112 高普考高考三級 地質 水文地質學 考古題詳解

112 年・高普考・高考三級・地質
試題代碼 水文地質學

第 一 題20 分

已知一儀器被用來測量土壤孔隙率 nn。此儀器由兩個密閉容器（體積分別為 V1V_1 及 V2V_2）所組成，兩容器以一個具閥門開關的連通管連接。

假設一開始先將體積為 V1V_1 的容器抽成真空，並將連通管上的閥門關閉。將完全烘乾過、體積為 VsV_s 的土壤置入體積為 V2V_2 的容器中，此時該容器中測得的空氣壓力為 P1P_1。

在維持儀器設備溫度為定值下，同時將連通管的閥門打開，讓 V1V_1 及 V2V_2 兩容器連通，最終兩容器內空氣壓力達到平衡為 P2P_2。

請問若 V1=0.55V2V_1=0.55V_2、Vs=0.3V2V_s=0.3V_2，及 P2=0.6P1P_2=0.6P_1，請以理想氣體中波義爾定律（Boyle’s law）計算此烘乾後土壤的孔隙率。

註：波義爾定律公式為 PV=常數PV=\text{常數} 其中，PP 為容器中氣體壓力，VV 為容器中空氣體積。

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核心觀念

本題考的是波義耳定律（Boyle's Law）應用於孔隙率量測，也就是水文地質學實驗室常見的「氣體比重瓶法（Air Pycnometer Method）」原理。

關鍵物理概念有二：

  1. 波義耳定律：定溫下，密閉氣體之壓力與體積成反比，即 P1V1=P2V2=常數P_1V_1 = P_2V_2 = \text{常數}。
  2. 烘乾土壤的孔隙是連通、可讓空氣自由進出的。因此當土樣（總體積 VsV_s，即含孔隙的巨觀體積）放入容器 V2V_2 中時，空氣並非只被排除在 V2−VsV_2 - V_s 之外，而是可以滲入土壤內部的孔隙空間。所以「真正被空氣排除、不可進入」的體積，只有土壤固體顆粒的體積 Vsolid=Vs(1−n)V_{solid} = V_s(1-n)，其中 nn 為孔隙率。

這是本題最容易失分的地方：**很多考生會誤以為初始氣體體積是 V2−VsV_2 - V_s（把整個土樣都當成不透氣的固體），這樣會導致答案完全錯誤。**正確做法是氣體佔據的體積為 V2−Vs(1−n)V_2 - V_s(1-n)。

解題方法

Step 1：定義開閥前後的氣體狀態

開閥前（狀態1）：

  • V1V_1 容器已抽真空（不含氣體，壓力為 0，閥門關閉，暫不參與）
  • V2V_2 容器中放入土樣後，氣體僅侷限在 V2V_2 中，佔據的體積為容器體積扣除固體顆粒體積： V氣,1=V2−Vs(1−n)V_{\text{氣,1}} = V_2 - V_s(1-n)
  • 此時壓力為 P1P_1

開閥後（狀態2，達平衡）：

  • 閥門打開，V1V_1（真空）與 V2V_2 連通，原本侷限在 V2V_2 中的氣體膨脹填滿整個系統（土壤固體顆粒仍佔據相同體積，不隨開閥改變）： V氣,2=V1+V2−Vs(1−n)V_{\text{氣,2}} = V_1 + V_2 - V_s(1-n)
  • 此時壓力為 P2P_2

Step 2：套用波義耳定律

由於溫度維持定值，且氣體總量（莫耳數）不變（只是原本在 V2V_2 中的氣體膨脹到 V1+V2V_1+V_2 空間），故：

P1[V2−Vs(1−n)]=P2[V1+V2−Vs(1−n)]P_1\left[V_2 - V_s(1-n)\right] = P_2\left[V_1 + V_2 - V_s(1-n)\right]

令固體體積 x≡Vs(1−n)x \equiv V_s(1-n)（未知數），展開整理：

P1V2−P1x=P2V1+P2V2−P2xP_1V_2 - P_1x = P_2V_1 + P_2V_2 - P_2x

P1V2−P2V2−P2V1=P1x−P2xP_1V_2 - P_2V_2 - P_2V_1 = P_1x - P_2x

V2(P1−P2)−P2V1=x(P1−P2)V_2(P_1-P_2) - P_2V_1 = x(P_1-P_2)

