113 高普考高考三級 電子工程 半導體工程 考古題詳解

核心觀念

本題考查半導體的電中性條件、質量作用定律與漂移電流密度。完全解離的 n 型半導體中，施體提供正電荷，平衡時有

$n+N_A=p+N_D$

且在熱平衡下滿足

$np=n_i^2$

其中 $n$、$p$ 分別為電子與電洞濃度。電子與電洞的漂移電流密度為

$J_{\mathrm{drift}}=q(n\mu_n+p\mu_p)E$

兩種載子的電流方向相同：電子帶負電，但其漂移方向與電場相反，因此電子電流仍與電場同向。

解題方法

已知 $N_A=0$，電中性條件化為 $n=p+N_D$。由於 $N_D\gg n_i$，電子為多數載子，可先用 $n\approx N_D$，再由質量作用定律求少數載子濃度；也可將兩個關係式聯立精確求解。

聯立

$n-p=N_D,\qquad np=n_i^2$

將 $p=n-N_D$ 代入 $np=n_i^2$：

$n(n-N_D)=n_i^2$

因此

$$n=\frac{N_D+\sqrt{N_D^2+4n_i^2}}{2},\qquad p=\frac{-N_D+\sqrt{N_D^2+4n_i^2}}{2}$$

代入 $N_D=2\times10^{16}\ \mathrm{cm}^{-3}$、$n_i=1.8\times10^6\ \mathrm{cm}^{-3}$。因 $n_i\ll N_D$，結果可用近似式表示：

$n\approx N_D=2.0\times10^{16}\ \mathrm{cm}^{-3}$

$$p=\frac{n_i^2}{n}\approx \frac{(1.8\times10^6)^2}{2\times10^{16}} =1.62\times10^{-4}\ \mathrm{cm}^{-3}$$

此處的電洞濃度極低，是因為施體濃度遠高於本質載子濃度。

漂移電流密度

分別計算電子與電洞的電流密度：

$J_n=qn\mu_nE$

$J_p=qp\mu_pE$

核心觀念

導電率 $\sigma$ 描述材料在電場作用下傳導電流的能力。半導體中的電流由電子與電洞共同貢獻，因此導電率取決於兩種載子的濃度與遷移率：

$$\sigma=q(n\mu_n+p\mu_p)$$

其中 $q$ 為基本電荷量，$n$、$p$ 分別為電子與電洞濃度，$\mu_n$、$\mu_p$ 分別為電子與電洞遷移率。單位通常為 $\mathrm{S/m}$ 或 $\mathrm{S/cm}$；電阻率與導電率互為倒數，$\rho=1/\sigma$。

解題方法

由載子的漂移速度與電流密度定義推導。電場 $\mathbf E$ 下，電子與電洞的漂移速度方向相反：

$$\mathbf v_n=-\mu_n\mathbf E,\qquad \mathbf v_p=\mu_p\mathbf E$$

電子帶負電、電洞帶正電，故兩者形成的傳統電流方向皆與電場同向。電子與電洞的漂移電流密度分別為

$$\mathbf J_n=q n\mu_n\mathbf E,\qquad \mathbf J_p=q p\mu_p\mathbf E$$

相加後得到

$$\mathbf J=(q n\mu_n+q p\mu_p)\mathbf E =\sigma\mathbf E$$

因此，影響導電率的主要因素是電子濃度、電洞濃度、電子遷移率及電洞遷移率。載子濃度會受摻雜、溫度與光照等影響；遷移率則會受晶格散射、雜質散射、溫度及電場強度等影響。

解題技巧

作答時先寫 $\mathbf J=\sigma\mathbf E$，再指出電子、電洞兩種載子的漂移電流相加，即可得到 $\sigma=q(n\mu_n+p\mu_p)$。不可只寫成單一載子的 $qn\mu_n$，除非題目明確限定為電子導電或指出電洞可忽略。

（二）電流密度的影響因素

核心觀念

半導體載子傳輸包含漂移與擴散。漂移由電場造成，擴散由載子濃度的空間梯度造成；總電流密度為兩種機制及兩類載子電流的總和。

解題方法

令 $x$ 為一維位置座標，電子與電洞的粒子通量可分別表示為

核心觀念

兩種二極體的反向飽和電流密度由不同載子傳輸機制決定：

• $p$-$n$ 接面：由中性區少數載子的擴散主導。
• 蕭特基能障二極體：由多數載子越過金屬—半導體能障的熱電子發射主導。

理想二極體的電流密度可寫成

$$J=J_s\left[\exp\left(\frac{qV}{kT}\right)-1\right],$$

其中 $J_s$ 是反向飽和電流密度，$q$ 為基本電荷、$k$ 為波茲曼常數、$T$ 為絕對溫度。此式中的 $J_s$ 描述元件材料與接面參數所決定的尺度，兩種元件的決定因素並不相同。

