113 高普考高考三級 漁業技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查母體比例的信賴區間，以及以二項分配描述達標魚尾數，並以常態分配近似計算機率。

令 $p$ 為池中魚群達販售標準的母體比例。隨機抽取 $n=100$ 尾，其中達標比例為 $\hat p=0.64$。正式捕撈時，若每尾魚達標機率仍為 $p=0.64$，則達標尾數可用二項分配建模。

（一）母體比例的 95% 信賴區間

樣本數夠大時，母體比例的近似 $95\%$ 信賴區間為

$$\hat p \pm z_{0.975} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},$$

其中 $z_{0.975}=1.96$。代入資料：

$$\text{標準誤} =\sqrt{\frac{0.64(1-0.64)}{100}} =\sqrt{0.002304} =0.048.$$

因此誤差界為

$$1.96(0.048)=0.09408,$$

信賴區間為

$$0.64\pm 0.09408 =(0.54592,\ 0.73408).$$

換算成百分比，池中達販售標準的魚群比例之 $95\%$ 信賴區間約為 54.6% 至 73.4%。

（二）達標尾數大於 380 尾且小於等於 425 尾的機率

令 $X$ 為正式捕撈的 $625$ 尾魚中達標的尾數。依題意以樣本比例代表母體比例，取 $p=0.64$，則

$$X\sim\operatorname{Binomial}(625,0.64).$$

所求事件為 $380<X\le 425$，因 $X$ 為整數，等同於 $381\le X\le425$。直接計算二項機率可寫成

核心觀念

本題考兩獨立樣本平均數差的標準誤，以及在兩母體變異數相等假設下的合併變異數 $t$ 檢定。題目已提供平均數差的 $95\%$ 信賴區間，且兩組變異數不具顯著差異，因此採用等變異數的兩樣本 $t$ 方法。

新飼料是否「具有增重成效」是檢驗 A 組平均體重是否高於 B 組，故採單尾檢定：

$$H_0:\mu_A-\mu_B\le 0,\qquad H_1:\mu_A-\mu_B>0$$

解題方法

（一）平均體重差的標準誤

等變異數兩樣本平均數差的 $95\%$ 信賴區間為：

$$(\bar{x}_A-\bar{x}_B)\pm t_{0.975,\;n_A+n_B-2}\,SE$$

兩組樣本數為 $n_A=8$、$n_B=10$，自由度為：

$$df=n_A+n_B-2=16$$

信賴區間上下界為 $-0.72$ 與 $24.72$，區間半寬為：

$$\frac{24.72-(-0.72)}{2}=12.72$$

因此：

$$12.72=t_{0.975,16}\,SE$$

查 $t$ 分配表得 $t_{0.975,16}\approx 2.120$，故：

$$SE=\frac{12.72}{2.120}=6.00\text{ 公克}$$

（二）新飼料增重成效檢定

檢定統計量為：

核心觀念

本題考兩個比例比較方法：

1. 兩個獨立樣本比例檢定：比較中部與北部雌魚比例是否有差異，依題意進行單尾檢定。
2. $3\times2$ 列聯表卡方同質性檢定：檢定北、中、南三個海域的雌雄比例組成是否相同。

各海域樣本數及雌魚數如下：

海域	樣本數	雌魚	雄魚
北部	200	63	137
中部	200	81	119
南部	600	256	344
合計	1,000	400	600

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（一）中部雌魚比例是否顯著高於北部

令 $p_C$、$p_N$ 分別代表中部、北部海域的雌魚母體比例。設定假設：

$$H_0:p_C=p_N,\qquad H_1:p_C>p_N$$

這是右尾的兩樣本比例 $z$ 檢定。在虛無假設下，兩組比例相同，使用合併比例估計共同比例：

$$\hat p=\frac{x_C+x_N}{n_C+n_N} =\frac{81+63}{200+200}=0.36$$

其標準誤為：

$$SE=\sqrt{\hat p(1-\hat p) \left(\frac{1}{n_C}+\frac{1}{n_N}\right)} =\sqrt{0.36(0.64)\left(\frac{1}{200}+\frac{1}{200}\right)} =0.048$$

樣本比例為：

$$\hat p_C=\frac{81}{200}=0.405,\qquad \hat p_N=\frac{63}{200}=0.315$$

檢定統計量：

$$z=\frac{\hat p_C-\hat p_N}{SE} =\frac{0.405-0.315}{0.048}=1.875$$

顯著水準 $\alpha=0.05$ 的右尾臨界值為 $z_{0.95}=1.645$。由於 $1.875>1.645$，拒絕 $H_0$。其單尾 $p$ 值約為 $0.030$，亦小於 $0.05$。

**結論：**在顯著水準 $0.05$ 下，有足夠統計證據支持中部海域的雌魚比例顯著高於北部海域。

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（二）北、中、南海域的雌雄比例組成是否有差異

以列聯表卡方同質性檢定比較三個海域的雌雄比例。假設為：

$$H_0:\text{三個海域的雌雄比例組成相同}$$ $$H_1:\text{至少一個海域的雌雄比例組成不同}$$

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸與迴歸整體顯著性檢定。

以 $X$ 預測 $Y$ 的迴歸斜率為 $b=r(s_Y/s_X)$，截距為 $a=\bar Y-b\bar X$。其中 $r$ 是皮爾森相關係數，$s_X$、$s_Y$ 分別是 $X$、$Y$ 的標準差。

迴歸整體顯著性檢定用來判斷 $X$ 是否能顯著解釋 $Y$ 的變異。簡單線性迴歸只有一個解釋變數，其檢定統計量為

$$F=\frac{R^2/1}{(1-R^2)/(n-2)}$$

在虛無假設成立時，$F$ 服從自由度為 $(1,n-2)$ 的 $F$ 分配。

（一）求迴歸方程式

已知 $n=11$、$\bar X=57$、$s_X=8$、$\bar Y=89$、$s_Y=15$、$r=0.8$。

斜率為

$$b=r\frac{s_Y}{s_X} =0.8\frac{15}{8} =1.5$$

截距為

$$a=\bar Y-b\bar X =89-(1.5)(57) =3.5$$

因此迴歸方程式為

$$\boxed{\hat Y=3.5+1.5X}$$

（二）檢定迴歸模式的整體解釋能力

假設與檢定方法

檢定整體迴歸模式是否具有顯著解釋能力：

• 虛無假設：$H_0:\beta_1=0$，亦即 $X$ 對 $Y$ 沒有線性解釋能力。
• 對立假設：$H_1:\beta_1\ne 0$，亦即 $X$ 對 $Y$ 具有線性解釋能力。