111 高普考高考三級 天文 太陽系 考古題詳解

核心觀念

本題以行星與矮行星的軌道距離、半徑、密度、大氣及外觀特徵辨認天體，並考查表面溫度、金星溫室效應、地球磁場的成因與作用。計算密度時使用 $\rho=M/V$；球體體積與半徑三次方成正比，因此兩天體密度比可寫成：

解題方法與各小題作答

（一）辨認 A、B

A 是穀神星（Ceres）。其平均距日約 $2.8$ AU，位於小行星帶；半徑約為地球的 $0.07$ 倍，平均密度約 $2.2\ \mathrm{g/cm^3}$，符合穀神星的特徵。

B 是海王星（Neptune）。其平均距日約 $30$ AU，半徑約為地球的 $3.88$ 倍；藍綠色外觀及有大氣的特徵也符合海王星。

（二）曾取回岩石樣本的天體

是月球。阿波羅任務由太空人帶回月岩與月壤；蘇聯月球號無人探測器也曾採集並帶回月球樣本。

（三）填入火星半徑 C 與海王星平均密度 D

火星半徑約為地球的 $0.53$ 倍，所以 $C \approx 0.53$。表中資料不足以單獨計算火星半徑，這個數值採火星已知半徑與地球半徑相比估算。

海王星平均密度約為 $1.6\ \mathrm{g/cm^3}$，所以 $D \approx 1.6$。以海王星質量約為地球的 $17.1$ 倍、半徑為地球的 $3.88$ 倍估算：

（四）外觀顏色差異的原因

天體的顏色主要受表面物質組成、表面風化，以及大氣對不同波長光的吸收與散射影響。例如，火星表面富含氧化鐵，呈紅色；地球因海洋、大氣與雲呈藍白色；海王星大氣中的甲烷吸收部分紅光，使外觀偏藍。月球與穀神星的顏色則主要反映其表面岩石、礦物與塵埃的特性。鬩神星的顏色在題表中標示為未知。

核心觀念

1. 克卜勒第三定律（Kepler's Third Law）：繞同一中心天體（太陽）運行的行星，其軌道週期平方與軌道半長軸立方成正比： $\frac{P^2}{a^3} = \text{常數}$ 以太陽為中心天體，若週期 $P$ 以「年（yr）」為單位、半長軸 $a$ 以「天文單位（au）」為單位，則對太陽系行星均滿足 $P^2 = a^3$。
2. 圓軌道公轉速度公式：天體作圓周運動時，萬有引力提供向心力： $\frac{G M_{\odot} m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \implies v = \sqrt{\frac{G M_{\odot}}{r}} \propto r^{-1/2}$ 軌道速度與軌道半徑的平方根成反比。亦可由周長除以週期表示：$v = \frac{2\pi a}{P}$。

解題方法

1. 估算木星公轉週期 $P_{\text{J}}$： 已知地球軌道半長軸 $a_{\text{E}} = 1\,\mathrm{au}$，公轉週期 $P_{\text{E}} = 1\,\text{yr}$；題目給定木星軌道距離 $a_{\text{J}} \approx 5\,\mathrm{au}$。 代入克卜勒第三定律： $P_{\text{J}}^2 = a_{\text{J}}^3 = 5^3 = 125$ $P_{\text{J}} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx 5 \times 2.236 \approx 11.18\,\text{年}$
2. 估算木星軌道速度 $v_{\text{J}}$： 根據圓軌道速度反比於距離平方根的關係： $\frac{v_{\text{J}}}{v_{\text{E}}} = \sqrt{\frac{a_{\text{E}}}{a_{\text{J}}}}$ 已知地球軌道速度 $v_{\text{E}} \approx 30\,\mathrm{km/s}$，代入數據： $v_{\text{J}} = v_{\text{E}} \times \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{30}{\sqrt{5}} = 6\sqrt{5} \approx 6 \times 2.236 \approx 13.42\,\mathrm{km/s}$