解題方法

先由載子傳輸機制寫出兩種元件的 $J_s$，再比較各式中的材料、摻雜、能障與溫度參數。

一、$p$-$n$ 接面二極體

在低階注入、長二極體近似下，反向飽和電流密度為

$$J_s =q n_i^2 \left( \frac{D_n}{L_nN_A} + \frac{D_p}{L_pN_D} \right),$$

其中

$$L_n=\sqrt{D_n\tau_n}, \qquad L_p=\sqrt{D_p\tau_p}.$$

因此也可寫成

$$J_s =q n_i^2 \left( \frac{1}{N_A}\sqrt{\frac{D_n}{\tau_n}} + \frac{1}{N_D}\sqrt{\frac{D_p}{\tau_p}} \right).$$

$n_i$ 是本質載子濃度；$N_A$、$N_D$ 分別是受體與施體濃度；$D_n$、$D_p$ 是電子與電洞擴散係數；$\tau_n$、$\tau_p$ 是少數載子壽命；$L_n$、$L_p$ 是少數載子擴散長度。

此式顯示，$p$-$n$ 接面的 $J_s$ 主要受下列因素影響：

• 本質載子濃度 $n_i$：$J_s\propto n_i^2$。$n_i$ 隨溫度上升而快速增加，因此 $J_s$ 對溫度非常敏感。
• 摻雜濃度 $N_A$、$N_D$：兩項分別與 $1/N_A$、$1/N_D$ 成正比；摻雜越高，相應一側的少數載子平衡濃度越低。
• 擴散係數與壽命：兩側貢獻分別與 $\sqrt{D_n/\tau_n}$、$\sqrt{D_p/\tau_p}$ 成正比，反映少數載子在中性區中的擴散與復合特性。

核心觀念

本題考查 n 通道 MOSFET 在飽和區的汲極電流公式，並由量測的飽和電流反求閘極寬度 $W$。

忽略通道長度調變時，飽和電流為：

$$I_{D,\mathrm{sat}} =\frac{1}{2}\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{th})^2$$

其中 $V_{GS}-V_{th}$ 為過驅電壓，$\frac{W}{L}$ 為元件的寬長比。

解題方法

先計算過驅電壓：

$$V_{OV}=V_{GS}-V_{th}=5-0.65=4.35\ \mathrm{V}$$

將題目數值代入飽和電流公式，整理求 $W$：

$$W= \frac{2I_{D,\mathrm{sat}}L} {\mu_n C_{ox}(V_{OV})^2}$$

單位須一致。題目中的 $\mu_n$、$C_{ox}$ 使用公分制，因此將閘極長度換算為：

$$L=1.25\ \mu\mathrm{m} =1.25\times10^{-4}\ \mathrm{cm}$$

核心觀念

本題比較的是兩種熱處理方式對「時間—溫度歷程」及生產方式的影響：

• 傳統爐管熱退火：晶圓放入爐管，以較慢速度升溫、長時間保溫，再降溫；通常一次處理多片晶圓。
• 快速熱退火（RTA）：以燈管等輻射熱源快速加熱單片晶圓，在高溫下短時間處理後迅速冷卻。

熱預算（thermal budget）可用材料在退火期間累積的熱作用程度來理解。以摻雜原子擴散為例，擴散長度約為

$$L \propto \sqrt{\int D(T(t))\,dt},$$

其中 $D(T)$ 為溫度相關的擴散係數。由於 $D$ 隨溫度上升而快速增加，即使高溫停留時間很短，仍能達成退火或活化效果；縮短整體高溫歷程，則可降低不必要的擴散與熱影響。

解題方法

依題目列出的四個因素逐項對照，先掌握兩種技術的基本差異：爐管是「慢升降溫、長時間、多片批次處理」，RTA 是「快升降溫、短時間、單片處理」。再由此推得各自對熱預算與產能的影響，並指出產能比較須考慮 RTA 的單片處理特性。

四項因素比較

比較因素	傳統爐管熱退火	快速熱退火（RTA）
加熱週期	升溫、保溫與降溫時間較長，整個製程週期通常較久。	快速升溫至目標溫度，短時間保溫並迅速冷卻，週期較短。