112 高普考高考三級 電子工程 半導體工程 考古題詳解

核心觀念

1. 鑽石結構（Diamond Structure）：

• 矽（Si）與鍺（Ge）皆為第 $\mathrm{IV}$ 族半導體，常溫常壓下均具鑽石晶格結構。
• 鑽石結構由兩個面心立方（Face-Centered Cubic, FCC）子晶格沿體對角線互相穿插而成，兩者在空間上平移了體對角線長度的四分之一，即向量 $\left(\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a}{4}\right)$。
• 每個鑽石結構單位晶胞（Unit Cell）內部包含 $8$ 個原子，其配位數（Coordination Number）為 $4$（正四面體鍵結）。

2. 維加德法則（Vegard's Law）：

• 連續固溶體合金的晶格常數與其組成分的莫耳分率（原子百分比）呈線性加權關係： $a_{\mathrm{A}_{1-x}\mathrm{B}_x} = (1 - x)a_{\mathrm{A}} + x a_{\mathrm{B}}$

3. 單位晶胞與原子濃度（Atomic Concentration）：

• 單位體積內的總原子濃度 $N_{\text{total}}$ 定義為單位晶胞內的原子總數除以單位晶胞體積 $V = a^3$： $N_{\text{total}} = \frac{n}{a^3}$ 其中 $n = 8$（鑽石結構之單位晶胞原子數），$a$ 為晶格常數。
• 組成元素的原子濃度則依其化學計量比分配： $N_{\mathrm{Si}} = (1 - x) N_{\text{total}}, \quad N_{\mathrm{Ge}} = x N_{\text{total}}$

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解題方法

第 1 小題：晶格結構與構造說明

1. 晶格結構類型：

• $\mathrm{Si}$ 與 $\mathrm{Ge}$ 具相同的價電子數與晶體對稱性，可形成全比例互溶的置換型固溶體（Substitutional Solid Solution）。因此，$\mathrm{Si}_{0.9}\mathrm{Ge}_{0.1}$ 合金半導體的晶格結構仍為鑽石結構（Diamond Structure）。

2. 構造特徵說明：

• 基底與子晶格：可視為面心立方（FCC）布拉菲晶格，以兩個原子為一組基底（Basis），分別位於 $(0,0,0)$ 與 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$；亦即由兩個相同的 FCC 子晶格沿體對角線位移 $\frac{\sqrt{3}}{4}a$ 相互穿插疊合。
• 單位晶胞原子數：常規單位晶胞內包含 $8$ 個原子（FCC 角隅點 $8 \times \frac{1}{8} = 1$ 個、面心點 $6 \times \frac{1}{2} = 3$ 個，加上穿插在晶胞內部的 $4$ 個四面體間隙原子 $4 \times 1 = 4$ 個，共 $1 + 3 + 4 = 8$ 個原子）。
• 配位與鍵結：每個原子均以 $sp^3$ 混成軌域與周圍相鄰的 $4$ 個原子形成正四面體共價鍵，配位數為 $4$。在 $\mathrm{Si}_{0.9}\mathrm{Ge}_{0.1}$ 中，$\mathrm{Ge}$ 原子是以 $10\%$ 的統計機率隨機置換（Substitute）鑽石晶格中的 $\mathrm{Si}$ 格點位置。

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第 2 小題：合金半導體的晶格常數計算

根據維加德法則（Vegard's Law），$\mathrm{Si}_{0.9}\mathrm{Ge}_{0.1}$ 合金之晶格常數 $a$ 為純 $\mathrm{Si}$ 與純 $\mathrm{Ge}$ 之晶格常數的線性組合：

$a = 0.9 \cdot a_{\mathrm{Si}} + 0.1 \cdot a_{\mathrm{Ge}}$

代入已知數據 $a_{\mathrm{Si}} = 5.43\,\text{Å}$ 與 $a_{\mathrm{Ge}} = 5.66\,\text{Å}$：

$a = 0.9 \times 5.43\,\text{Å} + 0.1 \times 5.66\,\text{Å} = 4.887\,\text{Å} + 0.566\,\text{Å} = 5.453\,\text{Å}$