解題技巧

• 比例法代換：切勿將 $G$、$M_{\odot}$ 等萬有引力常數展開為 MKS 制計算，這會大幅消耗作答時間且容易出現計算錯誤。直接以地球物理量為基準（$a_{\text{E}}=1\,\mathrm{au}$、$P_{\text{E}}=1\,\text{yr}$、$v_{\text{E}}=30\,\mathrm{km/s}$）列比例式最為簡練。
• 快速數值逼近：$\sqrt{5} \approx 2.236$。公轉週期取 $5 \times 2.236 \approx 11.2$ 年；速度取 $30 / 2.236 \approx 13.4\,\mathrm{km/s}$。木星真實平均距離為 $5.2\,\mathrm{au}$（真實週期約 11.86 年、速度約 $13.07\,\mathrm{km/s}$），但考題已指定以 $5\,\mathrm{au}$ 估算，必須以題幹設定作答。

【答案】

木星的公轉週期約為 $11.2$ 年（或 $5\sqrt{5}$ 年）；公轉軌道速度約為 $13.4\,\mathrm{km/s}$（或 $6\sqrt{5}\,\mathrm{km/s}$）。

(二) 與月球表面最接近之類地行星及其地貌成因

核心觀念

1. 表面撞擊坑（Impact Craters）留存條件：

• 行星缺乏顯著大氣層（無法燒蝕流星體，無風蝕作用）。
• 缺乏液態水或地表流體侵蝕。
• 內部熱能迅速冷卻散逸，無活躍的板塊運動與火山噴發進行地表更新（Resurfacing）。

2. 類地行星地質演化：行星體積與質量大小決定了內部放射性元素衰變熱的留存時間與熱對流強度。

解題方法

1. 判定對象： 月表密佈隕石撞擊坑、缺乏風化地貌，外觀與類地行星中的**水星（Mercury）**最為接近。
2. 外觀如此之成因分析：

• 極端稀薄的外逸層（缺乏濃密大氣保護）：水星引力小且距太陽近，無法保留濃密大氣層，僅有一層極稀薄的外逸層（Exosphere）。小型流星體進入時不會受到氣體阻力減速與高溫燒蝕，可直接高速撞擊地表。
• 地質構造活動早已停止（地質死寂天體）：水星質量與體積小（體積僅約地球的 $5.6\%$），其地質內部熱能散逸迅速，缺乏地函對流與板塊構造運動。在太陽系早期大撞擊期（如「後期重轟炸期」，Late Heavy Bombardment）之後，未曾發生全球性的板塊隱沒或構造重組。
• 火山活動停滯已久：水星早期的火山玄武岩熔岩平原覆蓋活動在數十億年前便已停止，冷卻收縮後僅留下皺脊（Wrinkle ridges）和葉狀斷崖（Lobate scarps），無法持續抹除新撞擊所形成的坑洞。
• 缺乏流體循環風化侵蝕：水星表面無液態水、無雲雨循環與氣流吹拂，欠缺水蝕與風化地質營力，撞擊遺跡得以在數十億年間完整保存。

解題技巧

• 區分火星與水星：火星表面雖也有大量隕石坑，但火星保有稀薄大氣、有全球性沙塵暴與明顯的風成地貌（沙丘、風蝕槽），且有古代流水峽谷與大規模火山群（奧林帕斯山等），南北半球地貌強烈不對稱；而水星則幾乎是「放大版的月球」，佈滿高地撞擊坑與平原熔岩盆地（如卡洛里盆地 Caloris Basin），兩者地貌地質機制差異分明。

【答案】

外觀與水星最接近。 原因在於水星體積小且冷卻迅速，內部地質活動與火山噴發早已停止；無板塊運動進行地表地殼更新；且缺乏濃密大氣層與液態水循環，無法燒蝕碎屑或進行風蝕、水蝕風化，使遠古大撞擊期至今的撞擊坑得以完整封存。

(三) 系外行星的三種偵測方法及其優缺點與限制

核心觀念

系外行星探測以間接法為主，利用行星對宿主恆星在幾何位置、光度變暗、光譜頻移或重力場透鏡效應上的微小擾動進行偵測。

解題方法

舉出除直接成像外最具代表性的三種方法：凌日法、視向速度法、重力微透鏡法，並對比分析如下：

1. 凌日法（Transit Method / 凌星法）

• 原理：當行星軌道共面經過宿主恆星前方時，會遮蔽恆星部分光芒，造成恆星光變曲線產生週期性的微小下降，光變振幅 $\Delta F / F \approx (R_{\mathrm{p}}/R_*)^2$。
• 優點：