解出 xx：

x=V2−P2V1P1−P2x = V_2 - \frac{P_2V_1}{P_1-P_2}

Step 3：代入已知條件求固體體積 xx

已知：V1=0.55V2V_1 = 0.55V_2、P2=0.6P1P_2 = 0.6P_1，故 P1−P2=0.4P1P_1 - P_2 = 0.4P_1。

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第 二 題30 分

當溫泉水在兩個緊鄰、具均質等向性質的不同水文地質飽和土壤中流動時，若溫泉水由第一種土壤流通進入第二種土壤，請說明此時溫泉水流經兩個不同土壤介面時，其水流運動的兩個物理條件為何？

請依據所述物理條件，利用下圖所給的土壤水文地質參數（水力傳導係數 KK）數值及第一種飽和均質等向土壤中溫泉水的流速向量，決定第二種飽和均質等向土壤中溫泉水的流速向量及於交界面處的運動方向。

圖示資訊如下：

  • 座標系統：xx 軸水平向右，yy 軸垂直向上。
  • 第一種飽和均質等向土壤：K=0.005 m/sK=0.005\ \mathrm{m/s}。
  • 第一種土壤中溫泉水流速向量： q⃗=−0.8 m/s i⃗−0.2 m/s j⃗\vec{q}=-0.8\ \mathrm{m/s}\,\vec{i}-0.2\ \mathrm{m/s}\,\vec{j}
  • 第二種飽和均質等向土壤：K=0.002 m/sK=0.002\ \mathrm{m/s}。
  • 第一種土壤與第二種土壤之間具有一交界面。
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核心觀念

本題考查飽和地下水流通過不同水文地質材料交界面時的界面條件，以及達西定律：

q⃗=−K∇h\vec q=-K\nabla h

其中 q⃗\vec q 為達西流速（單位流量），KK 為水力傳導係數，hh 為水力水頭。

交界面上須滿足兩項物理條件：

  1. 法線方向流量連續

由質量守恆，水流不能在交界面堆積，因此

q⃗1⋅n⃗=q⃗2⋅n⃗\vec q_1\cdot\vec n=\vec q_2\cdot\vec n

  1. 水力水頭連續

在無特殊接觸阻力的理想交界面上，

h1=h2h_1=h_2

因此沿交界面的切線方向，水力梯度連續：

q⃗1⋅t⃗K1=q⃗2⋅t⃗K2\frac{\vec q_1\cdot\vec t}{K_1} = \frac{\vec q_2\cdot\vec t}{K_2}

解題方法

圖中交界面為水平面，因此：

  • 切線方向為 xx 方向；
  • 法線方向為 yy 方向。

已知第一種土壤：

K1=0.005 m/sK_1=0.005\ \mathrm{m/s}

q⃗1=−0.8i⃗−0.2j⃗ m/s\vec q_1=-0.8\vec i-0.2\vec j\ \mathrm{m/s}

第二種土壤：

K2=0.002 m/sK_2=0.002\ \mathrm{m/s}

1. 法線方向流量連續

法線方向為 yy 方向，因此

q2y=q1y=−0.2 m/sq_{2y}=q_{1y}=-0.2\ \mathrm{m/s}

2. 切線方向水力梯度連續

由水頭連續與達西定律：

q1xK1=q2xK2\frac{q_{1x}}{K_1}=\frac{q_{2x}}{K_2}

所以

q2x=K2K1q1xq_{2x} = \frac{K_2}{K_1}q_{1x}

代入數值：

q2x=0.0020.005(−0.8)=−0.32 m/sq_{2x} = \frac{0.002}{0.005}(-0.8) = -0.32\ \mathrm{m/s}

因此第二種土壤中的流速向量為

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第 三 題20 分

已知一口溫泉井，當初鑿井商打井時發生鑽井中心軸偏斜，以致下井管後，整個井管中心軸線與重力方向（即負 ZZ 軸方向）夾 6.594∘6.594^\circ，所以完井後，整支溫泉井即呈偏斜方式。

完成後，量得井深（從井口到井底）為 755755 公尺，且地質資料分析得知：在井口下約 100100 公尺到 150150 公尺處為一不透水岩層，另在井口下 750750 公尺處以下地層為一岩盤。

在井口下井內 100.33100.33 公尺到 755755 公尺處，平均水溫達 45∘C45^\circ\mathrm{C}，碳酸氫根濃度達 350 mg/L350\ \mathrm{mg/L}。此井的開篩自井口下井內 151151 公尺處開始，一直到井底。

完井後，井內靜水位面停在井口下井內 50.3350.33 公尺處。且溫泉井負責人為求謹慎使用溫泉水，長期在井口下井內 151151 公尺及井底監測該兩處的長期靜態壓力水頭（Static Pressure Head），分別為 100100 公尺及 700700 公尺。