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第 3 小題：Si 與 Ge 的原子濃度計算

核心觀念

本題評量半導體物理中載子傳導（Carrier Transport）的微觀動態與散射機制（Scattering Mechanism），核心觀念包含：

1. 載子傳導速度與微觀運動：

• 漂移速度（Drift Velocity, $v_d$）：載子受外加電場作用產生淨位移的平均定向運動速度。
• 熱速度（Thermal Velocity, $v_{th}$）：載子在非絕對零度下，受晶格熱能激發而進行的無規則隨機運動（Random Thermal Motion）速度，遵從熱力學能量均分定理。
• 遷移率（Mobility, $\mu$）：外加低電場下，載子漂移速度對電場強度的響應能力，微觀上由散射平均自由時間（Mean Free Time, $\tau$）與傳導有效質量（Effective Mass, $m^*$）決定。

2. 散射機制與溫度依賴性：

• 晶格散射（Lattice/Phonon Scattering）：載子與晶格熱振動產生的聲子碰撞，高溫時聲子密度增大，遷移率隨溫度上升而下降（$\mu_L \propto T^{-3/2}$）。
• 游離雜質散射（Ionized Impurity Scattering）：載子受游離施體或受體的庫侖靜電力偏折，高溫時載子熱速度增加、與雜質作用時間變短，遷移率隨溫度上升而增加（$\mu_I \propto T^{3/2}$）。
• 馬修森法則（Matthiessen's Rule）：總遷移率與各獨立散射機制的倒數和關係：$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_L} + \frac{1}{\mu_I}$。

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解題方法

(一) 漂移速度、熱速度與遷移率之說明

1. 漂移速度（Drift Velocity, $v_d$）

• 定義：當半導體兩端施加外加電場 $\mathcal{E}$ 時，載子在隨機熱運動的背景下，受到靜電力（$F = \pm q\mathcal{E}$）的牽引，在電場方向（電洞）或電場反方向（電子）上疊加的一種淨定向運動平均速度。
• 數學關係： 在低至中等電場下，漂移速度與電場大小成正比： $v_d = \mu \mathcal{E}$ （若考慮向量與電子帶負電特性，電子漂移速度向量為 $\vec{v}_n = -\mu_n \vec{\mathcal{E}}$；電洞為 $\vec{v}_p = \mu_p \vec{\mathcal{E}}$）。在極高電場下，因光學聲子散射加劇，漂移速度將趨於飽和速度（Saturation Velocity, $v_{sat} \approx 10^7\text{ cm/s}$）。
• 典型數值：一般操作電場下約為 $10^4 \sim 10^6\text{ cm/s}$。

2. 熱速度（Thermal Velocity, $v_{th}$）

• 定義：在非絕對零度（$T > 0\text{ K}$）的熱平衡狀態下，載子吸收熱能進行無規則的布朗運動，此時載子朝向各方向的機率相等，淨位移為零，但具有極高的純量動能速度。
• 數學推導： 由三維古典能量均分定理（Equipartition Theorem）： $\frac{1}{2} m^* v_{th}^2 = \frac{3}{2} k_B T \implies v_{th} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m^*}}$ （其中 $k_B$ 為波茲曼常數，$T$ 為絕對溫度，$m^*$ 為載子的有效質量）。
• 典型數值：室溫（$T = 300\text{ K}$）下，矽中電子的熱速度約為 $10^7\text{ cm/s}$（遠大於低電場下的漂移速度）。

