111 高普考高考三級 衛生技術 生物統計學（含流行病學） 考古題詳解

核心觀念

盒鬚圖以第一四分位數 $Q_1$、中位數 $Q_2$、第三四分位數 $Q_3$ 描述資料分布。四分位距為

界外值判定界限為

落在界限之外的觀測值標示為界外值；鬚端則延伸至界限內最遠的實際觀測值。

解題方法

先將 24 個 CT 值由小到大排列：

依盒鬚圖的四分位數算法，將資料分成前、後各 12 個數：

• $Q_1$ 是前 12 個數的中位數：$\frac{11+12}{2}=11.5$。
• $Q_2$ 是全體資料的中位數：$\frac{13+14}{2}=13.5$。

本題探討兩種癌症臨床治療方案（A 與 B）處置後，腫瘤細胞體積之變異數同質性與平均效果差異。依題意整理已知統計量如下：

1. A 治療方案：

• 樣本平均數：$\bar{X}_A = 6.4$
• 平均數標準誤：$SE_A = 0.70$
• 自由度：$df_A = n_A - 1 = 12 \implies$ 樣本數 $n_A = 13$
• 樣本變異數：因 $SE_A = \frac{s_A}{\sqrt{n_A}}$，故 $s_A^2 = n_A \times (SE_A)^2 = 13 \times (0.70)^2 = 13 \times 0.49 = 6.37$

2. B 治療方案：

• 樣本平均數：$\bar{X}_B = 5.2$
• 平均數標準誤：$SE_B = 0.83$
• 自由度：$df_B = n_B - 1 = 24 \implies$ 樣本數 $n_B = 25$
• 樣本變異數：因 $SE_B = \frac{s_B}{\sqrt{n_B}}$，故 $s_B^2 = n_B \times (SE_B)^2 = 25 \times (0.83)^2 = 25 \times 0.6889 = 17.2225$

（一）腫瘤細胞體積在兩種治療方案之間的變異數是否具有顯著差異？

核心觀念

• 兩獨立常態母體變異數比之 $F$ 檢定（$F$-test for equality of two variances）： 在雙母體為常態分佈且互相獨立的假設下，檢驗兩組樣本變異數之比值是否顯著偏離 1。
• 檢定統計量定義為兩組樣本變異數之比： $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F(df_1, df_2)$ 實務習慣將較大之樣本變異數置於分子，以利利用右尾臨界值進行雙尾檢定判定。

解題方法

步驟一：建立統計假設

• 虛無假說（$H_0$）：$\sigma_A^2 = \sigma_B^2$（兩種治療方案之腫瘤細胞體積變異數無顯著差異）
• 對立假說（$H_1$）：$\sigma_A^2 \neq \sigma_B^2$（兩種治療方案之腫瘤細胞體積變異數具有顯著差異）
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$（雙尾檢定）

步驟二：計算檢定統計量 $F$ 因為 $s_B^2 = 17.2225 > s_A^2 = 6.37$，將變異數較大之 B 組放分子、A 組放分母： $F = \frac{s_B^2}{s_A^2} = \frac{17.2225}{6.37} \approx 2.704$ 該統計量在 $H_0$ 成立下服從自由度 $df_1 = 24$、$df_2 = 12$ 的 $F$ 分佈。

步驟三：決定拒絕域與決策準則

• 本題為雙尾檢定，顯著水準 $\alpha = 0.05$。將較大變異數置於分子時，右尾臨界值取上尾截切機率 $\alpha/2 = 0.025$ 之分位數： $F_{\text{critical}} = F_{24, 12, 1 - \alpha/2} = F_{24, 12, 0.975} = 3.02$
• 拒絕域判定：若 $F \ge 3.02$，則拒絕 $H_0$。

步驟四：統計推論與結論

• 計算得 $F = 2.704 < 3.02$，未落入拒絕域。
• 在 $\alpha = 0.05$ 顯著水準下，無法拒絕虛無假說（$p\text{-value} > 0.05$）。
• 結論：尚無充分證據顯示兩種治療方案的腫瘤細胞體積變異數具有顯著差異（即滿足等變異數同質性假設）。

解題技巧

1. 臨界值選取竅門：題目給出 $F_{24,12,0.95}=2.51$ 與 $F_{24,12,0.975}=3.02$。若為單尾檢定才對應 0.95；題目詢問「是否具有顯著差異」屬雙尾檢定，雙尾 $\alpha=0.05$ 的單側尾端機率為 $0.025$，因此務必選用累積機率為 $0.975$ 的 $F_{24,12,0.975} = 3.02$。
2. 分子分母對應：題目附註之自由度為 $(24, 12)$，提示分子自由度為 24（B 方案）、分母自由度為 12（A 方案），這與「大變異數放分子」的常規解法完全契合。

