112 年高普考高考三級天文考古題與詳解

Question 1

(一) 求函數 $f(x,y)=x^3-3y^2+6xy-x-9y+10$ 在點 $(1,-1)$ 之最大方向導數（directional derivative）。（10 分）

(二) 求函數 $f(x,y)=x^2+y^2+2x-2y+12$ 在 $x^2+y^2\leq 4$ 之範圍內的最大值及最小值。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念 可微函數在點 $\mathbf{a}$、沿單位方向向量 $\mathbf{u}$ 的方向導數為 $$ D{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=
abla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u}, \qquad \|\mathbf{u}\|=1. $$ 由柯西－施瓦茲不等式，方向導數的最大值為梯度的長度，於梯度方向取得： $$ \max{\|\mathbf{u}\|=1}D{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\|
abla f(\mathbf{a})\|. $$ 解題方法 先求梯度： $$ 
abla f(x,y)=\left(3x^2+6y-1,\,-6y+6x-9ight). $$ 代入 $(1,-1)$： $$ 
abla f(1,-1)=\left(3-6-1,\;6+6-9ight)=(-4,3). $$ 因此最大方向導數為 $$ \|
abla f(1,-1)\|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5. $$ 最大值在單位方向 $\mathbf{u}=\dfrac{
abla f(1,-1)}{\|
abla f(1,-1)\|}=\left(-\dfrac45,\dfrac35ight)$ 上取得。 解題技巧 方向導數要用「單位」方向向量；題目若問最大方向導數，直接求該點梯度的長度即可。梯度方向給最大值，反梯度方向給最小值。 （二）圓盤上的最大值與最小值 核心觀念 函數在閉且有界的區域上連續，必定取得最大值與最小值。極值候選點包括區域內的臨界點，以及邊界上的極值點。 解題方法

Question 2

令 $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 2\ 2 & 1 \end{bmatrix}. $$ (一) 求 $P$ 使得 $P^{-1}AP=D$，其中 $D$ 為一對角矩陣。（15 分） (二) 求初始值問題 $$ \vec{x}'(t)=A\vec{x}(t),\qquad \vec{x}(0)=\begin{pmatrix} 1\ 1\ 1 \end{pmatrix} $$ 之解。（20 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考線性代數中的特徵值與特徵向量，以及利用對角化求線性常係數系統 $$ \vec{x}'(t)=A\vec{x}(t) $$ 的初始值解。 若 $A$ 有兩個線性獨立的特徵向量，將它們按欄排成 $P$，對應特徵值按相同順序排成對角矩陣 $D$，便有 $$ P^{-1}AP=D. $$ 令 $\vec{x}=P\vec{y}$，系統可化為 $\vec{y}'=D\vec{y}$，各分量即可分別求解。 解題方法 （一）求對角化矩陣 $P$ 先求特徵方程： $$ \det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda&2\ 2&1-\lambda \end{vmatrix} =(1-\lambda)^2-4 =(\lambda-3)(\lambda+1)=0. $$ 因此特徵值為 $\lambda1=3$、$\lambda2=-1$。 對 $\lambda1=3$，解 $(A-3I)\vec{v}=0$： $$ \begin{bmatrix} -2&2\ 2&-2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix}v1\v2\end{pmatrix}=0, $$ 得 $v1=v2$，可取特徵向量 $$ \vec{v}1=\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}. $$ 對 $\lambda2=-1$，解 $(A+I)\vec{v}=0$： $$ \begin{bmatrix} 2&2\ 2&2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix}v1\v2\end{pmatrix}=0, $$ 得 $v1=-v2$，可取特徵向量 $$ \vec{v}2=\begin{pmatrix}1\-1\end{pmatrix}. $$ 以特徵向量為欄組成 $P$，並依相同順序排列特徵值： $$ P= \begin{bmatrix} 1&1\ 1&-1 \end{bmatrix}, \qquad D= \begin{bmatrix} 3&0\ 0&-1 \end{bmatrix}. $$ 由於 $\det P=-2
e 0$，$P$ 可逆，且 $AP=PD$，所以 $P^{-1}AP=D$。 （二）求初始值問題之解 題目給定的 $A$ 是 $2	imes2$ 矩陣，因此 $\vec{x}(t)$ 必須是二維向量；但初始條件列出的 $\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}^{T}$ 是三維向量，與方程維度不相容。

Question 3

令 $f(x)=x^2$，$x\in[-\pi,\pi]$。 (一) 求函數 $f$ 之傅立葉級數（Fourier series）。（15 分） (二) 求初始值問題 $$ ut(x,t)=u{xx}(x,t),\qquad x\in(-\pi,\pi),\quad t0, $$ $$ ux(-\pi,t)=ux(\pi,t)=0,\qquad u(x,0)=x^2 $$ 之解。（25 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題分兩部分：先將 $x^2$ 展開成傅立葉級數，再把它用作熱方程的初始條件。由於 $x^2$ 是偶函數，傅立葉級數只含餘弦項；而熱方程在 Neumann 邊界條件 $ux(-\pi,t)=ux(\pi,t)=0$ 下，適用常數項與餘弦特徵函數 $\cos(nx)$。每個第 $n$ 模態隨時間乘上衰減因子 $e^{-n^2t}$。 解題方法 （一）求 $f(x)=x^2$ 的傅立葉級數 在 $[-\pi,\pi]$ 上，傅立葉級數寫成 $$ f(x)\sim \frac{a0}{2}+\sum{n=1}^{\infty} \left(an\cos nx+bn\sin nxight), $$ 其中 $$ a0=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\qquad an=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad bn=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx. $$ 因為 $x^2$ 為偶函數，而 $\sin(nx)$ 為奇函數，故 $bn=0$。常數係數為 $$ a0=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}x^2\,dx =\frac{2}{\pi}\int0^\pi x^2\,dx =\frac{2\pi^2}{3}. $$ 因此常數項 $a0/2=\pi^2/3$。 對 $n\geq 1$， $$ an=\frac{2}{\pi}\int0^\pi x^2\cos(nx)\,dx. $$ 分部積分兩次： $$ \begin{aligned} \int0^\pi x^2\cos(nx)\,dx &=\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}ight]0^\pi -\frac{2}{n}\int0^\pi x\sin(nx)\,dx\ &=-\frac{2}{n}\left( \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}ight]0^\pi +\frac{1}{n}\int0^\pi\cos(nx)\,dxight)\ &=-\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}. \end{aligned} $$ 其中 $\sin(n\pi)=0$，且 $\int0^\pi\cos(nx)\,dx=0$。所以 $$ an=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}ight) =\frac{4(-1)^{n+1}}{n^2}. $$ 故傅立葉級數為

112 高普考高考三級天文應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）考古題詳解

第一題25 分

（二）圓盤上的最大值與最小值

第二題35 分

核心觀念

解題方法

（一）求對角化矩陣 $P$

（二）求初始值問題之解

第三題40 分

其他考古題

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天文《應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）》其他年度

112 年高普考高考三級・其他類科的《應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）》

112 高普考高考三級 天文 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析） 考古題詳解

第 一 題25 分