111 高普考高考三級 電子工程 半導體工程 考古題詳解

核心觀念

本題評量半導體物理與材料結構之基本晶體學（Crystallography），重點包含：

1. 點陣與基底（Lattice and Basis）：面心立方（FCC）點陣配搭雙原子基底的晶格建構方式。
2. 對稱性與成鍵特性：反演對稱性（Inversion Symmetry）之有無、純共價鍵與極性共價鍵之差異。
3. 多型性與堆疊順序（Polytypism & Stacking Sequence）：近鄰四面體配位（$sp^3$ 混成）在立方密排（FCC，ABCABC 堆積）與六方密排（HCP，ABAB 堆積）下之幾何排列、次近鄰環境與自發極化效應。

解題方法

本題為標準之申論比較題，評分關鍵在於層次分明、關鍵術語精確：

1. 子題一（5 分）：以「幾何晶格基底」、「組成原子種類」、「反演對稱性與鍵結極性」三個維度切入，點出鑽石結構與閃鋅礦結構的本質差別。
2. 子題二（10 分）：題目所稱「六方晶系結構」在半導體材料中專指與閃鋅礦對應之纖鋅礦結構（Wurtzite Structure）（如 GaN、ZnO）。解題採用「同中求異、異中求同」的對比架構：

• 同：從微觀最近鄰配位數、鍵結混成軌域（$sp^3$）、化學計量比切入。
• 異：從晶系與布拉菲點陣、密排層堆疊順序（ABC vs. AB）、次近鄰構型、對稱性與內建極化（自發極化）逐項展開。

選項分析

本題為高等考試三級之申論題，無選擇題選項。閱卷評分指標與配分依據如下：

• 子題一（5 分）：
• 正確指出「同種原子 vs. 異種原子」得 2 分。
• 闡明「對稱性（反演對稱之有無）與極性鍵結」得 3 分。
• 子題二（10 分）：
• 相同點（配位數均為 4、四面體鍵結）得 3 分。
• 相異點（晶系與布拉菲點陣、堆積順序 ABCABC vs. ABAB）得 4 分。
• 次近鄰排列與物理性質差異（纖鋅礦具強自發極化）得 3 分。

解題技巧

1. 作答結構化：申論題切忌整段文字擠在一起，善用條列與小標題，使閱卷委員能在 3 秒內看到關鍵字（如：FCC、ABCABC、ABAB、反演對稱、自發極化）。
2. 圖形概念化：文字中明確寫出晶向與向量，例如鑽石與閃鋅礦沿體對角線位移 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)a$；閃鋅礦堆疊沿 $[111]$ 方向，纖鋅礦堆疊沿 $[0001]$（c 軸）方向。
3. 避開常見陷阱：勿將六方晶系誤答為單純的金屬 HCP 結構，半導體中必須說明其為雙元素構成之「纖鋅礦結構（Wurtzite）」，同樣具備四面體配位。

【答案】

一、鑽石結構（Diamond）與閃鋅礦結構（Zincblende）之差異（5 分）

鑽石結構與閃鋅礦結構之基本幾何框架完全相同，皆由面心立方（FCC）布拉菲點陣加上**雙原子基底（Two-atom basis）**構成，兩基底原子沿立方體對角線相對位移 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)a$。兩者之主要差異如下：

1. 組成原子種類：

• 鑽石結構：由單一元素構成（元素半導體，如 $\text{Si}$、$\text{Ge}$、$\text{C}$）

核心觀念

本題評量半導體能帶理論與光電元件運作機制的基礎觀念：

1. $E\text{-}k$ 色散關係與能隙分類：依據導帶底（Conduction Band Minimum, CBM）與價帶頂（Valence Band Maximum, VBM）在晶體動量波向量空間（$\mathbf{k}$-空間）的相對位置，半導體可分為「直接能隙（Direct Bandgap）」與「間接能隙（Indirect Bandgap）」。
2. 躍遷過程之守恆定律：電子與電洞復合並釋放光子的過程，必須同時遵守能量守恆與動量（波向量）守恆：

• 能量守恆：$h\nu \approx E_g$
• 晶體動量守恆：$\mathbf{k}_i - \mathbf{k}_f = \mathbf{k}_{\text{photon}} \approx 0$

