110 高普考高考三級 漁業技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查假設檢定中的統計檢力（statistical power）及其影響因素。

統計檢力定義為：

$$\text{Power}=P(\text{拒絕虛無假設}\mid H_1\text{為真})$$

亦即，在 drug A 與 drug B 確實存在差異時，檢定能正確發現差異的機率。

其互補值為第二類錯誤機率 $\beta$：

$$\text{Power}=1-\beta$$

本題的統計檢力僅為 $0.09$，表示在真實平均收縮壓差異為 $5\text{ mmHg}$ 的條件下，研究僅有約 $9\%$ 的機率能在 $\alpha=0.01$ 的雙尾檢定中發現統計顯著差異，第二類錯誤機率約為：

$$\beta=1-0.09=0.91$$

因此，本研究的樣本數、顯著水準及研究設計不足以有效辨識 drug A 與 drug B 的差異。

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題目資料與檢定架構

已知：

• drug A 的平均收縮壓：$\mu_A=120$
• drug B 的樣本平均：$\bar{x}_B=115$
• 樣本標準差：$s=20$
• 樣本數：$n=25$
• 平均差異：

$$\Delta=120-115=5\text{ mmHg}$$

• 樣本平均的標準誤：

$$SE=\frac{s}{\sqrt{n}} =\frac{20}{\sqrt{25}} =\frac{20}{5} =4$$

雙尾假設檢定可寫為：

$$H_0:\mu_B=\mu_A=120$$ $$H_1:\mu_B\ne\mu_A$$

檢定統計量為：

$$t=\frac{\bar{x}_B-\mu_A}{s/\sqrt{n}} =\frac{115-120}{20/5} =\frac{-5}{4} =-1.25$$

自由度為：

$$df=n-1=24$$

在 $\alpha=0.01$ 的雙尾檢定下，臨界值約為：

$$\pm t_{0.995,24}=\pm 2.797$$

因為：

$$|t|=1.25<2.797$$

所以無法拒絕 $H_0$，表示 drug A 與 drug B 的血壓控制效果在本研究中未達統計顯著差異。

99%信賴區間為：

$$115\pm 2.797\left(\frac{20}{\sqrt{25}}\right) =115\pm 11.188$$

因此：

$$103.8\leq \mu_B\leq 126.2$$

此區間包含 drug A 的平均值 $120$，與雙尾假設檢定未達顯著的結論一致。

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提高統計檢力的方法

一、增加樣本數

統計檢力最直接、最重要的提升方式是增加樣本數。

平均值的標準誤為：

$$SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

當 $n$ 增加時，標準誤會下降，檢定統計量的絕對值會增加，信賴區間也會變窄，因此較容易發現真實存在的差異。

本題的標準化效果量約為：

$$d=\frac{\mu_B-\mu_A}{\sigma} =\frac{115-120}{20} =-0.25$$

其絕對值為 $0.25$，屬於偏小的效果量。若效果差異只有 $5\text{ mmHg}$，便需要較大的樣本數才能穩定偵測。

樣本數增加的結果包括：

1. 降低抽樣誤差。
2. 降低第二類錯誤機率 $\beta$。
3. 提高統計檢力 $1-\beta$。
4. 使信賴區間縮短。
5. 增加研究結果的精確度與穩定性。

