方較厚；厚度隨位置變化會造成不同顏色出現於不同位置。

2. 薄膜折射率 $n$：折射率會影響光在膜內的光程差，且肥皂水濃度改變時，折射率也可能改變。

3. 入射光波長 $\lambda$：白光包含 $400$–$700\,\mathrm{nm}$ 的各種可見光，不同波長符合干涉增強條件的位置不同。

4. 入射角與觀察角度：一般條件下相長干涉式為 $2nd\cos r=(m+\frac12)\lambda$；入射角改變會改變光程差，進而改變色帶位置與顏色。

5. 膜厚的空間變化率：若膜厚隨高度變化很快，色帶較窄；若厚度變化平緩，色帶較寬。薄膜形狀、排液速度、邊界效應與表面張力均會影響厚度分布。

（二）A、B、C、D、E 區域的成因與原理

A 區：透明區

A 區位於薄膜最上方，膜厚非常小。由於上表面反射產生半波損失，而下表面反射沒有半波損失，當 $d$ 接近零時，兩道反射光容易接近相消干涉。

因此反射光強度很弱，薄膜看起來接近透明或黑暗，主要看到後方背景。

其反射光的相消干涉條件為

當膜厚逐漸變薄至接近零時，薄膜容易出現此類暗區。

B 區：白光亮區

B 區的膜厚已增加到某一範圍，使多種可見光波長同時或近似符合相長干涉條件。各種波長的反射光混合後，視覺上呈現白色或接近白色的亮區。

此區不是單一波長增強，而是紅、橙、黃、綠、藍等多種可見光共同增強的結果。由於白光為各種可見光的混合光，所以多種波長同時增強時會呈現白色。

C 區：紅色寬帶

C 區主要呈現紅色，表示紅光在此處較容易符合相長干涉條件：

紅光波長較長，在膜厚逐漸增加的區域中，會先出現符合條件的位置。此區呈現「寬帶」，主要是因為膜厚在一段較大的空間範圍內，仍有相當多紅光能維持較強的干涉增強。

D 區：藍色寬帶

D 區主要呈現藍色，代表藍光在此處符合相長干涉條件：

藍光波長較短，因此在厚度增加的薄膜中，會與紅光出現在不同厚度位置。當膜厚梯度與干涉條件配合時，藍光會形成明顯的藍色區域。