3. 光子與聲子之特性差異：

• 光子帶有極大能量但動量極小（波向量 $k_{\text{photon}} \sim 10^7\text{ m}^{-1}$，相較於布里淵區邊界 $k \sim 10^{10}\text{ m}^{-1}$ 可忽略不計）。
• 聲子（Phonon，晶格振動量子）能量極小（約數十 $\text{meV}$），但可提供或吸收顯著動量。

解題方法

本題配分共 10 分（2 分 + 3 分 + 5 分），作答應採層次分明的三段論法：

1. 能隙種類定義（2 分）：從動量空間（$\mathbf{k}$ 空間）精確定義直接能隙與間接能隙，並各舉一至兩種典型材料代表。
2. 元件選材（3 分）：開門見山直接肯定指出發光二極體（LED）必須選用「直接能隙」半導體。
3. 物理機制深入說明（5 分）：

• 由動量守恆出發，對比兩者在復合躍遷時的微擾階數（一階過程 vs. 二階過程）。
• 說明間接能隙因需「聲子協助（Phonon-assisted）」導致躍遷機率極低，非輻射復合佔主導地位，熱損耗大。
• 結論導向直接能隙具有高「內部量子效率（Internal Quantum Efficiency, IQE）」。

選項分析（題型與材料特性對比）

本題為申論問答題，無選擇題選項。以下將「直接能隙」與「間接能隙」之物理機制與代表材料特性進行對照分析：

解題技巧

1. 配分對應字數原則：

• 「能隙種類（2 分）」：定義簡明扼要，點出 CBM、VBM 與 $\mathbf{k}$ 向量即可，各附材料範例。

核心觀念

本題評量半導體材料成長技術與光電元件物理之整合觀念，核心涵蓋三個主軸：

1. 磊晶（Epitaxy）之本質定義：掌握單晶薄膜沿著單晶基板結晶方向排列延續生長之物理定義（Homoepitaxy / Heteroepitaxy）。
2. 單晶成長品質之熱力學與幾何限制：探討晶格匹配（Lattice Matching）對抑制錯位（Dislocation）等結晶缺陷的關鍵決定性。
3. 多接面太陽能電池（Multi-junction Solar Cells, MJSC）之元件串接機制：理解次電池（Sub-cells）堆疊時產生的反向寄生 $p\text{-}n$ 接面，以及藉由退化摻雜之**穿隧接面（Tunnel Junction）**實現低電阻電氣連接與光學無損穿透之原理。

解題方法

• 第(一)小題：自詞源與材料結構切入。由「在具有特定晶向的單晶基板上，延續其結晶排列生長單晶薄膜」給出嚴謹定義。
• 第(二)小題：從晶格結構的應力應變（Strain）與晶體缺陷生成條件切入。高品質薄膜必須避免產生線缺陷（如刃差錯位、螺差錯位），因此「晶格常數匹配（Lattice Match）」為第一要務。
• 第(三)小題：分析由上而下（能隙由大至小）串聯之結構配置。
• 結構名稱：必須為「穿隧接面（Tunnel Junction, TJ）」。
• 功能說明：分從「電氣特性」（消除反向二極體電位障、以量子穿隧降低串聯電阻與電壓降）與「光學特性」（寬能隙以減少寄生光吸收）兩大維度進行論述。

選項分析

本題為申論題，無選項分析。

解題技巧

1. 閱卷給分關鍵字（評分核心）：

• 第(一)小題：必寫出「單晶基板（Single-crystal substrate）」、「特定晶向／晶格排列延續（Crystalline orientation alignment）」、「單晶層（Single-crystal film）」。
• 第(二)小題：首要條件必寫「晶格常數匹配（Lattice matching, 即 $\Delta a / a \to 0$）」。若只答「適當溫度」或「高真空」僅屬製程操作參數，無法取得完整分數。

核心觀念

本題評量高電子遷移率電晶體（High Electron Mobility Transistor, HEMT）之物理運作原理，以及相較於傳統矽基金氧半場效電晶體（Si MOSFET）的高頻高速優勢。核心觀念涵蓋：

