115 高普考高考三級 土木工程 材料力學與結構學 考古題詳解

115 年・高普考・高考三級・土木工程
試題代碼 材料力學與結構學

第 一 題25 分

一、一直桿 ABCABC 且由二種不同圓形實心斷面之桿件組成（ABAB 斷面積為 600 mm2600\ \mathrm{mm^2}、BCBC 斷面積為 300 mm2300\ \mathrm{mm^2}，彈性模數為 210 GPa210\ \mathrm{GPa}），一集中力量作用於 BB 點之圓心上，如圖一所示，AA 及 CC 點均為固定端。試回答下列問題：

（一）ABAB 桿件中之最大正應力為何？（請標示其拉壓狀態）（10 分）

（二）BB 點之水平位移量為何？（請標示方向）（15 分）

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核心觀念

本題考查兩端固定之階梯桿受集中力時：

  • 軸力平衡
  • 各桿件之軸向勁度
  • 節點位移相容
  • 正應力公式

各桿件可視為連接於 BB 點的軸向彈簧，其勁度為

k=AELk=\frac{AE}{L}

正應力為

σ=NA\sigma=\frac{N}{A}

取 BB 點向右為正方向。圖中集中力為

P=10 kNP=10\ \text{kN}

已知

LAB=LBC=2 m=2000 mmL_{AB}=L_{BC}=2\ \text{m}=2000\ \text{mm} AAB=600 mm2,ABC=300 mm2A_{AB}=600\ \text{mm}^2,\qquad A_{BC}=300\ \text{mm}^2 E=210 GPa=210000 N/mm2E=210\ \text{GPa}=210000\ \text{N/mm}^2

解題方法

設 BB 點水平位移為 uu。

由於 AA、CC 兩端固定：

  • BB 點向右位移時，ABAB 桿被拉長，產生拉力；
  • BB 點向右位移時，BCBC 桿被壓縮，產生壓力。

1. 求兩桿件之軸向勁度

kAB=AABELAB=600(210000)2000=63000 N/mmk_{AB}=\frac{A_{AB}E}{L_{AB}} =\frac{600(210000)}{2000} =63000\ \text{N/mm} kBC=ABCELBC=300(210000)2000=31500 N/mmk_{BC}=\frac{A_{BC}E}{L_{BC}} =\frac{300(210000)}{2000} =31500\ \text{N/mm}

2. 由 BB 點平衡求位移

兩桿件對 BB 點所提供的抵抗力總和為

(kAB+kBC)u(k_{AB}+k_{BC})u

因此

P=(kAB+kBC)uP=(k_{AB}+k_{BC})u u=PkAB+kBC=1000063000+31500u=\frac{P}{k_{AB}+k_{BC}} =\frac{10000}{63000+31500}
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第 二 題25 分

二、如圖二所示之簡支梁，梁長為 5 m5\ \mathrm{m}，AA 為鉸支承，而 BB 點下方為一根二力桿件 BCBC，且其軸向勁度 kk 為 2000 kN/m2000\ \mathrm{kN/m}。梁斷面為口字型（如圖二所示之斷面尺寸，各邊厚度均為 5 cm5\ \mathrm{cm}），梁上承受均布載重 10 kN/m10\ \mathrm{kN/m}。試回答下列問題：

（一）梁中之斷面最大彎矩為何？（請標示彎矩之方向）（10 分）

（二）梁中之斷面最大正應力為何？（15 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 彈性支承梁的支承反力判定。
  2. 簡支梁受均布載重時的剪力與彎矩。
  3. 梁截面最大彎矩與最大正應力關係：
σmax⁡=Mmax⁡cI\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}

雖然 BCBC 為軸向勁度 k=2000 kN/mk=2000\ \mathrm{kN/m} 的二力桿件，但梁的支承反力可直接由靜力平衡求得，因此本題求彎矩與正應力時不需使用 kk 值。