3. 遷移率（Mobility, $\mu$）

• 定義：衡量載子在外加單位電場下運動快慢的物理量，代表載子傳導能力的優劣。
• 微觀推導與關係式： 根據德魯德模型（Drude Model）結合固態物理有效質量概念，載子在相鄰兩次碰撞間受電場加速的時間為平均自由時間（或動量弛豫時間）$\tau$： $a = \frac{q\mathcal{E}}{m^*} \implies v_d = a\tau = \left(\frac{q\tau}{m^*}\right)\mathcal{E}$ 比較 $v_d = \mu \mathcal{E}$ 可得： $\mu = \frac{q\tau}{m^*}$
• 單位為 $\text{cm}^2 / (\text{V}\cdot\text{s})$。
• 遷移率與載子的平均自由時間 $\tau$ 成正比（散射次數越少，遷移率越高），與載子傳導有效質量 $m^*$ 成反比。

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(二) 影響遷移率之兩種散射機制及其與溫度關係

載子在晶體中運動時受微觀擾動而偏離原路徑的現象稱為散射。最主要的兩種機制為：

1. 晶格散射（Lattice Scattering / Acoustic Phonon Scattering）

• 物理機制： 晶體中的晶格原子在 $T > 0\text{ K}$ 時會在其平衡位置附近產生熱振動。這種熱振動破壞了晶格週期性位能，在微觀上表現為載子與晶格振動量子——**聲子（Phonon）**的碰撞。
• 與溫度的關係：
• 當溫度 $T$ 升高時，晶格熱振動加劇，激發的聲子數量增加（聲子布居數與溫度成正比）。
• 載子與聲子碰撞的頻率大幅提高，導致平均自由時間縮短（$\tau_L \propto T^{-3/2}$）。
• 其遷移率與溫度的關係為反比關係： $\mu_L \propto T^{-3/2}$
• 結論：在晶格散射主導時，溫度越高，遷移率越低。

核心觀念

本題為半導體物理與元件中最經典且基礎的 PN 接面（PN Junction）靜態特性分析，主要測驗以下核心觀念：

1. PN 接面的熱平衡生成機制：載子濃度梯度引發的「擴散（Diffusion）」、交界處的「復合（Recombination）」、裸露之游離雜質離子所形成的「空間電荷區（Space Charge Region, 即空乏區 Depletion Region）」、以及「漂移（Drift）」與「擴散」動態平衡的物理歷程。
2. 內建電場（Built-in Electric Field, $\mathcal{E}$）的極性與方向：由正電荷指向負電荷之靜電學定律。
3. 空乏區近似法（Depletion Approximation）：假設空乏區邊界外為完全電中性區，空乏區內部則完全沒有自由載子，僅有均勻分佈之游離受光者（$N_A^-$）與施體（$N_D^+$）離子。
4. 一維卜松方程式（Poisson's Equation）：利用電荷密度分佈推導內部電場分佈 $\mathcal{E}(x)$ 與內建電位 $V_{bi}$。
5. 單邊陡峭接面（One-sided Abrupt Junction, $P^+N$）特性：當 $N_A \gg N_D$ 時，空乏區將幾乎全數延伸至輕摻雜的 $N$ 側。