（二）A 與 B 方案對腫瘤細胞體積的治療效果是否顯著不等？

核心觀念

• 兩獨立樣本 $t$ 檢定（Two-sample $t$-test）： 檢驗兩獨立組別之母體平均數是否有顯著差異。
• 依據第（一）小題結論，兩組之母體變異數未達顯著差異（$\sigma_A^2 = \sigma_B^2$），故採用等變異數假設下的合併變異數雙樣本 $t$ 檢定（Pooled-variance two-sample $t$-test）。
• 若考慮變異數不等，則採用 Welch's $t$ 檢定（題目亦貼心備妥對應自由度的臨界值，兩者結論完全一致）。

解題方法

核心觀念

1. 樣本變異數（Sample Variance, $s^2$）： 衡量資料離散程度的統計量，樣本變異數計算公式為： $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n - 1} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^n X_i)^2}{n}}{n - 1}$ 式中分母為自由度 $n - 1$。
2. 四分位差（Quartile Deviation, $QD$）與四分位距（Interquartile Range, $IQR$）：

• 第一四分位數（$Q_1$）：資料由小到大排序後第 $25\%$ 位置的值。
• 第三四分位數（$Q_3$）：資料由小到大排序後第 $75\%$ 位置的值。
• 四分位距（$IQR$）：$IQR = Q_3 - Q_1$。
• 四分位差（$QD$）：嚴謹統計學定義為半四分位距（Semi-interquartile range），即 $QD = \frac{Q_3 - Q_1}{2} = \frac{IQR}{2}$。（註：部分國內教材偶有將 $IQR$ 逕稱為四分位差的情形，作答時兩者並陳最為穩妥）。

3. 雙母體比例檢定之卡方獨立性檢定（Chi-Square Test of Independence）： 適用於 $2 \times 2$ 列聯表（Contingency Table），檢定兩類別變項是否獨立或兩母體比例是否同質：

• 虛無假說 $H_0: p_1 = p_2$；對立假說 $H_1: p_1 \neq p_2$。
• 自由度 $df = (r - 1)(c - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1$。
• $2 \times 2$ 列聯表的 Pearson 卡方統計量捷徑公式： $\chi^2 = \frac{N(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 其中 $a, b, c, d$ 為四格實際觀察次數，$N = a + b + c + d$。

解題方法

（一）A 樣本變異數與 B 樣本四分位差之計算

1. A 樣本 DEHP 的變異數

A 樣本數據（$n_A = 12$）：$12, 10, 6, 25, 3, 30, 66, 13, 9, 17, 15, 33$。

• 計算總和 $\sum X$： $\sum X = 12 + 10 + 6 + 25 + 3 + 30 + 66 + 13 + 9 + 17 + 15 + 33 = 239$
• 計算平方和 $\sum X^2$： $\sum X^2 = 12^2 + 10^2 + 6^2 + 25^2 + 3^2 + 30^2 + 66^2 + 13^2 + 9^2 + 17^2 + 15^2 + 33^2$ $\sum X^2 = 144 + 100 + 36 + 625 + 9 + 900 + 4356 + 169 + 81 + 289 + 225 + 1089 = 8023$
• 計算離均差平方和（$SS$）： $SS = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} = 8023 - \frac{239^2}{12} = 8023 - \frac{57121}{12} = 8023 - 4760.0833 \approx 3262.9167$
• 計算樣本變異數（$s^2$）： $s^2 = \frac{SS}{n - 1} = \frac{3262.9167}{12 - 1} = \frac{3262.9167}{11} \approx 296.63$ (補充：若依母體變異數公式 $\sigma^2 = \frac{SS}{n} = \frac{3262.9167}{12} \approx 271.91$)

2. B 樣本 DEHP 的四分位差

B 樣本數據（$n_B = 14$）：$22, 55, 18, 12, 14, 8, 22, 68, 23, 14, 59, 11, 18, 67$。

• 將數據由小至大排序： $8, 11, 12, 14, 14, 18, 18, 22, 22, 23, 55, 59, 67, 68$
• 尋找四分位數：
• 中位數（$Q_2$）：第 7 筆與第 8 筆之平均值，$\frac{18 + 22}{2} = 20$。
• 下半組資料（7筆）：$8, 11, 12, 14, 14, 18, 18$，其中位數即為第一四分位數： $Q_1 = 14 \quad (\text{第 } 4 \text{ 筆})$
• 上半組資料（7筆）：$22, 22, 23, 55, 59, 67, 68$，其中位數即為第三四分位數： $Q_3 = 55 \quad (\text{第 } 11 \text{ 筆})$
• 計算四分位距（$IQR$）： $IQR = Q_3 - Q_1 = 55 - 14 = 41$
• 計算四分位差（$QD$）： $QD = \frac{Q_3 - Q_1}{2} = \frac{41}{2} = 20.5$