1. 異質接面（Heterojunction）與能帶不連續性（Band Offset）：異質介面傳導帶不連續階差 $\Delta E_c$ 形成三角位能井，在介面處將載子局限形成量子化的「二維電子氣（Two-Dimensional Electron Gas, 2DEG）」。
2. 調變摻雜（Modulation Doping）技術：藉由在寬能隙半導體層摻雜施體（Donors），而窄能隙通道層維持未摻雜（Undoped），使自由電子與游離施體在空間上分離（Spatial Separation），極大化抑制「游離雜質散射（Ionized Impurity Scattering）」。
3. 高頻高速特性指標：元件截斷頻率（Cutoff Frequency, $f_T$）與載子渡越時間（Transit Time, $\tau$）之關係： $f_T \approx \frac{g_m}{2\pi C_g} \approx \frac{v}{2\pi L_g}$ 其中 $g_m$ 為轉導（Transconductance），$C_g$ 為閘極電容，$v$ 為載子漂移速度（低電場下由遷移率 $\mu$ 決定，強電場下由飽和速度 $v_{\text{sat}}$ 決定），$L_g$ 為閘極長度。

解題方法

本題為分為兩小題的問答題，評分標準在於物理機制論述的完整性與專有名詞的精準度：

1. 第一小題（HEMT 獲得 high electron mobility 的方式）：

• 切入點：從材料能帶工程與散射物理機制切入。
• 推導與說明：
• 結構組成：採用寬能隙半導體（如 n-AlGaAs 或 AlGaN）與未摻雜的窄能隙半導體（如 undoped GaAs 或 GaN）形成異質接面。
• 調變摻雜原理：施體雜質僅摻雜於寬能隙層，施體游離釋出的電子因追求最低能態，跨越異質介面落入窄能隙材料一側的三角位能井內，形成高濃度的二維電子氣（2DEG）。
• 空間隔離效應：通常在摻雜層與介面間額外加入一層未摻雜的薄隔離層（Spacer Layer），使得 2DEG 內的傳導電子在空間上遠離正離子化的施體中心（Ionized Donors），進而將「游離雜質散射」降至最低，獲得極高的電子遷移率 $\mu$。

2. 第二小題（較傳統 MOSFET 更高速之原因）：

• 切入點：從「載子散射與介面品質」、「載子飽和速度」及「元件動態響應指標」三方面與傳統 Si MOSFET 進行對比。
• 論證要點：
• 介面散射差異：傳統 Si MOSFET 的反轉層電子緊貼於非晶態 $\text{SiO}_2$ 與晶態 $\text{Si}$ 的介面，受垂直閘極強電場所產生的表面粗糙度散射（Surface Roughness Scattering）極大，使電子遷移率大幅退化（常溫下通常僅約 $400 \sim 700 \text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$）；而 HEMT 的 2DEG 處於高品質單晶磊晶異質介面，且無游離雜質散射，遷移率顯著更高（GaAs 2DEG 常溫可達 $8,500 \text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$ 以上）。
• 漂移速度與飽和速度優勢：HEMT 所使用的化合物半導體材料（如 GaAs、GaN）具備較高的電子飽和速度 $v_{\text{sat}}$（或峰值速度 $v_{\text{peak}}$），縮短載子通過閘極區域的渡越時間 $\tau = L_g / v$。
• 轉導與頻率響應：高遷移率與高漂移速度使得元件具備極大的跨導 $g_m$，搭配較小的寄生電容，造就更高的單位增益截斷頻率 $f_T$ 與最高振盪頻率 $f_{\max}$，開關延遲時間大幅縮短。

選項分析

本題為非選擇題（申論問答題），無選項。評分重點對應之得分結構如下：

• 第 (1) 題評分要點（5 分）：必須明確點出「調變摻雜（Modulation Doping）」、「異質接面（Heterojunction）形成 2DEG」以及「自由電子與游離雜質空間分離，消除游離雜質散射」等核心關鍵字。

核心觀念

本題考查 $p$ 型與 $n$ 型半導體接觸形成 $p$–$n$ 接面的能帶變化、載子擴散與漂移的平衡，以及內建電位是否能作為電池電壓。

接觸前，$p$ 區的費米能階 $E_F$ 靠近價帶頂 $E_V$；$n$ 區的 $E_F$ 靠近導帶底 $E_C$。接觸並達到熱平衡後，整個接面的費米能階必須一致；接面附近的導帶與價帶因此彎曲，形成內建電位 $V_{bi}$。