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解題方法

一、 接面空乏區與內建電場生成機制及電場指向

1. 載子擴散（Carrier Diffusion）： 在冶金接面（Metallurgical Junction, 令其位置為 $x = 0$）形成初期，由於 $P^+$ 側的電洞濃度遠大於 $N$ 側，電洞因巨大的濃度梯度自 $P^+$ 側向 $N$ 側擴散；同理，電子亦因濃度梯度自 $N$ 側向 $P^+$ 側擴散。
2. 載子復合與固定離子暴露（Carrier Recombination & Uncompensated Impurity Ions）： 擴散穿過冶金接面的電子與電洞在接面鄰近區域相遇並發生復合（Recombination）而湮滅。載子復合後，原本在 $P$ 側被電洞電性中和的游離受光者（Acceptor ions, 帶負電 $N_A^-$），以及在 $N$ 側被電子電性中和的游離施體（Donor ions, 帶正電 $N_D^+$），失去了自由載子的屏蔽，形成了未補償的「固定空間電荷（Fixed Space Charges）」。
3. 空乏區生成與電場建立（Depletion Region & Built-in Electric Field）： 這些暴露的固定離子區域因缺乏自由活動的載子，故稱為「空乏區（Depletion Region）」或「空間電荷區（Space Charge Region）」。帶正電的施體離子與帶負電的受光者離子之間建立起靜電場，此即「內建電場（Built-in Electric Field, $\mathcal{E}$）」。
4. 熱平衡的達成： 此內建電場會對載子施加漂移力，驅使電洞漂移回 $P$ 側、電子漂移回 $N$ 側（即漂移電流方向與擴散電流方向相反）。當漂移電流與擴散電流大小相等、方向相反時，淨電流為零，系統達到動態「熱平衡狀態（Thermal Equilibrium）」，此時空乏區寬度與內建電場達到穩定。
5. 內建電場的指向： 依據靜電學定律，電場方向永遠由正電荷指向負電荷。因為帶正電的游離施體離子分佈於 $N$ 側，帶負電的游離受光者離子分佈於 $P$ 側，故內建電場方向為由 $N$ 側指向 $P$ 側（負 $x$ 軸方向）。

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二、 以空乏區近似法推導 $W$ 與 $V_{bi}$ 之關係式

設冶金接面位於 $x = 0$，$P^+$ 側空乏邊界為 $x = -x_p$，$N$ 側空乏邊界為 $x = x_n$。總空乏區寬度為 $W = x_p + x_n$。

步驟 1：空乏區電荷密度分佈 $\rho(x)$

根據空乏區近似法，空間電荷分佈為：

$$\rho(x) = \begin{cases} -q N_A, & -x_p \le x < 0 \\ +q N_D, & 0 < x \le x_n \\ 0, & x < -x_p \text{ 或 } x > x_n \end{cases}$$

步驟 2：全域電中性條件（Charge Neutrality Condition）

接面兩側的總未補償電荷量必須相等：

$$q N_A x_p = q N_D x_n \implies x_p = \frac{N_D}{N_A} x_n$$

題目給定 $N_A \gg N_D$，因此：

$$x_p = \left(\frac{N_D}{N_A}\right) x_n \ll x_n$$

總空乏區寬度 $W$ 可近似為：

$$W = x_p + x_n \approx x_n$$

（即空乏區主要落在低摻雜的 $N$ 側）。

步驟 3：由一維卜松方程式（Poisson's Equation）求解電場分佈

一維卜松方程式為：

$$\frac{d\mathcal{E}}{dx} = \frac{\rho(x)}{\varepsilon}$$

• 在 $N$ 側（$0 < x \le x_n$）：

$$\frac{d\mathcal{E}}{dx} = \frac{q N_D}{\varepsilon}$$

邊界條件為空乏區外無電場，即 $\mathcal{E}(x_n) = 0$。對其積分得：

$$\int_{\mathcal{E}(x)}^0 d\mathcal{E}' = \int_x^{x_n} \frac{q N_D}{\varepsilon} dx' \implies \mathcal{E}(x) = -\frac{q N_D}{\varepsilon}(x_n - x)$$

接面處（$x = 0$）具備最大電場強度（絕對值）：

$$|\mathcal{E}_{max}| = |\mathcal{E}(0)| = \frac{q N_D x_n}{\varepsilon}$$

核心觀念

本題評量雙極性接面電晶體（BJT）在半導體物理中的基礎操作機制，核心觀念包含：

1. 雙極性電晶體之操作偏壓條件：

• NPN 電晶體操作於主動區（Forward-Active Mode, FAM）時，射極—基極接面（EBJ）必須為順向偏壓，以促進載子大量注入基極；集極—基極接面（CBJ）必須為逆向偏壓，以建立強電場收集到達基極邊界的少數載子。
• 以基極為零電位參考點（$V_B = 0\text{ V}$）時，對應的射極電位 $V_E$ 與集極電位 $V_C$ 之正負極性配置。