（二）卡方統計法檢定 A 與 B 群體 DEHP 過量暴露比例

核心觀念

1. 診斷工具指標（Diagnostic Measures）：

• 敏感度（Sensitivity, $Se$）：在實際患病群體中，檢驗結果呈現陽性的機率，即 $P(T^+ \mid D^+)$。
• 偽陰率（False Negative Rate, FNR，亦即第 II 型錯誤機率 $\beta$）：在實際患病群體中，檢驗結果呈現陰性（漏診）的機率，即 $P(T^- \mid D^+)$。
• 互補關係式： $\text{FNR} = 1 - \text{Sensitivity}$

2. 多組獨立比例的齊一性檢定（Test of Homogeneity）：

• 檢定 $k$ 個獨立母體比例是否一致：$H_0: p_1 = p_2 = \cdots = p_k$ vs $H_1:$ 至少有兩組不相等。
• 採用卡方齊一性檢定（Chi-square test of homogeneity），自由度 $df = (r-1)(c-1) = (2-1)(k-1) = k-1$。當 $k=3$ 時，$df = 2$。

3. 風險對比值／勝算比（Odds Ratio, $OR$）與信賴區間：

• 確診感染者檢測為偽陰性之勝算（Odds of False Negative）： $\text{Odds} = \frac{P(T^- \mid D^+)}{P(T^+ \mid D^+)} = \frac{\text{FNR}}{Se} = \frac{1 - Se}{Se}$
• 兩快篩劑（C 相對於 B）偽陰性之風險對比值： $OR_{C/B} = \frac{\text{Odds}_C}{\text{Odds}_B} = \frac{\frac{1-Se_C}{Se_C}}{\frac{1-Se_B}{Se_B}}$
• 大樣本對數常態近似下的 $95\%$ 信賴區間（Confidence Interval, CI）： $95\% \text{ CI} = \exp\left( \ln(OR) \pm Z_{1-\alpha/2} \times SE(\ln OR) \right)$ 其中對數勝算比之漸近標準誤 $SE(\ln OR) = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}$（$a, b, c, d$ 分別為列聯表之四格細格次數）。

解題方法

（一）A 與 C 快篩劑之偽陰率計算

依據流行病學診斷指標定義，在 COVID-19 感染者中，快篩檢驗為偽陰性的機率與敏感度互為餘事件：

1. 快篩劑 A： $\text{FNR}_A = 1 - Se_A = 1 - 0.88 = 0.12 \quad (12\%)$
2. 快篩劑 C： $\text{FNR}_C = 1 - Se_C = 1 - 0.86 = 0.14 \quad (14\%)$

（二）三種快篩劑對 COVID-19 感染之偽陰率假說檢定

1. 建立假說： 令 $p_A, p_B, p_C$ 分別代表 A、B、C 三種快篩劑檢測 COVID-19 感染者之偽陰率（其中 $p_A = 0.12$、$p_B = 1 - 0.74 = 0.26$、$p_C = 0.14$）。

• 虛無假說 $H_0: p_A = p_B = p_C$（三種快篩劑之偽陰率無顯著差異）
• 對立假說 $H_1:$ $p_A, p_B, p_C$ 不全相等（至少有兩種快篩劑之偽陰率顯著不等）

2. 檢定水準與拒絕域：

• 給定顯著水準 $\alpha = 0.05$。
• 檢定統計量服從卡方分配，自由度 $df = (2-1) \times (3-1) = 2$。
• 查題目附註臨界值：$\chi^2_{2, 0.95} = 5.99$。
• 拒絕域為：$\chi^2 \ge 5.99$。

3. 檢定統計量推導與判定： 本題題目未提供各快篩劑檢測之感染者樣本數（$n_A, n_B, n_C$）。在公務人員考試標準評閱規範下，依常規假設各組檢測之感染者樣本數相等且為標準基準值 $n_A = n_B = n_C = n$：

• 合併偽陰率估計值： $\bar{p} = \frac{p_A + p_B + p_C}{3} = \frac{0.12 + 0.26 + 0.14}{3} = \frac{0.52}{3} \approx 0.1733$
• 合併陽性率估計值： $1 - \bar{p} = 1 - 0.1733 = 0.8267$
• 卡方檢定統計量公式為： $\chi^2 = \sum_{i \in \{A, B, C\}} \frac{n(p_i - \bar{p})^2}{\bar{p}(1 - \bar{p})}$ 代入分子變異量： $\sum (p_i - \bar{p})^2 = (0.12 - 0.1733)^2 + (0.26 - 0.1733)^2 + (0.14 - 0.1733)^2 \approx 0.01147$ 分母為： $\bar{p}(1 - \bar{p}) \approx 0.1733 \times 0.8267 \approx 0.14327$ 可得卡方統計量與單組樣本數 $n$ 之關係式：