解題方法與能帶圖

將圖中左側視為 $p$ 區、右側視為 $n$ 區。接觸後，載子由高濃度處向低濃度處擴散：電子由 $n$ 區擴散至 $p$ 區，電洞由 $p$ 區擴散至 $n$ 區。接面附近的電子與電洞復合後，留下帶負電的受體離子與帶正電的施體離子，形成空乏區及由 $n$ 側指向 $p$ 側的內建電場。

以下為熱平衡時的能帶圖；能量由左向右降低 $qV_{bi}$：

能量 E
 ↑
 │ p 區 空乏區 n 區
 │
EC│──────────────╲____________________ 導帶底
 │
EF│────────────────────────────────── 費米能階
 │
EV│──────────────╲____________________ 價帶頂
 │
 └──────────────────────────────────→ x
 p 側高 n 側低

$E_C$ 與 $E_V$ 在空乏區彎曲，且同一材料的能隙 $E_C-E_V$ 維持不變；熱平衡時 $E_F$ 為水平直線。能帶由 $p$ 側向 $n$ 側降低，對應內建電位的能量差 $qV_{bi}$。

核心觀念

本題評量**單邊突變接面（One-sided Abrupt Junction, $p^+n$ Junction）之物理特性與電容—電壓量測法（$C$-$V$ Measurement / Profiling）**的應用。主要涵蓋以下核心理論與公式：

1. 電荷電中性原理（Charge Neutrality Condition）： 接面兩側空乏區所裸露的游離雜質總電荷量必須相等： $q N_A x_p = q N_D x_n$ 其中 $x_p$ 與 $x_n$ 分別為 $p$ 側與 $n$ 側之空乏區寬度。
2. 卜松方程式（Poisson's Equation）與空乏區寬度： 利用空乏近似（Depletion Approximation），求解一維卜松方程式可得總空乏區寬度 $W$： $W = x_p + x_n = \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s (V_{bi} - V)}{q} \left(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\right)}$ 其中 $\varepsilon_s$ 為半導體介電常數，$V_{bi}$ 為內建電位（Built-in Potential），$V$ 為外加偏壓（逆向偏壓時 $V < 0$）。當 $N_A \gg N_D$ 時，空乏區幾乎全落在輕摻雜側。
3. 接面電容與微分電容剖面分析（$C$-$V$ Profiling）： 單位面積接面電容 $C_j = \frac{\varepsilon_s}{W}$。藉由對逆向偏壓進行微分： $\frac{1}{C_j^2} = \frac{2(V_{bi} - V)}{q \varepsilon_s N_D} \implies N_D = \frac{2}{q \varepsilon_s \left| \frac{d(1/C_j^2)}{dV} \right|}$ 此方法可用於萃取輕摻雜側的雜質濃度分佈及接面內建電位。

解題方法

(一) 空乏區 $W$ 主要發生在哪一部分？（5 分）

1. 電荷平衡分析： 根據空乏區內部的總電荷守恆（電中性條件）： $Q_+ = |Q_-| \implies q A x_n N_D = q A x_p N_A$ 消去電子電量 $q$ 與接面截面積 $A$，得： $\frac{x_n}{x_p} = \frac{N_A}{N_D}$
2. 單邊接面極限推導： 由於本題為 $p^+n$ 二極體，代表 $p$ 側為重摻雜、$n$ 側為輕摻雜，即： $N_A \gg N_D \implies \frac{N_A}{N_D} \gg 1 \implies x_n \gg x_p$
3. 結論： 總空乏區寬度為 $W = x_p + x_n \approx x_n$。 因此，空乏區 $W$ 主要擴展並發生在輕摻雜的 $n$ 型半導體區域（$n$-side）。

(二) 請寫出空乏區與載子濃度之關係式。（5 分）

1. 一般突變接面公式： 由一維卜松方程式 $\frac{d^2\phi}{dx^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_s}$ 積分兩次，配合邊界條件，可得突變接面之總空乏區寬度 $W$ 為： $W = \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s (V_{bi} - V)}{q} \left(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\right)}$ 其中：