請於下圖中，以做圖方式呈現含水層中隨高程改變的下列三條水頭曲線：

  1. 壓力水頭；
  2. 位置水頭（Elevation Head）；
  3. 總水頭（Total Head）。

假設含水層為均質等向的水文地質特性。

圖示資訊如下：

  • 溫泉井中心軸線與重力方向（負 ZZ 軸方向）夾角為 6.594∘6.594^\circ。
  • 溫泉井井深為 755755 公尺。
  • 井口下約 100100 公尺至 150150 公尺處為不透水岩層。
  • 井口下 750750 公尺處以下為岩盤。
  • 開篩範圍：井口下井內 151151 公尺至井底。
  • 井內靜水位面：井口下井內 50.3350.33 公尺。
  • 在井口下井內 151151 公尺處，長期靜態壓力水頭為 100100 公尺。
  • 在井底，長期靜態壓力水頭為 700700 公尺。

圖中座標及標示：

  • 縱剖面以高程 ZZ 為縱軸，單位為公尺。
  • 水頭 HH 為橫軸，單位為公尺。
  • 標示高程 Z=750Z=750、Z=700Z=700 及 Z=0Z=0。
  • 圖中顯示溫泉井井口、井底、井管及溫泉井中心軸線。
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核心觀念

本題考查地下水水頭的三項定義：

H=hp+zH=h_p+z

其中：

  • HH：總水頭（Total Head）
  • hph_p：壓力水頭（Pressure Head）
  • zz：位置水頭（Elevation Head）

在均質、等向且達到長期靜態平衡的含水層中，總水頭沿同一連通含水層保持相同；因此壓力水頭與位置水頭互相補償。

一、將井內深度換算為高程

井口至井底的井管長度為 755755 公尺，井軸與鉛直方向夾角為 6.594∘6.594^\circ。

其鉛直投影為：

755cos⁡6.594∘≈750 m755\cos 6.594^\circ \approx 750\ \text{m}

因此可將井口高程定為：

Z井口=750 mZ_{\text{井口}}=750\ \text{m}

井底高程為：

Z井底=0 mZ_{\text{井底}}=0\ \text{m}

沿井軸距井口深度為 dd 時，其高程為：

Z=750−dcos⁡6.594∘Z=750-d\cos6.594^\circ

重要位置換算如下：

  1. 靜水位面：
Z=750−50.33cos⁡6.594∘≈700 mZ=750-50.33\cos6.594^\circ \approx 700\ \text{m}
  1. 開篩起點：
Z=750−151cos⁡6.594∘≈600 mZ=750-151\cos6.594^\circ \approx 600\ \text{m}
  1. 井底：
Z=750−755cos⁡6.594∘=0 mZ=750-755\cos6.594^\circ=0\ \text{m}

