115 高普考高考三級 電子工程 電磁學 考古題詳解

115 年・高普考・高考三級・電子工程
試題代碼 電磁學

第 一 題

一、 一平行板電容器，上板面及下板面平行於 YZYZ 平面，其中上板 x=Lx=L 的電位為 3 伏特，下板為 x=0x=0 接地。設兩板之間隔為 LL，假設 LL 夠小，電位函數僅隨 xx 座標而變，且平板面積夠大，使得邊緣效應可以忽略。

(一) 由拉普拉斯方程式（Laplace’s equation），求其間之電位函數。（15 分）

(二) 求電場強度。（10 分）

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核心觀念

本題考查一維靜電位勢的拉普拉斯方程式，以及電位與電場的關係。兩板間無自由電荷，且題目假設電位只隨 xx 變化，因此三維拉普拉斯方程式可簡化為

∇2V=0⟹d2Vdx2=0.\nabla^2 V=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2V}{dx^2}=0.

電場由電位的負梯度求得：

E=−∇V.\mathbf{E}=-\nabla V.

解題方法

（一）求電位函數

對方程式 d2Vdx2=0\frac{d^2V}{dx^2}=0 積分兩次：

dVdx=C1,V(x)=C1x+C2.\frac{dV}{dx}=C_1, \qquad V(x)=C_1x+C_2.

將邊界條件代入：

V(0)=0⇒C2=0,V(0)=0 \Rightarrow C_2=0, V(L)=3⇒C1L=3⇒C1=3L.V(L)=3 \Rightarrow C_1L=3 \Rightarrow C_1=\frac{3}{L}.

因此，兩板間的電位函數為

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第 二 題

二、 設一螺線環之內半徑和外半徑於 XYXY 平面分別為 cc 及 dd，截面為長方形，其高度為 LL。若纏繞之導線匝數為 NN，所通之電流為 II。

(一) 求管子內半徑為 rr 時的磁場。（10 分）

(二) 求管子內的磁通量。（15 分）

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核心觀念

本題考查螺線環的磁場與磁通量。利用安培環路定律求磁場，再以磁通量定義 Φ=∫SB⋅dS\Phi=\int_S \mathbf B\cdot d\mathbf S，對螺線環的長方形截面積分。假設為理想密繞螺線環，磁場集中在繞組所圍的環形區域 c<r<dc<r<d，且磁芯為真空或空氣，故磁導率為 μ0\mu_0。

（一）管子內半徑為 rr 時的磁場

取與螺線環同心、半徑為 rr 的圓形安培環路。由對稱性，磁場沿環向，且在環路上大小均勻。安培環路定律為

∮CH⋅dl=Ienc.\oint_C \mathbf H\cdot d\mathbf l=I_{\text{enc}}.

當 c<r<dc<r<d 時，環路包圍 NN 匝導線，每匝電流為 II，因此

Hϕ(2πr)=NI,H(r)=NI2πr ϕ^.H_\phi(2\pi r)=NI, \qquad \mathbf H(r)=\frac{NI}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol\phi}.

由 B=μ0H\mathbf B=\mu_0\mathbf H，得

B(r)=μ0NI2πr ϕ^,c<r<d.\boxed{\mathbf B(r)=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol\phi}, \quad c<r<d.}

理想螺線環在繞組外部的磁場近似為零，故完整分段表示為

B(r)={0,r<c,μ0NI2πr ϕ^,c<r<d,0,r>d.\mathbf B(r)= \begin{cases} \mathbf 0, & r<c,\\[4pt] \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol\phi}, & c<r<d,\\[8pt] \mathbf 0, & r>d. \end{cases}

方向依右手定則決定；若電流方向反轉，磁場方向亦反轉。

（二）管子內的磁通量

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第 三 題

三、 一條無損傳輸線的單位長度電感 L=2.5×10−7 H/mL=2.5\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}，單位長度電容 C=10−10 F/mC=10^{-10}\ \mathrm{F/m}，設終端負載阻抗等於 ZL=(100+j50) ΩZ_L=(100+j50)\ \Omega。

(一) 求電壓反射係數。（15 分）

(二) 求電壓駐波比。（10 分）

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核心觀念

本題考無損傳輸線的特性阻抗、負載端電壓反射係數與電壓駐波比。無損線的特性阻抗為

Z0=LCZ_0=\sqrt{\frac{L}{C}}

負載端電壓反射係數為

ΓL=ZL−Z0ZL+Z0\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}

電壓駐波比則由反射係數的大小決定：

VSWR=1+∣ΓL∣1−∣ΓL∣\mathrm{VSWR}=\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}

解題方法

先由單位長度電感與電容求特性阻抗：

Z0=2.5×10−710−10=2.5×103=50 ΩZ_0=\sqrt{\frac{2.5\times10^{-7}}{10^{-10}}} =\sqrt{2.5\times10^3} =50\ \Omega

將 ZL=100+j50 ΩZ_L=100+j50\ \Omega 代入負載端反射係數公式：

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第 四 題

四、在笛卡兒座標系中，假設電磁場在真空的電場強度為

E(x,t)=y^Acos⁡(2πft−kx)\mathbf{E}(x,t)=\hat{\mathbf{y}}A\cos(2\pi ft-kx)

其中峰值 AA、頻率 ff、角波數 kk 均為定值。

(一) 證明此電場為波方程式之解。（15 分）

(二) 求該電磁場的平均坡印亭向量（Poynting vector）。（10 分）

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核心觀念

本題考查真空中的電磁波方程式，以及平面波的平均坡印亭向量。真空中電場滿足波方程式

∇2E=μ0ϵ0∂2E∂t2=1c2∂2E∂t2,\nabla^2\mathbf E=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2} =\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},

其中 c=1/μ0ϵ0c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}。坡印亭向量定義為 S=E×H\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H；對正弦平面波，其週期平均值可由電場與磁場的峰值求得。

（一）證明為波方程式之解

令 ϕ=2πft−kx\phi=2\pi ft-kx，則

E=y^Acos⁡ϕ.\mathbf E=\hat{\mathbf y}A\cos\phi.

電場只沿 yy 方向，且僅隨 x,tx,t 變化，因此

∇2E=∂2E∂x2=−y^Ak2cos⁡ϕ,\nabla^2\mathbf E =\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial x^2} =-\hat{\mathbf y}Ak^2\cos\phi, ∂2E∂t2=−y^A(2πf)2cos⁡ϕ.\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2} =-\hat{\mathbf y}A(2\pi f)^2\cos\phi.

代入波方程式，左右兩側相等的條件為

k2=μ0ϵ0(2πf)2,k^2=\mu_0\epsilon_0(2\pi f)^2,

亦即

k=2πfc=2πf1/μ0ϵ0.k=\frac{2\pi f}{c}=\frac{2\pi f}{1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}.

因此，題給電場在角波數與頻率滿足此真空色散關係時，確為波方程式之解；波沿 +x+x 方向傳播，電場沿 yy 方向。

（二）平均坡印亭向量

真空平面波的電場與磁場滿足

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