1. 可直接測定行星半徑（$R_{\mathrm{p}}$）；若搭配視向速度法，可進一步求出平均密度以判定行星成分構造。
2. 行星凌日時光線穿透其大氣邊緣，可進行**穿透光譜（Transmission Spectroscopy）**分析大氣成分。
3. 適合多目標大視場巡天（如 Kepler、TESS 太空望遠鏡），發現效率極高。

• 缺點與限制：

1. 強烈仰賴幾何視線方向：行星公轉軌道面必須幾乎嚴格平行觀測視線（高軌道傾角 $i \approx 90^\circ$），幾何排列機率極低（幾何機率約 $R_*/a$）。

2. 難以探測長週期、遠距離的行星（需要長期連續監測多個凌日週期以排除偽訊號）。

3. 容易受到恆星黑子活動、雙星系統伴星等因素干擾而產生假陽性（False Positives）。

4. 視向速度法（Radial Velocity Method / 都卜勒光譜法）

• 原理：行星與宿主恆星繞共同質心公轉，恆星會沿著觀測者視線方向做週期性的晃動，導致恆星吸收光譜產生週期性的都卜勒紅移與藍移。
• 優點：

1. 對軌道幾何條件要求相對寬鬆，只要軌道面不完全垂直於視線（$i \neq 0^\circ$）即可探測。
2. 發展成熟、精度極高（現代高精度光譜儀可達 $\mathrm{cm/s}$ 級別），是驗證凌日行星的主要地面手段。

• 缺點與限制：

1. 存在質量不確定性：僅能測量視向分量，推得行星最小質量 $M_{\mathrm{p}} \sin i$，無法獲取真實質量（除非透過其他觀測求得軌道傾角 $i$）。

2. 無法測量行星半徑，因而無法單獨推算平均密度。

3. 觀測偏差：對靠近母星的大質量行星（如熱木星）特別敏感；對表面活性高、磁場劇烈或快速自轉的恆星（光譜線嚴重擴展變寬），都卜勒信號容易被恆星雜訊掩蓋。

4. 重力微透鏡法（Gravitational Microlensing Method）

• 原理：利用廣義相對論原理，背景恆星光線經過前景恆星（透鏡星）引力場時會產生彎曲放大；若前景恆星周圍有行星，行星自身引力場會在主放大光變曲線上產生額外的尖銳微透鏡次峰。
• 優點：

1. 對低溫遠軌道行星極敏感：對距離宿主恆星較遠（約 $1\sim 5\,\mathrm{au}$，雪線附近）的小質量行星特別敏感，能補足凌日法與視向速度法在長週期區域的不足。
2. 能探測銀河系深處極遙遠的恆星系統，甚至可探測脫離母星束縛的流浪行星（Free-floating planets）。
3. 探測靈敏度不取決於宿主恆星光度，即使是微弱的紅矮星或白矮星系統亦可偵測。

• 缺點與限制：

1. 事件具不可重複性：天體對齊為隨機事件，單一事件僅發生一次，無法進行後續週期性重複觀測驗證。
2. 宿主恆星與行星的距離、質量往往呈現參數簡併（Degeneracy），必須搭配複雜的建模或長期的透鏡恆星分離觀測才能解耦。
3. 無法獲取行星的大氣光譜等進一步物理性質。

解題技巧

• 整理時宜聚焦於**「觀測物理量、敏感適用範圍、固有幾何或天體物理限制」**三維度，層次分明。
• 考場若欲選擇其他方法，亦可列出「天體測量法（Astrometry）」或「凌星時間變分法（TTV）」，但上述三種方法是歷史發現數量最多、限制對比最顯著之標準解答組合。

【答案】

三種方法為：

1. 凌日法：測半徑與大氣，利大規模巡天；缺點為幾何機率低、長週期檢驗困難。
2. 視向速度法：測最小質量 $M\sin i$、對傾角要求較寬；缺點為存在 $\sin i$ 不確定性、偏好近軌道大質量行星且無法測半徑。
3. 重力微透鏡法：對遠軌道（雪線）及流浪行星極度敏感；缺點為對齊事件不可逆不可重複、後續物理研究困難。

(四) 韋伯太空望遠鏡（JWST）之特性及其特殊貢獻

核心觀念

望遠鏡的觀測效能取決於集光口徑（集光力與角解析度）、探測波段、儀器構型以及所處環境之熱雜訊水平。