115 高普考高考三級 土木工程 土壤力學與測量學 考古題詳解

核心觀念

本題依序考查砂土單位重與孔隙比、土層垂直有效應力、正常壓密黏土不排水強度比，以及以三軸有效應力破壞包絡線求預壓密應力與過壓密比。

採用有效應力原理：

$\sigma'_v=\sigma_v-u$

其中 $\sigma_v$ 為總垂直應力，$u$ 為孔隙水壓。計算取水的單位重 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$。

（一）B 土層飽和單位重與 C 土層中點有效應力

1. 求 A、B 層共同孔隙比

含水量、比重、飽和度與孔隙比的關係為：

$\omega=\frac{Se}{G_s}$

因此：

$$e=\frac{\omega G_s}{S} =\frac{0.10(2.65)}{0.40} =0.6625$$

B 層與 A 層土壤組成及孔隙比相同，故 B 層亦取 $e=0.6625$。

2. 求 B 層飽和單位重

$$\gamma_{\mathrm{sat}} =\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w =\frac{2.65+0.6625}{1+0.6625}(9.81) =19.54\ \mathrm{kN/m^3}$$

3. 求深度 10 m 處垂直有效應力

C 層中點上方包含 A 層 2 m、B 層 4 m，以及 C 層上半部 4 m。總應力為：

$$\sigma_v=2(17.2)+4(19.54)+4(19.0) =188.96\ \mathrm{kPa}$$

地下水位在深度 2 m，10 m 處水頭為 $8\ \mathrm{m}$，故：

$u=8(9.81)=78.48\ \mathrm{kPa}$

$$\sigma'_v=\sigma_v-u =188.96-78.48 =110.48\ \mathrm{kPa}$$

（二）正常壓密狀態不排水剪力強度

Skempton（1957）公式為：

$\frac{s_u}{\sigma'_v}=0.11+0.0037(\mathrm{PI})$

代入 $\mathrm{PI}=20$：

$\frac{s_u}{\sigma'_v}=0.11+0.0037(20)=0.184$

因此：

$s_u=0.184(110.48)=20.33\ \mathrm{kPa}$

（三）預壓密應力、OCR 與過壓密不排水強度

1. 由兩條破壞包絡線交點求預壓密應力

正常壓密與過壓密的有效應力破壞包絡線分別為：

核心觀念

黏土層受載後的總沉陷，可分為即時沉陷、主壓密沉陷及二次壓縮沉陷。三者的機制與所需參數不同：

• 即時沉陷（immediate settlement）：荷重施加後立即發生，主要來自土骨架的彈性變形；飽和黏土在短時間近似不排水，體積變化通常很小。常用彈性分析估算，主要參數為土體彈性模數 $E_s$、泊松比 $\nu$，以及基礎形狀、尺寸與荷重條件。
• 主壓密沉陷（primary consolidation settlement）：荷重增加孔隙水壓，孔隙水逐漸排出、有效應力增加，土骨架體積縮小。估算所需參數包括土層厚度 $H$、初始孔隙比 $e_0$、壓縮性指數 $C_c$、回脹性指數 $C_r$、先期壓密壓力（或 OCR）、初始有效應力及應力增量。
• 二次壓縮沉陷（secondary compression settlement）：主壓密完成、超額孔隙水壓消散後，土骨架在近似定有效應力下持續蠕變。主要參數為二次壓縮指數 $C_\alpha$、時間起點 $t_1$、計算時間 $t_2$ 及土層厚度。

（二）黏土層主壓密沉陷

解題方法

先由 OCR 求先期壓密壓力，再判斷新增應力後是否跨越先期壓密壓力。本題跨越先期壓密壓力，因此先用回脹性指數計算再壓密段，再用壓縮性指數計算初次壓密段。

先期壓密壓力為

$$\sigma'_p=\mathrm{OCR}\,\sigma'_0 =1.5(100)=150\ \mathrm{kPa}$$

加載後垂直有效應力為

$$\sigma'_f=\sigma'_0+\Delta\sigma_v =100+150=250\ \mathrm{kPa}$$

因為 $100<150<250\ \mathrm{kPa}$，壓密過程分成兩段：$100$ 至 $150\ \mathrm{kPa}$ 為再壓密段，$150$ 至 $250\ \mathrm{kPa}$ 為初次壓密段。

$$S_c=\frac{H}{1+e_0} \left[ C_r\log_{10}\left(\frac{\sigma'_p}{\sigma'_0}\right) +C_c\log_{10}\left(\frac{\sigma'_f}{\sigma'_p}\right) \right]$$

代入數值：

核心觀念

本題考水準測量閉合導線的閉合差分配。表中每列為「前視點－後視點」的高程差，依表列觀測值視為：

$$\Delta h = H_{\text{前視點}}-H_{\text{後視點}}$$

各測線依序組成閉合路線 $C\to D\to E\to F\to E\to G\to B\to A\to C$。沿閉合路線的高程差代數和理應為零；若觀測值總和不為零，差值即為閉合差。將閉合差反號後，依各測線長度或觀測精度分配改正數。

解題方法

題目未提供測線長度、測站數或各測線精度，因此採用等權假設：各測線觀測精度相同，閉合差平均分配。這是計算改正數所需的假設條件。

先將各測線觀測值相加：

$$\sum \Delta h =0.651-0.321+0.322+0.433-0.568+0.032-0.233 =0.316\ \mathrm{m}$$

閉合差為 $+0.316\ \mathrm{m}$，七條測線等權，故每線改正數為：

$$v=-\frac{0.316}{7}=-0.0451429\ \mathrm{m}$$

改正後高程差為 $\Delta h'= \Delta h+v$：

前視點	後視點	觀測高程差 $\Delta h$（m）	改正數 $v$（m）	改正後高程差 $\Delta h'$（m）
D	C	$0.651$	$-0.045143$	$0.605857$
E	D	$-0.321$	$-0.045143$	$-0.366143$
F	E	$0.322$	$-0.045143$	$0.276857$
G	E	$0.433$	$-0.045143$	$0.387857$
B	G	$-0.568$	$-0.045143$	$-0.613143$
A	B	$0.032$	$-0.045143$	$-0.013143$
C	A	$-0.233$	$-0.045143$	$-0.278143$

改正後各測線高程差代數和為零（表中數值因四捨五入可能略有差異）。

以已知 $H_G=2.030\ \mathrm{m}$ 為起算高程，沿表列測線逐點推算：

核心觀念

本題考的是高程基準與高程種類，以及 GNSS 量得的高程能否與政府公告的水準點高程直接比較。

臺灣公告的水準點高程採用正高系統，基準為 2001 臺灣高程基準（TWVD2001）。其基準面依基隆驗潮站 1957 年至 1991 年潮汐資料化算，並定義在 1990 年 1 月 1 日標準大氣環境下。

因此，題示的 $100.012$ 公尺，是該點在臺灣高程基準下的正高，不是 GNSS 直接觀測所得的橢球高。

解題方法

正高 $H$ 是地面點沿鉛垂線到大地水準面的距離。從重力位能觀點表示為

$$H=\frac{C}{\bar{g}}$$

其中，$C$ 為地面點與大地水準面間的位能差，$\bar{g}$ 為該段鉛垂線上的平均重力值。

GNSS 定位直接得到的是相對於參考橢球面的橢球高 $h$。要將 GNSS 高程與公告正高比較，必須使用該點的大地起伏值 $N$，依下式換算：

$$H=h-N$$