111 高普考高考三級 漁業技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

1. 樣本平均數之抽樣分布（Sampling Distribution of the Sample Mean） 若母體隨機變數 $X$ 服從常態分布，即 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則由該母體中隨機抽取容量為 $n$ 的樣本，其樣本平均數 $\bar{X}$ 亦精確服從常態分布： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \sigma_{\bar{X}}^2\right)$ 其中 $\mu$ 為母體平均數，$\sigma_{\bar{X}}$ 為樣本平均數的標準差（稱為標準誤，Standard Error, SE）。

2. 標準誤（Standard Error）與有限母體修正因子（FPCF）

• 無限母體或抽樣比例極小：標準誤公式為 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
• 有限母體不放回抽樣：當母體總數 $N$ 已知且抽樣比例 $\frac{n}{N} > 5\%$ 時，需乘以有限母體修正因子（Finite Population Correction Factor, FPCF）： $\text{FPCF} = \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}$
• 本題抽樣比例 $\frac{n}{N} = \frac{16}{500} = 3.2\% \le 5\%$，依國家考試與生物統計學慣例，修正因子效果極微，可直接採用無限母體假設進行計算；若予以精確修正亦同屬正確。

3. 標準常態轉換（Z-Transformation） 由於 $\bar{X}$ 服從常態分布，可將其轉化為標準常態變數 $Z \sim N(0, 1)$ 以計算累積機率： $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$

解題方法

一、 已知條件整理

• 母體大小：$N = 500$
• 母體平均數：$\mu = 3000\text{ 公克}$
• 母體標準差：$\sigma = 450\text{ 公克}$
• 樣本數：$n = 16$
• 檢定目標：計算 $P(\bar{X} \le 2800)$

二、 標準解法（未施加有限母體修正，抽樣率 $\frac{n}{N} = 3.2\% < 5\%$）

1. 求樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分布

• 期望值：$\mu_{\bar{X}} = \mu = 3000$
• 標準誤： $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{450}{\sqrt{16}} = \frac{450}{4} = 112.5\text{ 公克}$
• 因此，$\bar{X} \sim N(3000, 112.5^2)$。

2. 計算標準化 $Z$ 值 求 $\bar{X} = 2800$ 時對應的 $Z$ 分數： $Z = \frac{2800 - 3000}{112.5} = \frac{-200}{112.5} = -\frac{16}{9} \approx -1.78$

3. 查表求累積機率 查標準常態累積分布表（$Z$ 表）：

核心觀念

本題考查：

1. 單一母體平均數的右尾 $t$ 檢定。
2. 由平均數的 $95\%$ 信賴區間反推標準誤與樣本標準差。
3. 兩獨立樣本、常態分布且變異數相等時的 pooled two-sample $t$ 檢定。

表中數值已四捨五入，因此計算結果取近似值。

（一）地中海型飲食組起始腰圍是否較高

設地中海型飲食組臨床試驗開始前的母體平均腰圍為 $\mu$。

假設

這是右尾單一樣本 $t$ 檢定。

已知：

樣本平均數的標準誤為：

檢定統計量：

自由度：

在 $\alpha=0.05$ 的右尾檢定下：

因為：

故不拒絕 $H_0$。

結論

雖然樣本平均腰圍 $95.2$ 公分高於全國男性平均腰圍 $92.0$ 公分，但在 $5\%$ 顯著水準下，沒有足夠統計證據證明地中海型飲食組男性病人的平均腰圍顯著較高。