解題方法

一、求支承反力

均布載重為

w=10 kN/mw=10\ \mathrm{kN/m}

梁長

L=5 mL=5\ \mathrm{m}

總載重為

W=wL=10(5)=50 kNW=wL=10(5)=50\ \mathrm{kN}

均布載重作用於梁中央，距離 A 點 2.5 m2.5\ \mathrm{m}。

設 A 點之鉛直反力為 AyA_y，B 點二力桿件所提供之鉛直反力為 ByB_y。

取 A 點力矩：

∑MA=0\sum M_A=0 By(5)−50(2.5)=0B_y(5)-50(2.5)=0

因此

By=25 kNB_y=25\ \mathrm{kN}

由鉛直力平衡：

Ay+By−50=0A_y+B_y-50=0 Ay=25 kNA_y=25\ \mathrm{kN}

由於外力皆為鉛直力，水平反力為零。

（一）梁中最大彎矩

彎矩方程式

距離 A 點 xx 處之彎矩為

M(x)=Ayx−wx22M(x)=A_yx-\frac{wx^2}{2}

代入 Ay=25 kNA_y=25\ \mathrm{kN}、w=10 kN/mw=10\ \mathrm{kN/m}：

M(x)=25x−5x2M(x)=25x-5x^2

最大彎矩發生於剪力為零處。

剪力為

V(x)=Ay−wx=25−10xV(x)=A_y-wx=25-10x

令 V(x)=0V(x)=0：

25−10x=025-10x=0 x=2.5 mx=2.5\ \mathrm{m}

故最大彎矩為

Mmax⁡=25(2.5)−10(2.5)22M_{\max}=25(2.5)-\frac{10(2.5)^2}{2} Mmax⁡=62.5−31.25=31.25 kN⋅mM_{\max}=62.5-31.25 =31.25\ \mathrm{kN\cdot m}

其方向為正彎矩，即「下凹」或「正彎矩（sagging）」：

  • 梁上緣受壓；
  • 梁下緣受拉；
  • 左截面彎矩方向為順時針，右截面彎矩方向為逆時針。

（二）梁中最大正應力

1. 截面慣性矩

由圖，口字型截面之外尺寸為

b=h=50 cm=0.50 mb=h=50\ \mathrm{cm}=0.50\ \mathrm{m}

各邊厚度為

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第 三 題25 分

三、如圖三所示之桁架結構，在 bb 點承受一向下外力 2 kN2\ \mathrm{kN}。試回答下列問題：

（一）各桿件內力分別為多少？（請標示拉力或壓力）（10 分）

（二）cc 點之水平位移量為何？（各桿件之軸向剛度 EAEA 均為 200 kN200\ \mathrm{kN}）（請標示方向）（15 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 平面桁架支承反力與各桿件軸力。
  2. 節點法求桿件內力。
  3. 單位荷重法求桁架節點位移。

桿件受力符號採用：

  • ++：拉力
  • −-：壓力

由圖可取座標：

a(0,0),b(2,0),c(4,0),d(6,0)a(0,0),\quad b(2,0),\quad c(4,0),\quad d(6,0) e(2,2),f(4,4),g(6,4)e(2,2),\quad f(4,4),\quad g(6,4)

斜桿 ae,ef,ecae,ef,ec 長度為 22 m2\sqrt{2}\ \mathrm{m}，斜桿 fdfd 長度為 25 m2\sqrt{5}\ \mathrm{m}。

（一）各桿件內力

1. 支承反力

設 aa 點為鉸支承，cc 點為滾支承，故反力為 Ax,Ay,CyA_x,A_y,C_y。

整體平衡：

∑Fx=0:Ax=0\sum F_x=0:\qquad A_x=0

以 aa 點取力矩：

∑Ma=0:4Cy−2(2)=0\sum M_a=0:\qquad 4C_y-2(2)=0

因此

Cy=1 kNC_y=1\ \mathrm{kN}

再由鉛直力平衡：

Ay+Cy−2=0A_y+C_y-2=0 Ay=1 kNA_y=1\ \mathrm{kN}

2. aa、bb 節點

在 aa 點：

∑Fy=0:1+Fae2=0\sum F_y=0:\qquad 1+\frac{F_{ae}}{\sqrt{2}}=0 Fae=−2 kNF_{ae}=-\sqrt{2}\ \mathrm{kN}

故 aeae 桿為壓力。

由水平方向：

∑Fx=0:Fab+Fae2=0\sum F_x=0:\qquad F_{ab}+\frac{F_{ae}}{\sqrt{2}}=0 Fab=1 kNF_{ab}=1\ \mathrm{kN}

故 abab 桿為拉力。

在 bb 點：

∑Fx=0:Fbc−Fab=0\sum F_x=0:\qquad F_{bc}-F_{ab}=0 Fbc=1 kNF_{bc}=1\ \mathrm{kN} ∑Fy=0:Fbe−2=0\sum F_y=0:\qquad F_{be}-2=0 Fbe=2 kNF_{be}=2\ \mathrm{kN}

