115 高普考高考三級 電信工程 通信與系統 考古題詳解

核心觀念

週期訊號須存在一個正的週期，使訊號平移一個週期後保持不變。離散時間訊號的週期 $N$ 必須是正整數；連續時間訊號的週期 $T$ 則是正實數。

對單一正弦訊號：

• 離散時間 $x[n]=\cos(\omega_0 n+\phi)$ 或 $\sin(\omega_0 n+\phi)$，週期條件為 $\frac{\omega_0}{2\pi}$ 是有理數。若 $\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{p}{q}$，且 $p,q$ 互質，基本週期為 $q$。
• 連續時間 $x(t)=\cos(\omega_0t+\phi)$ 或 $\sin(\omega_0t+\phi)$，基本週期為 $T_0=\frac{2\pi}{|\omega_0|}$。

多個正弦訊號相加時，須有共同週期。連續時間各頻率的比值皆為有理數，才有共同週期；離散時間則須所有頻率皆滿足離散週期條件。各分量的共同週期取最小公倍數或最小正共同週期。

解題方法與逐題解析

（一）離散時間訊號

第一項的正規化頻率為 $\frac{3}{8}$，分母為 $8$，其基本週期為 $N_1=8$。第二項的正規化頻率為 $\frac{1}{4}$，分母為 $4$，其基本週期為 $N_2=4$。

兩項的共同週期為 $N=\operatorname{lcm}(8,4)=8$，因此訊號為週期訊號，基本週期為 $8$。

（二）連續時間訊號

兩項角頻率分別為 $\omega_1=200\pi$、$\omega_2=300\pi$，故各自基本週期為

核心觀念

本題考查線性、非時變與因果三項連續時間系統的基本性質。

• 線性系統須符合疊加性：對任意輸入 $x_1(t)、x_2(t)$ 及常數 $a、b$，若輸入 $a x_1(t)+b x_2(t)$，輸出須為 $a y_1(t)+b y_2(t)$。
• 非時變系統須符合時間平移不變性：輸入延遲 $t_0$，輸出也只延遲相同的 $t_0$。
• 因果系統在任一時刻 $t_0$ 的輸出，只能依賴 $t_0$ 當下或過去的輸入，不能依賴 $t_0$ 之後的輸入。

解題方法與判斷

(一) $S_1:y(t)=3x(t)-2x(t-1)$ 是否線性

令輸入 $x_1(t)$、$x_2(t)$ 的輸出分別為

對任意常數 $a、b$，輸入 $a x_1(t)+b x_2(t)$ 時，系統輸出為

因此，系統符合疊加性，$S_1$ 為線性系統。其中的延遲操作 $x(t-1)$ 不會破壞線性；兩項都是輸入的線性組合，且沒有加上與輸入無關的常數項。

(二) $S_2:y(t)=x(2t)$ 是否為非時變系統

核心觀念

本題考查振幅調變（AM）的頻率轉換與同步解調。使用乘積轉和差公式，可將兩個餘弦波相乘後表示為和頻與差頻分量：

接收端再以載波相乘，會產生基頻訊號與高頻分量；理想低通濾波器保留基頻、去除高頻分量。

解題方法

（一）寫出 $s(t)$ 的頻率成分

將訊息與載波代入：

因此，訊號包含 $102\,\text{kHz}$ 與 $98\,\text{kHz}$ 兩個頻率成分，分別為上側頻帶與下側頻帶。載波頻率 $100\,\text{kHz}$ 本身不出現在 $s(t)$ 中。

（二）同步解調並通過理想低通濾波器

接收端將 $s(t)$ 乘上 $2\cos(2\pi\cdot100000t)$：

核心觀念

本題比較兩種媒介存取機制：有線乙太網路常見的 CSMA/CD（Carrier Sense Multiple Access with Collision Detection，載波感測多重存取／碰撞偵測），以及 WiFi 使用的 CSMA/CA（Carrier Sense Multiple Access with Collision Avoidance，載波感測多重存取／碰撞避免）。

兩者都先感測通道是否忙碌，再決定是否傳送；差別在碰撞處理方式：CSMA/CD 在傳送期間偵測碰撞，CSMA/CA 則透過等待、隨機退避等方式降低碰撞發生機率，並以 ACK 確認資料是否成功送達。

解題方法

依序比較「碰撞處理方式」、「無線環境的限制」及「ACK 的功能」即可。作答時須特別區分：CSMA/CA 是避免碰撞的機制，不代表完全不會碰撞；ACK 是接收端回覆的確認訊框，不是發送端在傳送時用來偵測碰撞的訊號。

（一）兩者核心概念有何不同？

CSMA/CD：偵測碰撞後停止並重傳。 有線網路的節點在傳送前先感測媒介；若媒介空閒便傳送，並在傳送過程中持續監聽媒介。一旦偵測到碰撞，便停止傳送、送出 jam signal，使其他節點得知碰撞，再經隨機退避後重傳。

CSMA/CA：傳送前設法降低碰撞機率。 WiFi 節點先感測無線通道；若通道忙碌便等待，若通道空閒則依規定等待一段時間，並從競爭視窗中選取隨機退避時間。退避計數器只在通道空閒時遞減；通道轉忙便暫停，待通道再度空閒後繼續倒數，歸零時才傳送。部分情況也可使用 RTS/CTS 預約通道，以減少隱藏節點造成的碰撞。

因此，CD 的重點是碰撞發生後偵測並處理；CA 的重點是傳送前降低碰撞發生機率。CA 無法保證碰撞不會發生。

（二）為何無線網路較常採用 CSMA/CA？

無線網路難以像有線乙太網路一樣，在傳送的同時可靠地偵測碰撞，主要原因如下：