113 高普考高考三級 電子工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查直流穩態、電容電壓連續性、電感電流連續性，以及電感儲能轉換為電阻熱能：

• 穩態直流下，電容視為開路，電感視為短路。
• 電容電壓不能瞬間改變： $v_C(100^+)=v_C(100^-).$
• 電感電流不能瞬間改變： $i_L(100^+)=i_L(100^-).$
• 電容電荷： $q=Cv_C.$
• 電感儲存能量： $W_L=\frac{1}{2}Li_L^2.$

圖中電容左端為正、右端為負，電感電流方向向下，電感電壓上正下負。

解題方法

開關打開前的穩態

開關閉合很長時間後，為直流穩態：

• 電容為開路，不流過穩態電流。
• 電感為短路，使右側節點接近下方參考節點。
• $5\ \Omega$ 電阻與理想短路並聯，因此電阻兩端電壓為零，沒有電流。

流經 $4\ \Omega$ 電阻的電流為

此電流全部流入電感，因此

由於 $4\ \Omega$ 電阻無電流，沒有電壓降，所以電容電壓為

因此開關打開前，電容電荷為

開關打開後的瞬間

電容電壓連續，因此

所以

電感電流連續，因此

開關打開後，右側只剩電感與 $5\ \Omega$ 電阻並聯，形成無外加源的放電迴路。

核心觀念

本題考查：

1. 戴維寧等效電路： $V_{\text{th}}=V_{ab}\big|_{\text{開路}}$ $R_{\text{th}}=\text{由端點 }a,b\text{ 看入之等效電阻}$

2. 最大功率傳輸定理： $R_L=R_{\text{th}}$ $P_{L,\max}=\frac{V_{\text{th}}^2}{4R_{\text{th}}}$

3. 雙埠電路的傳輸參數：

虛線內電路由左至右為：

• 串聯 $2\Omega$
• 並聯 $4\Omega$
• 串聯 $6\Omega$

左側還有電壓源 $16\text{ V}$ 及其串聯電阻 $2\Omega$。

（一）戴維寧等效電阻

將 $16\text{ V}$ 理想電壓源關閉，電壓源以短路取代。

由 $a,b$ 端點看入：

• $a$ 端先經過串聯 $6\Omega$
• 中間節點到 $b$ 有兩條支路：
• 直接經過 $4\Omega$
• 經過虛線內左側 $2\Omega$，再經過原電源內阻 $2\Omega$

因此：

（二）戴維寧等效電壓

求 $V_{\text{th}}$ 時，將 $R_L$ 開路。

由於負載開路，$6\Omega$ 電阻中沒有電流，因此其壓降為零，故：

其中 $V_x$ 為 $4\Omega$ 電阻上端電壓。

此時電路中的電流為：

$4\Omega$ 電阻上的電壓為：

因此：

極性為 $a$ 端相對於 $b$ 端為正。

（三）負載最大消耗功率

依最大功率傳輸定理：

負載最大消耗功率為：

核心觀念

本題考查一階 RC 暫態電路，重點包括：

• 電容電壓連續性：$v_C(0^+)=v_C(0^-)$。
• 電容電流關係：$i_C=C\dfrac{dv_C}{dt}$。
• 開關切換後的自然響應與強迫響應。
• 利用初始條件求暫態項係數。

圖中電流單位應為 $\text{A}$，題目式末所標示的 $\text{V}$ 應為排版誤植。

解題方法

1. 求電容初始電壓

開關開路已經很長時間，右側的 $2\Omega$ 電阻會使電容完全放電，因此

由電容電壓連續性：

2. 建立微分方程

開關閉合後，依圖示方向套用 KVL：

對電容支路套用 KCL：

由 KVL 得

且

代入 KCL：

整理得

題目給定

先求正弦穩態部分，令

則

代入微分方程式，分別比較 $\cos(10t)$ 與 $\sin(10t)$ 係數：

解得

3. 求自然響應指數 $k_4$

核心觀念

本題利用交流穩態正弦電路的相量法，重點如下：

1. 正弦波峰值轉有效值： $V_{\mathrm{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}},\qquad I_{\mathrm{rms}}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}$

2. 功率因數： $\mathrm{PF}=\cos\theta$

功率因數 $0.5$ 落後表示負載電流落後負載電壓：

$\theta=\cos^{-1}(0.5)=60^\circ$

3. 電阻平均消耗功率： $P_R=I_{\mathrm{rms}}^2R$

4. 理想電感平均消耗功率為零： $P_L=0$

解題方法

以各支路由 $n$ 流向 $N$ 的電流為正方向，並將電壓、電流改用相量表示。

圖中三個電壓源的峰值皆為 $160\ \mathrm{V}$，因此有效值為：

$V_{\mathrm{rms}}=\frac{160}{\sqrt{2}}=80\sqrt{2}\ \mathrm{V}$

方塊負載的電流峰值為 $20\ \mathrm{A}$，故有效值為：

$I_{\mathrm{L,rms}}=\frac{20}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\ \mathrm{A}$

底部電壓源相位為 $-120^\circ$，且負載功率因數為 $0.5$ 落後，因此負載電流相位為：

$\phi=-120^\circ-60^\circ=-180^\circ$

故負載電流相量為：

$\mathbf I_3=10\sqrt{2}\angle -180^\circ\ \mathrm{A}$

因為 $n$、$N$ 間支路電流為零，依據基爾霍夫電流定律：

$\mathbf I_1+\mathbf I_2+\mathbf I_3=0$

所以：

上方兩支路的電壓相量分別為：

$\mathbf V_1=80\sqrt{2}\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$

$\mathbf V_2=80\sqrt{2}\angle 120^\circ\ \mathrm{V}$

兩支路的阻抗皆為：

$\mathbf Z=R+j\omega L$

因此：

計算兩個電壓相量之和：

由於：

$1+\angle120^\circ=\angle60^\circ$

所以：