故 bcbc、bebe 桿均為拉力。

3. ee 節點

ee 點連接 ae,be,ef,ecae,be,ef,ec 四根桿件。

水平方向：

−Fae2+Fef2+Fec2=0-\frac{F_{ae}}{\sqrt{2}} +\frac{F_{ef}}{\sqrt{2}} +\frac{F_{ec}}{\sqrt{2}}=0

代入 Fae=−2F_{ae}=-\sqrt{2}：

Fef+Fec=−2F_{ef}+F_{ec}=-\sqrt{2}

鉛直方向：

−Fae2−Fbe+Fef2−Fec2=0-\frac{F_{ae}}{\sqrt{2}} -F_{be} +\frac{F_{ef}}{\sqrt{2}} -\frac{F_{ec}}{\sqrt{2}}=0

代入 Fae=−2F_{ae}=-\sqrt{2}、Fbe=2F_{be}=2：

Fef−Fec=2F_{ef}-F_{ec}=\sqrt{2}

聯立得：

Fef=0F_{ef}=0 Fec=−2 kNF_{ec}=-\sqrt{2}\ \mathrm{kN}

因此 efef 為零力桿，ecec 為壓力桿。

4. cc、ff、gg、dd 節點

在 cc 點：

∑Fx=0:−Fbc+Fcd−Fec2=0\sum F_x=0:\qquad -F_{bc}+F_{cd}-\frac{F_{ec}}{\sqrt{2}}=0
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第 四 題25 分

四、如圖四所示之剛構架，由四根構件所組成（AOAO 及 DODO 之長度為 4 m4\ \mathrm{m}，BOBO 及 COCO 之長度為 2 m2\ \mathrm{m}，各構件之斷面慣性矩均為 EIEI），AA、BB、DD 均為固定端，而 CC 為鉸支承，OO 點處承受一彎矩 100 kN⋅m100\ \mathrm{kN\cdot m}。不考慮軸向變形之條件下，試回答下列問題：

（一）AA、BB 及 DD 支承處之彎矩為何？（須標明大小與方向）（10 分）

（二）OO 點之轉角量為何？（須標明大小與方向，用 EIEI 表示即可）（15 分）

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核心觀念

本題考查剛構架在「不考慮軸向變形」下的節點轉角分析，可將 OO 點視為僅有轉角、沒有平移的單一自由度系統。

各構件對 OO 點提供的轉動勁度為：

  • 遠端固定：k=4EILk=\dfrac{4EI}{L}
  • 遠端鉸接：k=3EILk=\dfrac{3EI}{L}

圖示 OO 點外加彎矩為順時針 100 kN⋅m100\ \mathrm{kN\cdot m}。

解題方法

取逆時針為正，令 OO 點轉角為 θO\theta_O。

由於不考慮軸向變形，且各支承限制構架平移，因此 OO 點僅發生轉動。

1. 各構件對 OO 點之轉動勁度

對 AOAO、BOBO、DODO 而言，遠端均為固定端：

kAO=4EI4=EIk_{AO}=\frac{4EI}{4}=EI kBO=4EI2=2EIk_{BO}=\frac{4EI}{2}=2EI kDO=4EI4=EIk_{DO}=\frac{4EI}{4}=EI

OCOC 構件遠端 CC 為鉸支承，因此：

kOC=3EI2=32EIk_{OC}=\frac{3EI}{2}=\frac{3}{2}EI

所以 OO 點總轉動勁度為：

KO=EI+2EI+EI+32EI=112EIK_O=EI+2EI+EI+\frac{3}{2}EI =\frac{11}{2}EI

2. 求 OO 點轉角

外加彎矩為順時針 100 kN⋅m100\ \mathrm{kN\cdot m}，因此：

θO=−100KO=−100(11/2)EI=−20011EI\theta_O = -\frac{100}{K_O} = -\frac{100}{(11/2)EI} = -\frac{200}{11EI}

負號表示轉角為順時針。

因此：

θO=20011EI rad，順時針\boxed{\theta_O=\frac{200}{11EI}\ \text{rad，順時針}}

3. 求固定端支承彎矩

對於遠端固定、近端 OO 點轉動之構件，固定端彎矩大小為：

Mfixed=2EIL∣θO∣M_{\text{fixed}}=\frac{2EI}{L}\left|\theta_O\right|

AA 支承處

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