2. 能帶圖（Energy Band Diagram）與載子傳輸機制：

• 順向偏壓降低 EBJ 接面位障高，逆向偏壓增高 CBJ 接面能帶彎曲程度。
• 區分「載子移動方向」與「實際電流流向」：電子向右移動對應向左的電流密度，電洞向左移動對應向左的電流密度。

3. 電晶體電流增益參數之物理定義：

• 射極注入效率（Emitter Injection Efficiency, $\gamma$）：注入基極之有用少數載子電流佔總射極電流的比例。
• 基極傳輸因子（Base Transport Factor, $\alpha_T$）：成功穿透準中性基極到達集極的載子電流佔初始注入電子電流的比例。

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解題方法

一、主動區接面電壓安排（以基極為零電位參考點 $V_B = 0\text{ V}$）

NPN 電晶體結構由左至右分別為：N 型射極（Emitter）、P 型基極（Base）、N 型集極（Collector）。

1. 射極—基極接面（EBJ）偏壓：

• 需為順向偏壓（Forward Bias），即基極電位高於射極電位： $V_{BE} = V_B - V_E > 0$
• 設定基極為零電位參考點（$V_B = 0\text{ V}$），則射極電位必須為負電壓： $V_E < 0\text{ V}$ 在常溫矽元件中，典型導通電壓為 $V_{BE} \approx 0.7\text{ V}$，故 $V_E \approx -0.7\text{ V}$。

2. 集極—基極接面（CBJ）偏壓：

• 需為逆向偏壓（Reverse Bias），即集極電位高於基極電位： $V_{CB} = V_C - V_B > 0 \implies V_{BC} < 0$
• 設定基極為零電位參考點（$V_B = 0\text{ V}$），則集極電位必須為正電壓： $V_C > 0\text{ V}$

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二、主動區能帶概要圖與電流標註

在順向主動區下：

• EBJ 內建電位由 $V_{bi,E}$ 下降為 $V_{bi,E} - V_{BE}$，使射極多數載子（電子）越過位障注入基極。
• CBJ 內建電位由 $V_{bi,C}$ 上升為 $V_{bi,C} + V_{CB}$，空乏區內有強大的內建電場（方向由 C 指向 B），可迅速將抵達 CBJ 邊緣的電子掃入集極。

能帶對空間之概要圖（Energy Band Diagram）

 射極 (n-type) 基極 (p-type) 集極 (n-type)
 x < 0 0 < x < W_B x > W_B
 能階 E
 ^ 
 | --------- E_c
 | / \ (位障降低)
 | / \_________ 
 | / \ 
 | \ 
 | \_________________ E_c
 | - - - - - - - E_Fn \
 | \
 | \ - - - - - - - E_Fn (受 V_CB 影響大幅下拉)
 | --------- E_v \
 | / - - - - - E_Fp \
 | / \___________ E_v
 | /
 +---------------------------------------------------------------> 空間位置 x
 <-- 順偏 EBJ 空乏區 --> <-- 逆偏 CBJ 強場空乏區 -->

載子流動與各項電流標註說明

 空間位置: 射極 (N) | 基極 (P) | 集極 (N)
 | (準中性區 W_B) |
 (載子流動)
 電子流: [ e- 注入 ] --> [ e- 擴散 ] --> [ e- 被電場掃入 ]
 |
 (e- 復合)
 v
 電洞流: [ h+ 注入 ] <-- [ h+ 提供 ]

 ---------------------------------------------------------------------
 (實際電流方向)
 電子擴散電流: <-- I_nE <-- I_nC
 電洞擴散電流: <-- I_pE
 基極復合電流: --> I_r (由基極流入補充電洞)