實務上應在研究開始前依據預期效果量、標準差、顯著水準及目標檢力進行樣本數估計，而不是等到研究未達顯著後才單純增加樣本。

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二、提高顯著水準 $\alpha$

在其他條件不變時，提高 $\alpha$ 會使拒絕域擴大，因此較容易拒絕虛無假設，統計檢力也會提高。

例如，將顯著水準由：

$$\alpha=0.01$$

提高為：

$$\alpha=0.05$$

雙尾檢定的臨界值會由約 $\pm 2.797$ 降低至約 $\pm 2.064$（以 $df=24$ 為例），較容易達到統計顯著。

但提高 $\alpha$ 的代價是第一類錯誤機率增加：

$$\alpha=P(\text{拒絕真實的 }H_0)$$

本題採用 $\alpha=0.01$，是較嚴格的顯著標準，因此檢力自然低於相同條件下使用 $\alpha=0.05$ 的研究。

然而，不能在看到研究結果未達顯著後才事後調高 $\alpha$。顯著水準應在研究開始前預先訂定，並依研究目的、錯誤成本及臨床重要性決定。

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三、在有充分科學依據時改採單尾檢定

本題使用雙尾檢定：

$$H_1:\mu_B\ne\mu_A$$

若研究目的在研究開始前已明確限定為 drug B 只能改善血壓，例如：

$$H_1:\mu_B<\mu_A$$

則可採用左尾檢定。在相同的總顯著水準下，單尾檢定將全部拒絕域放在一側，臨界值絕對值較小，因此針對預期方向的差異具有較高檢力。

以 $\alpha=0.01$、$df=24$ 為例：

• 雙尾檢定臨界值約為 $\pm 2.797$
• 單尾檢定臨界值約為 $-2.492$

本題的檢定統計量為 $t=-1.25$，即使改採左尾檢定，仍未達顯著；但在相同樣本數及效果量下，單尾檢定的檢力會高於雙尾檢定。

單尾檢定的限制是：研究者必須在觀察資料前，就根據藥理機制或研究假說預先指定方向。若 drug B 可能使血壓升高也具有重要意義，則不適合使用單尾檢定，因為單尾檢定不會對反方向差異提供同等的顯著性判定。

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四、降低資料變異程度

檢定統計量可表示為：

$$t=\frac{\bar{x}_B-\mu_A}{s/\sqrt{n}}$$

在平均差異固定時，若標準差 $s$ 降低，分母變小，$|t|$ 會變大，統計檢力便會提高。

降低變異的方法包括：

1. 使用較一致的研究對象，例如限制年齡、病程、疾病嚴重程度或共病症。
2. 制定明確的納入與排除條件。
3. 統一藥物劑量、治療期間與服藥遵從性。
4. 使用標準化且信度較高的血壓測量程序。
5. 固定測量時間與測量環境。
6. 對同一病人進行多次測量，再使用平均值代表其血壓。
7. 避免研究流程及測量人員造成的操作差異。

核心觀念

本題檢定單一母體比例，研究的是該醫學中心急診醫師將心臟病發作誤診為消化不良的比例 $p$，是否低於全國基準比例 $p_0=0.06$。

適用「單一母體比例之 $Z$ 檢定」：

$$Z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

其中：

• $n=900$：樣本數
• $x=45$：誤診人數
• $\hat p=\dfrac{x}{n}=\dfrac{45}{900}=0.05$
• $p_0=0.06$：全國誤診率

本題為左尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.01$。

解題方法

（一）虛無假設與對立假設

令 $p$ 表示該醫學中心的誤診率。

$$H_0:p=0.06$$ $$H_1:p<0.06$$

嚴格寫法亦可表示為：

$$H_0:p\geq 0.06,\qquad H_1:p<0.06$$

檢定重點是判斷樣本觀察到的 $5\%$，是否足以支持「低於全國 $6\%$」的主張。

（二）統計量及其假設

樣本比例為：

$$\hat p=\frac{45}{900}=0.05$$

在虛無假設成立下，比例的標準誤為：

$$SE=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} =\sqrt{\frac{0.06(0.94)}{900}}$$ $$SE=\sqrt{0.0000626667}\approx 0.00792$$

因此檢定統計量為：

$$Z=\frac{0.05-0.06}{0.00792} \approx -1.26$$

使用此常態近似檢定需要下列假設：

1. 每位病人的診斷結果可視為一次成功或失敗的 Bernoulli 試驗。
2. $900$ 位病人的結果彼此獨立，且具有相同的誤診機率 $p$。
3. 樣本數足夠大，使二項分配可用常態分配近似。依虛無假設檢查：

$$np_0=900(0.06)=54$$ $$n(1-p_0)=900(0.94)=846$$

兩者均大於 $5$，甚至大於 $10$，故常態近似適當。

核心觀念

本題以三位教授的修課人數代表受歡迎程度，檢定三位教授是否具有相同的受歡迎程度，適用「卡方適合度檢定」：

• 虛無假設成立時，三位教授受歡迎程度相同。
• 因此，總修課人數應平均分配至三位教授。
• 觀察次數為各教授實際修課人數，期望次數為總人數除以教授人數。

解題方法與計算

（一）虛無假設與對立假設

設三位教授受歡迎程度所占比例分別為 $p_A,p_B,p_C$。

$$H_0:p_A=p_B=p_C=\frac{1}{3}$$

表示三位教授的受歡迎程度相同。

$$H_1:\text{三位教授的受歡迎程度不完全相同}$$

（二）計算期望次數

總修課人數為：

$$32+25+10=67$$

在 $H_0$ 下，三位教授的期望修課人數均為：

$$E_i=\frac{67}{3}=22.333$$

整理如下：

教授	觀察次數 $O_i$	期望次數 $E_i$
A	32	$22.333$
B	25	$22.333$
C	10	$22.333$

（三）統計量的數值

卡方統計量為：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{3}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

