113 高普考高考三級 電子工程 電磁學 考古題詳解

核心觀念

無窮長、均勻線電荷具有圓柱對稱性，電場只與離電荷線的垂直距離 $r$ 有關，方向為徑向。線電荷密度為 $\rho$（單位為 $\mathrm{C/m}$）時，在距離 $r$ 處的電場大小為

$$E(r)=\frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r},$$

其中 $\varepsilon_0$ 為自由空間介電常數。本題觀察點 $P=(1,0,0)\ \mathrm{m}$，到 $z$ 軸的垂直距離為 $1\ \mathrm{m}$，電場方向沿 $+\hat{\mathbf{x}}$（當 $\rho>0$）。

解題方法

（一）用庫侖定律

將 $z$ 軸上的線電荷分解成微小電荷元。位於 $(0,0,z)$ 的電荷元為

$$dq=\rho\,dz.$$

該電荷元至 $P$ 的位移向量及距離為

$$\mathbf{R}=\hat{\mathbf{x}}-z\hat{\mathbf{z}}, \qquad R=\sqrt{1+z^2}.$$

依庫侖定律，微小電場為

$$d\mathbf{E} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{R^3}\mathbf{R} =\frac{\rho}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{x}}-z\hat{\mathbf{z}}}{(1+z^2)^{3/2}}\,dz.$$

對整條 $z$ 軸積分：

$$\mathbf{E}(P) =\frac{\rho}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\hat{\mathbf{x}}-z\hat{\mathbf{z}}}{(1+z^2)^{3/2}}\,dz.$$

$z$ 分量的被積函數為奇函數，積分結果為零；$x$ 分量則為

核心觀念

無限電流薄片位於 $x$-$z$ 平面，因此薄片法向量為 $\hat{\mathbf y}$，其兩側磁場大小相等、方向相反。對面電流密度為 $\mathbf J_s$ 的薄片，磁場邊界條件為

$$\hat{\mathbf y}\times(\mathbf H_{y>0}-\mathbf H_{y<0})=\mathbf J_s .$$

由對稱性，兩側磁場大小各為 $J_s/2$。本題電流沿 $+\hat{\mathbf x}$，因此薄片上方磁場沿 $-\hat{\mathbf z}$，下方磁場沿 $+\hat{\mathbf z}$。

解題方法

（一）判斷 $P_1$、$P_2$ 的磁場方向

$P_1=(0,2,0)$ 的 $y>0$，位於薄片上方，所以

$$\mathbf H(P_1)=-\frac{J_s}{2}\hat{\mathbf z},$$

方向為 $-\hat{\mathbf z}$。

$P_2=(1,-3,0)$ 的 $y<0$，位於薄片下方，所以

$$\mathbf H(P_2)=+\frac{J_s}{2}\hat{\mathbf z},$$

方向為 $+\hat{\mathbf z}$。

也可用右手定則判斷：拇指沿電流 $+\hat{\mathbf x}$，手指環繞電流方向；在薄片上方磁場指向 $-\hat{\mathbf z}$，下方則指向 $+\hat{\mathbf z}$。

（二）求電流密度

核心觀念

本題考查均勻無損耗介質中的平面電磁波，以及時域電場與相量表示的轉換。採用相量慣例 $\mathbf{E}(z,t)=\operatorname{Re}\{\tilde{\mathbf{E}}(z)e^{j\omega t}\}$，則 $\cos(\omega t-kz+\phi)$ 對應的相量為振幅乘上相位因子 $e^{j(\phi-kz)}$。

無損耗介質中的波數與本質阻抗分別為

$$k=\omega\sqrt{\mu\epsilon},\qquad \eta=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}},$$

其中 $\epsilon=\epsilon_r\epsilon_0$。波的相位為 $\omega t-kz$，故傳播方向為 $+z$。

解題方法

已知

$$\omega=2\pi\cdot10^{10}\ \mathrm{rad/s},\qquad \epsilon=9\epsilon_0,\qquad \mu=\mu_0.$$

（一）波數 $k$

$$\begin{aligned} k &=\omega\sqrt{\mu_0(9\epsilon_0)}\\ &=3\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}. \end{aligned}$$

由題給常數，

$$\mu_0\epsilon_0 =(4\pi\cdot10^{-7}) \left(\frac{1}{36\pi}\cdot10^{-9}\right) =\frac{1}{9}\cdot10^{-16},$$

因此

$$\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=\frac{1}{3}\cdot10^{-8}.$$

代入可得

$$k=3(2\pi\cdot10^{10})\left(\frac{1}{3}\cdot10^{-8}\right) =200\pi\ \mathrm{rad/m}.$$

（二）電場相量 $\tilde{\mathbf{E}}$

按照指定的 $e^{j\omega t}$ 慣例，

$$\mathbf{E}(z,t) =\operatorname{Re}\left\{ \hat{\mathbf{x}}40e^{j(\pi/4-kz)}e^{j\omega t} \right\}\ \mathrm{V/m}.$$

所以電場相量為

$$\tilde{\mathbf{E}}(z) =\hat{\mathbf{x}}40e^{j(\pi/4-kz)} =\hat{\mathbf{x}}40e^{j(\pi/4-200\pi z)} \ \mathrm{V/m}.$$

（三）磁場相量 $\tilde{\mathbf{H}}$

由時諧馬克斯威爾方程式的安培定律，

$$\nabla\times\tilde{\mathbf{H}}=j\omega\epsilon\tilde{\mathbf{E}}.$$

設磁場只有 $y$ 分量，且同樣沿 $+z$ 方向傳播：

$$\tilde{\mathbf{H}}(z)=\hat{\mathbf{y}}H_y(z).$$

因場量只隨 $z$ 變化，

核心觀念

金屬矩形波導中的橫電波（TE 模態）具有 $E_z=0$、$H_z\ne 0$。其縱向磁場可寫成

$$H_z=H_0\cos\left(\frac{m\pi x}{a}\right) \cos\left(\frac{n\pi y}{b}\right)\cos(\omega t-\beta z+\phi),$$

其中 $m,n$ 是模態的兩個整數標號，$\beta$ 是沿 $z$ 方向的相位常數。橫向截止波數與波數滿足

$$k_c^2=\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+ \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2,\qquad k^2=k_c^2+\beta^2.$$

介質中的波數則為 $k=\omega\sqrt{\mu\epsilon}$。

解題方法

題目給定

$$H_z=\frac{1}{3}\cos(100\pi x) \cos(3\pi\cdot10^{10}t-221\pi z)\ \mathrm{A/m}.$$

先比較 $x$ 方向的空間變化與矩形波導的模態函數：

$$\frac{m\pi}{a}=100\pi,\qquad a=0.03\ \mathrm{m},$$

因此

$$m=100a=100(0.03)=3.$$

題目中的 $H_z$ 沒有 $y$ 方向的變化，可視為 $\cos(0\cdot\pi y/b)$，所以 $n=0$。因此模態為 $\mathrm{TE}_{30}$。

接著由相位項讀出