圖中各項電流分量之物理意義：

1. $I_{nE}$（射極電子擴散注入電流）： 電子自高摻雜 N 型射極擴散並注入 P 型基極所形成的電流。電子向右移動（從 E 到 B），依電流定義，電流流向為由 B 指向 E（向左）。
2. $I_{pE}$（基極電洞擴散注入電流）： 電洞自 P 型基極越過位障注入 N 型射極所形成的電流。電洞向左移動（從 B 到 E），電流流向為由 B 指向 E（向左）。
3. $I_r$（基極復合電流，或記為 $I_{nB,\text{rec}}$）： 注入基極的電子在穿過基極寬度 $W_B$ 期間，與基極的多數載子（電洞）發生復合所產生的損耗電流。為維持中性，基極端必須由外電路補充電洞，電流流向由基極端子流入（向下／向右）。
4. $I_{nC}$（集極電子擴散收集電流）：

核心觀念

本題評量半導體製程中極為核心的 Deal-Grove 熱氧化模型（Deal-Grove Model of Thermal Oxidation）。此模型用以描述矽晶圓在高溫含氧環境下生成二氧化矽（$\text{SiO}_2$）的生長機制。

1. 通量平衡與穩態機制： 在熱氧化過程中，氧化劑（$\text{O}_2$ 或 $\text{H}_2\text{O}$）由環境抵達反應面經歷三個連續通量（Flux）：

• 氣相傳輸通量 $F_1$：氧化劑由氣相主體傳輸至氧化層外表面。
• 擴散通量 $F_2$：氧化劑依循費克第一定律（Fick's First Law）擴散穿過既有的氧化層，通量大小與氧化層厚度 $D$ 成反比（$F_2 = D_{ox} \frac{C_0 - C_i}{D}$，其中 $D_{ox}$ 為氧化劑擴散係數）。
• 介面反應通量 $F_3$：氧化劑到達 $\text{Si/SiO}_2$ 介面，與矽原子發生化學反應生成 $\text{SiO}_2$（$F_3 = k_s C_i$，其中 $k_s$ 為介面反應速率常數）。 在穩態（Steady state）條件下，$F_1 = F_2 = F_3 = F$。經推導與積分後即可得到題目所給之關係式：$D^2 + AD = Bt$。

2. 微分關係與速率常數定義：

• 參數 $B$ 稱為拋物線速率常數（Parabolic rate constant），其物理意義與氧化劑在氧化層中的擴散能力成正比。
• 參數比值 $\frac{B}{A}$ 稱為線性速率常數（Linear rate constant），其物理意義與 $\text{Si/SiO}_2$ 介面的化學反應速率成正比。

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解題方法

第 1 小題：求氧化速率 $\frac{dD}{dt}$

對題目所給之 Deal-Grove 方程式兩邊同時對時間 $t$ 進行隱函數微分（Implicit Differentiation）：

$D^2 + AD = Bt$

兩邊對 $t$ 微分： $\frac{d}{dt}(D^2 + AD) = \frac{d}{dt}(Bt)$

利用微分連鎖律（Chain Rule）： $2D \cdot \frac{dD}{dt} + A \cdot \frac{dD}{dt} = B$

提出公因式 $\frac{dD}{dt}$： $(2D + A)\frac{dD}{dt} = B$

整理可得氧化速率為： $\frac{dD}{dt} = \frac{B}{2D + A}$

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第 2 小題：不同厚度極限下之厚度與時間關係及物理機制

由 Deal-Grove 模型之基本式 $D^2 + AD = Bt$ 與氧化速率式 $\frac{dD}{dt} = \frac{B}{2D + A}$，分別討論題目指定的兩種極限狀態：

1. 當 $D \ll A$（薄氧化層時期）

• 數學關係推導： 當氧化層極薄時，$D \ll A$，則 $D^2 \ll AD$。原式左邊的二次項 $D^2$ 可忽略不計，簡化為： $AD \approx Bt \implies D(t) \approx \left(\frac{B}{A}\right) t$ 亦可由氧化速率式觀察： $\frac{dD}{dt} = \frac{B}{2D + A} \approx \frac{B}{A} \quad (\text{常數})$
• 厚度與時間之關係： 氧化層厚度 $D$ 與氧化時間 $t$ 成正比（線性關係，Linear relationship）。
• 物理機制說明：