• $\varepsilon_s$：半導體介電係數（$\varepsilon_s = \varepsilon_r \varepsilon_0$）
• $q$：基本電荷量（$1.6 \times 10^{-19}\text{ C}$）
• $V_{bi}$：內建電位（$V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)$）
• $V$：外加偏壓（逆向偏壓時設逆向偏壓值為 $V_R$，則電位差項為 $V_{bi} + V_R$）

2. 針對 $p^+n$ 二極體的簡化關係式： 因為 $N_A \gg N_D$，使 $\frac{1}{N_A} \ll \frac{1}{N_D}$，項次 $\left(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\right) \approx \frac{1}{N_D}$。 故 $p^+n$ 二極體的空乏區與載子濃度之簡化關係式為： $W \approx \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s (V_{bi} - V)}{q N_D}}$ 在熱平衡狀態下（未加外加偏壓，$V = 0$）： $W \approx \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s V_{bi}}{q N_D}}$ 由此可知：空乏區寬度與輕摻雜側的載子濃度 $N_D$ 的平方根成反比（$W \propto N_D^{-1/2}$）。

(三) 此說明可用何種電容量測方式分析載子濃度與 $p^+n$ 二極體相關之元件的哪種特性？（10 分）

1. 所使用的電容量測方式： 此量測技術稱為電容—電壓量測法（$C$-$V$ Measurement），或稱為微分電容摻雜輪廓分析法（$C$-$V$ Profiling Technique）。

• 量測原理：在元件兩端施加直流逆向偏壓（DC Reverse Bias）以調變空乏區寬度 $W$，同時疊加微小的交流高頻訊號（小訊號 AC Signal，通常頻率為 $1\text{ MHz}$）來感應空乏區邊緣電荷微量變化，藉此測得不同偏壓下的接面空乏電容 $C_j$。
• 數學推導： 單位面積接面電容為： $C_j = \frac{\varepsilon_s}{W} = \sqrt{\frac{q \varepsilon_s N_D}{2 (V_{bi} - V)}}$ 將上式兩邊取平方並取倒數：

核心觀念

本題評量 MOS（金屬-氧化物-半導體）結構中氧化層電容之基本物理特性與電荷儲存原理，主要涵蓋以下公式與常數：

1. 平行板電容公式（氧化層電容）： $C = \frac{\varepsilon_{\mathrm{ox}} A}{t_{\mathrm{ox}}} = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 A}{t_{\mathrm{ox}}}$ 其中 $\varepsilon_r$ 為二氧化矽之相對介電常數（3.9），$\varepsilon_0$ 為真空介電常數（$\approx 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ 或 $8.854 \times 10^{-14}\,\mathrm{F/cm}$），$A$ 為電容面積，$t_{\mathrm{ox}}$ 為氧化層厚度。
2. 電容儲存電荷公式： $Q = C V$ 在未給定基底摻雜濃度及平帶電壓（Flat-band voltage, $V_{\mathrm{FB}}$）的簡化題型中，外加電壓 $V$ 視為全數降落在氧化層兩端。
3. 電子數與電荷之量子化關係： $N = \frac{Q}{q}$ 其中 $q$ 為基本電荷電量（$q \approx 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$）。

解題方法

步驟一：統一單位並計算氧化層總電容 $C$

將題目給定之幾何參數換算為國際標準單位（SI 制）：

• 面積 $A = 4\,\mu\mathrm{m}^2 = 4 \times (10^{-6}\,\mathrm{m})^2 = 4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^2$
• 氧化層厚度 $t_{\mathrm{ox}} = 10\,\mathrm{nm} = 10 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 10^{-8}\,\mathrm{m}$
• 介電質介電常數 $\varepsilon_{\mathrm{ox}} = \varepsilon_r \varepsilon_0 = 3.9 \times 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{F/m} \approx 3.453 \times 10^{-11}\,\mathrm{F/m}$

代入電容公式： $C = \frac{3.453 \times 10^{-11}\,\mathrm{F/m} \times 4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^2}{10^{-8}\,\mathrm{m}} = 1.3812 \times 10^{-14}\,\mathrm{F} = 13.812\,\mathrm{fF}$