（二）腰圍變化的標準差與標準誤

腰圍變化平均數的 $95\%$ 信賴區間為：

其中：

因此：

又因為 $SE=s/\sqrt{n}$，所以：

1. 地中海型飲食組

信賴區間為 $(-0.12,0.87)$，半寬為：

標準誤：

標準差：

所以：

2. 一般減脂飲食組

信賴區間為 $(0.68,1.72)$，半寬為：

標準誤：

標準差：

所以：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸、迴歸變異數分析及決定係數。

簡單線性迴歸模型為：

其中迴歸斜率估計值為：

且：

決定係數為：

（一）估計迴歸係數 $b_1$

已知：

• $n=60$
• $s_X=16.77$
• $S_{XY}=782.06$

先計算 $X$ 的離均差平方和：

因此：

所以：

（二）迴歸直線的顯著性與 $b_1$ 的意義

1. 完成變異數分析表

簡單線性迴歸只有一個自變數，因此：

• 迴歸自由度：$1$
• 誤差自由度：$n-2=58$
• 總和自由度：$n-1=59$

已知：

• $MSR=36.88077$
• $MSE=1.95036$

因此：

變異數分析表為：

2. 顯著性檢定

檢定假設為：

核心觀念

1. 雙母體比例差之 Z 檢定（Two-Sample Z-Test for Proportions） 本題旨在比較兩個獨立母體（醫療工作者 vs. 政府公共衛生部門工作者）的二元類別變數（是否具有疫苗猶豫）之母體比例 $p_1$ 與 $p_2$ 是否存在顯著差異。
2. 假設檢定標準五大步驟

• 建立母體參數之虛無假設（$H_0$）與對立假設（$H_1$）。
• 設定顯著水準 $\alpha = 0.05$。
• 述明檢定統計量公式及其所需的前提假設條件。
• 計算合併樣本比例（Pooled Proportion）與檢定統計量數值。
• 比較臨界值（Critical Value）或 $p\text{-value}$，做出統計決策並下實質結論。

解題方法

第一步：定義母體參數與樣本數據

• 群組 1（醫療工作者）：母體疫苗猶豫比例為 $p_1$；樣本數 $n_1 = 800$，猶豫人數 $x_1 = 104$，樣本比例 $\hat{p}_1 = \frac{104}{800} = 0.13$。
• 群組 2（政府公衛部門工作者）：母體疫苗猶豫比例為 $p_2$；樣本數 $n_2 = 200$，猶豫人數 $x_2 = 20$，樣本比例 $\hat{p}_2 = \frac{20}{200} = 0.10$。
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$。

第二步：建立虛無假設與對立假設

• 虛無假設（$H_0$）：$p_1 = p_2$（或 $p_1 - p_2 = 0$，即醫療人員與政府公衛部門工作人員的疫苗猶豫比例無差異）
• 對立假設（$H_1$）：$p_1 \neq p_2$（或 $p_1 - p_2 \neq 0$，即醫療人員與政府公衛部門工作人員的疫苗猶豫比例有顯著差異，雙尾檢定）

第三步：計算該統計量所需的假設條件（Assumptions）

進行雙母體比例差之大樣本 Z 檢定，資料需滿足以下前提條件：

1. 獨立隨機抽樣（Independent Random Sampling）：兩組樣本必須各自獨立抽樣，且組內個體觀察值相互獨立。
2. 二元觀察值（Binomial Data）：每位受訪者的結果皆為互斥的二元類別（有疫苗猶豫 vs. 無疫苗猶豫）。
3. 大樣本常態近似條件（Large Sample Condition / Central Limit Theorem）： 在虛無假設下，兩組的期望成功人數與期望失敗人數均須大於或等於 5： $n_1 \bar{p} \ge 5, \quad n_1 (1-\bar{p}) \ge 5$ $n_2 \bar{p} \ge 5, \quad n_2 (1-\bar{p}) \ge 5$ 本題經合併比例計算後，最小之期望人數為 $200 \times 0.124 = 24.8 \ge 5$，完全滿足中央極限定理之常態近似條件。

第四步：檢定統計量公式與計算過程

1. 計算合併樣本比例（Pooled Sample Proportion $\bar{p}$）： 在 $H_0: p_1 = p_2$ 成立的前提下，兩母體比例相同，需將兩組樣本合併估計共用比例： $\bar{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{104 + 20}{800 + 200} = \frac{124}{1000} = 0.124$ $1 - \bar{p} = 1 - 0.124 = 0.876$

2. 檢定統計量（Z 統計量）公式： $Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$

3. 數值代入與計算：

• 樣本比例差：$\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0.13 - 0.10 = 0.03$
• 樣本數權重因子：$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} = \frac{1}{800} + \frac{1}{200} = \frac{1 + 4}{800} = \frac{5}{800} = 0.00625$
• 標準误（Standard Error, $SE$）： $SE = \sqrt{0.124 \times 0.876 \times 0.00625} = \sqrt{0.108624 \times 0.00625} = \sqrt{0.0006789} \approx 0.026056$
• 檢定統計量數值： $Z = \frac{0.03}{0.026056} \approx 1.1514$