所以開篩含水層範圍約為：

0≤Z≤600 m0\leq Z\leq600\ \text{m}

井口下約 100100 至 150150 公尺的不透水層，其高程約為 650650 至 600600 公尺，正好位於上部非開篩段與下部含水層之間。

二、求含水層的總水頭

靜水位面位於 Z=700Z=700 公尺，該處水壓為大氣壓，故壓力水頭取為：

hp=0h_p=0

因此總水頭為：

H=hp+z=0+700=700 mH=h_p+z=0+700=700\ \text{m}

長期監測資料亦可驗證此結果。

在開篩起點：

Z=600 m,hp=100 mZ=600\ \text{m},\qquad h_p=100\ \text{m}

所以：

H=100+600=700 mH=100+600=700\ \text{m}

在井底：

Z=0 m,hp=700 mZ=0\ \text{m},\qquad h_p=700\ \text{m}

所以：

H=700+0=700 mH=700+0=700\ \text{m}

三個位置均得到相同總水頭，符合靜態平衡含水層的條件。

三、三條水頭曲線

1. 位置水頭曲線

位置水頭等於高程：

hz=zh_z=z

以縱軸為高程 ZZ、橫軸為水頭 HH 作圖時：

H位置=ZH_{\text{位置}}=Z

因此為通過原點的斜直線。在含水層範圍內，其端點為：

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第 四 題30 分

在水文地質模型中，對水流流經多孔介質或裂隙時，其水流平均流速的理論公式如下。

（一）水流流經毛細管束（A bundle of capillary tubes）的平均流速（達西流速）：

q⃗=−ρgnr2‾8μT2∇H\vec{q}=-\frac{\rho g n \overline{r^2}}{8\mu T^2}\nabla H

（二）水流流經裂隙（Fracture）的平均流速（達西流速）：

q⃗=−ρge2‾12μ∇H\vec{q}=-\frac{\rho g \overline{e^2}}{12\mu}\nabla H

式中：

  • ρ\rho 為水的密度；
  • gg 為重力加速度；
  • nn 為孔隙率；
  • μ\mu 為水的黏滯性；
  • TT 為毛細管束的平均擾曲度（Tortuosity）；
  • ∇H\nabla H 為水流總水頭的梯度；
  • r2‾\overline{r^2} 為毛細管束的平均半徑平方；
  • e2‾\overline{e^2} 為水流於岩盤斷面的裂隙平均開度平方（average of square aperture open）。

其中，式（1）源自物理模型中的波義秀定律（Poiseuille’s law for flow through a bundle of capillary tubes）。

（1）請問式（2）源自物理模型中的哪一個定律？（10分）

（2）若今有一個岩盤裂隙如下圖所示，其中裂隙的幾何條件如下表所列：

裂隙編號123456
裂隙開度 ee（cm）0.50.81.21.01.51.1
裂隙寬度 bb（cm）5344.22.512

而總水頭梯度為 −0.005-0.005，水流密度為 ρ=1000 kg/m3\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3} 黏滯係數為 μ=1.002×10−3 Pa⋅s\mu=1.002\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}

求圖中斷面下的平均流速（達西流速）。（20分）

圖示為「水流流經岩體斷面裂隙分布示意圖」。

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核心觀念

本題考查裂隙水流的平行板流理論，以及不同裂隙開度、寬度下之總體平均流速。

式（2）為裂隙兩平行板間的層流公式。裂隙流量與開度的三次方成正比，稱為：

平行板流定律（parallel-plate law）或裂隙流立方律（cubic law）。

式（2）中的 e2e^2 是平均流速形式；若換算成單位寬度流量，則會呈現 e3e^3 關係。

（一）式（2）的物理定律

式（2）源自：

平行板流定律（parallel-plate law），亦稱裂隙流立方律（cubic law）\boxed{\text{平行板流定律（parallel-plate law），亦稱裂隙流立方律（cubic law）}}

其物理模型為水流通過兩個相互平行的平板，且假設：

  • 水流為穩定流；
  • 水為牛頓流體；
  • 流況為層流；
  • 裂隙兩壁間距為 ee；
  • 裂隙寬度方向的水流速度變化可忽略。

在此模型下，裂隙單位寬度流量為：

Q′=−ρge312μdHdxQ'=-\frac{\rho g e^3}{12\mu}\frac{dH}{dx}

除以裂隙開度 ee 後，得到平均流速：

qx=−ρge212μdHdxq_x=-\frac{\rho g e^2}{12\mu}\frac{dH}{dx}

因此式（2）即為裂隙流立方律所導出的平均流速公式。

（二）六條裂隙之平均流速

1. 裂隙流量的加權方式

第 ii 條裂隙的流通斷面積為：

Ai=bieiA_i=b_i e_i

各裂隙的平均流速為：

qi=−ρgei212μ∇Hq_i=-\frac{\rho g e_i^2}{12\mu}\nabla H

因此六條裂隙合計後的平均流速，應以各裂隙流通斷面積加權：

qˉ=∑qiAi∑Ai\bar q=\frac{\sum q_iA_i}{\sum A_i}

代入 Ai=bieiA_i=b_i e_i，可得：

qˉ=−ρg12μ∇H∑biei3∑biei\bar q = -\frac{\rho g}{12\mu}\nabla H \frac{\sum b_i e_i^3}{\sum b_i e_i}

2. 單位換算

表中 ee、bb 的單位為公分，換算如下：

ei(m)=ei(cm)×10−2e_i(\mathrm{m})=e_i(\mathrm{cm})\times10^{-2}

先以公分計算幾何加權量。

總裂隙流通面積

∑biei=(5)(0.5)+(3)(0.8)+(4)(1.2)+(4.2)(1.0)+(2.5)(1.5)+(12)(1.1)=30.85 cm2\begin{aligned} \sum b_i e_i &=(5)(0.5)+(3)(0.8)+(4)(1.2) \\ &\quad +(4.2)(1.0)+(2.5)(1.5)+(12)(1.1)\\ &=30.85\ \mathrm{cm^2} \end{aligned}
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地質《水文地質學》其他年度

110109