代入資料：

$$\begin{aligned} \chi^2 &=\frac{(32-22.333)^2}{22.333} +\frac{(25-22.333)^2}{22.333} +\frac{(10-22.333)^2}{22.333}\\ &=\frac{(9.667)^2}{22.333} +\frac{(2.667)^2}{22.333} +\frac{(-12.333)^2}{22.333}\\ &\approx 4.185+0.318+6.810\\ &\approx 11.31 \end{aligned}$$

因此，統計量為：

$$\boxed{\chi^2=11.31}$$

自由度為：

核心觀念

本題考查多元一般線性迴歸的迴歸方程式寫法，以及迴歸係數的顯著性檢定。

令：

• $Y=\text{depression}$：憂鬱症狀分數
• $X_1=\text{BMI}$：身體質量指數
• $X_2=\text{poverty}$：是否來自貧窮線以下家庭，假設 $poverty=1$ 表示「是」，$poverty=0$ 表示「否」

一般線性迴歸模式為：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\varepsilon$$

其中，$H_0:\beta_j=0$，以 $t$ 檢定或對應的 $p$ 值判斷迴歸係數是否顯著。當 $p<0.05$ 時，拒絕虛無假設，表示該變項與應變項間具有統計上顯著的線性關係。

本題為申論題，沒有選項可逐一分析。

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解題方法

先依據各模式的 Estimate 欄位，將截距與各自變項係數代入迴歸方程式；再比較 BMI 係數的 $p$ 值與顯著水準 $\alpha=0.05$。

判斷原則如下：

1. BMI 係數為正：BMI 增加時，預測的憂鬱症狀分數增加。
2. BMI 的 $p$ 值小於 $0.05$：BMI 與憂鬱症狀分數的線性關係達統計顯著。
3. BMI 的 $p$ 值大於或等於 $0.05$：控制其他變項後，沒有足夠證據認定 BMI 與憂鬱症狀分數具有顯著線性關係。
4. 模式二中的 BMI 係數，代表在控制 poverty 相同之下，BMI 對 depression 的部分迴歸效果。

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模式一迴歸方程式與解釋

模式一未控制 poverty，僅納入 BMI，因此迴歸方程式為：

$$\widehat{\text{depression}} = 0.0112+0.0065(\text{BMI})$$

若以母體模式表示，則為：

$$\text{depression} = 0.0112+0.0065(\text{BMI})+\varepsilon$$

其中：

• 截距 $0.0112$：當 BMI 等於 $0$ 時，預測的 depression 分數為 $0.0112$。由於 BMI 等於 $0$ 缺乏實際意義，截距主要是迴歸方程式中的基準項。
• BMI 係數 $0.0065$：BMI 每增加 $1$ 單位，平均而言，預測的 depression 分數增加 $0.0065$ 分。

BMI 的檢定結果為：

$$t=3.15,\qquad p=0.0017$$

因為：

$$0.0017<0.05$$

所以拒絕 $H_0:\beta_{\text{BMI}}=0$。在模式一中，BMI 與憂鬱症狀分數呈現統計上顯著的正向線性關係；BMI 越高者，其憂鬱症狀分數平均越高。

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模式二迴歸方程式與解釋

模式二同時控制 BMI 與 poverty，迴歸方程式為：

$$\widehat{\text{depression}} = 0.2167+0.0038(\text{BMI})-0.1857(\text{poverty})$$

若以母體模式表示，則為：

$$\text{depression} = 0.2167+0.0038(\text{BMI})-0.1857(\text{poverty})+\varepsilon$$

各係數意義如下：

• 截距 $0.2167$：當 BMI 等於 $0$，且 $poverty=0$ 時，預測的 depression 分數為 $0.2167$。