112 高普考高考三級 電信工程 通信與系統 考古題詳解

核心觀念

正交多工（Quadrature-Carrier Multiplexing）利用兩個相差 $90^\circ$ 的載波，分別承載兩路基頻訊號。設兩路訊號為 $m_1(t)$、$m_2(t)$，載波角頻率為 $\omega_c$，傳送訊號為

接收端分別乘上同相載波與正交載波，再經低通濾波器取出基頻分量。由於兩載波正交，交叉項經低通後消失，兩路訊號可以分別還原。

（一）傳送端方塊圖

兩路基頻訊號分別乘上同相與正交載波，再相加輸出：

 ┌───────────────┐
m₁(t) ──────────────────►│ × cos(ωc t) │──┐
 └───────────────┘ │
 ├──► 加法器 ──► s(t)
 ┌───────────────┐ │
m₂(t) ──────────────────►│ × sin(ωc t) │──┘
 └───────────────┘
 ▲
 ┌─────────────┴─────────────┐
 │ 正交載波產生器 │
 │ cos(ωc t), sin(ωc t) │
 └───────────────────────────┘

其中

正交載波產生器提供相位差 $90^\circ$ 的兩個載波；加法器將兩路調變訊號合成一路傳送。

（二）接收端方塊圖

接收訊號分成兩路，各自乘上與傳送端同步的載波，並通過低通濾波器：

 ┌───────────────┐
 ┌───────►│ × 2cos(ωc t) │──► 低通濾波器 ──► m₁(t)
 │ └───────────────┘
接收訊號 r(t) ──► 分路器 ┤
 │ ┌───────────────┐
 └───────►│ × 2sin(ωc t) │──► 低通濾波器 ──► m₂(t)
 └───────────────┘
 ▲
 ┌─────────────┴─────────────┐
 │ 同步正交載波產生器 │
 │ cos(ωc t), sin(ωc t) │
 └───────────────────────────┘

在理想同步、無雜訊情況下，令 $r(t)=s(t)$。同相支路為

利用 $2\cos^2\omega_c t=1+\cos 2\omega_c t$ 及 $2\sin\omega_c t\cos\omega_c t=\sin 2\omega_c t$，低通濾波後只留下 $m_1(t)$。正交支路則為

低通濾波後只留下 $m_2(t)$。乘法器前的係數 $2$ 用來補償載波平方項低通後產生的 $1/2$；若圖中乘法器不標示係數 $2$，則解調輸出會差一個比例常數。

（三）使用正交多工生成 DSB-SC

令其中一路基頻訊號為 $m(t)$，另一路設為零：

代入傳送端式子：

此即雙旁波帶抑制載波（DSB-SC）訊號。載波本身不單獨傳送，訊號頻譜為基頻頻譜分別平移至載波上下兩側。

核心觀念

本題考查 FM 接收器的基本架構、捕獲效應，以及 FM 與 AM 在抗雜訊、頻寬、功率效率和接收複雜度上的取捨。

FM 的資訊由載波的瞬時頻率變化承載。若基帶訊號為 $m(t)$，FM 訊號可寫成

其中 $A_c$ 為載波振幅、$f_c$ 為載波頻率、$k_f$ 為頻率靈敏度。其瞬時頻率為

因此，FM 接收器的任務是從接收波形中取出頻率變化，再還原成基帶訊號。接收器通常先用限幅器去除振幅起伏，再由鑑頻器將頻率變化轉成電壓變化。

（一）FM 接收器模型

常見的 FM 超外差接收器模型如下：

天線
 │
 ▼
射頻選擇器／射頻放大器
 │
 ▼
混頻器 ◀──── 本地振盪器
 │
 ▼
中頻帶通濾波器／中頻放大器
 │
 ▼
限幅器
 │
 ▼
FM 鑑頻器（頻率－電壓轉換）
 │
 ▼
去加重網路
 │
 ▼
音頻放大器
 │
 ▼
揚聲器／負載

各級功能如下：

1. 天線與射頻選擇器／放大器：接收無線電訊號，選出欲接收的頻道，並在必要時放大弱訊號。
2. 混頻器與本地振盪器：將射頻訊號轉換到固定的中頻。若接收訊號頻率為 $f_{\mathrm{RF}}$、本地振盪器頻率為 $f_{\mathrm{LO}}$，則中頻通常為

3. 中頻濾波器與放大器：選出中頻頻道並提供主要增益；濾波器的通帶須涵蓋 FM 訊號所需頻寬。
4. 限幅器：抑制接收訊號的振幅變動。理想 FM 資訊在頻率變化中，限制振幅不會破壞所需資訊，且可減少振幅雜訊對鑑頻結果的影響。
5. FM 鑑頻器：將瞬時頻率變化轉換成與基帶訊號成比例的電壓。可採用斜率鑑頻器、平衡式鑑頻器、比例檢波器或鎖相迴路（PLL）等實作。
6. 去加重網路：與發射端的預加重配合，補償高頻雜訊較明顯的現象，改善接收音訊的訊雜比。
7. 音頻放大器與負載：將解調後的基帶訊號放大，供揚聲器或後級電路使用。

若只考慮解調核心，也可將「射頻選擇與轉換、中頻選擇、限幅、鑑頻、去加重」視為主要功能方塊。

（二）FM 系統中的捕獲效應

**捕獲效應（Capture Effect）**是指接收器同時收到兩個或多個頻率相同或非常接近的 FM 訊號時，鑑頻器通常會主要鎖定或解調其中較強的一個訊號，而較弱訊號受到抑制；接收器不會像線性疊加那樣，平均解出兩個訊號。

其原因是 FM 接收器的限幅器會將輸入振幅限制在近似固定值，而鑑頻器主要依照輸入相位或瞬時頻率的變化來解調。兩個訊號強度不相等時，較強訊號較能支配合成波形的瞬時相位與頻率變化，因此解調輸出以較強訊號為主。兩訊號強度差不足時，接收器可能在兩者間切換或產生干擾失真。

核心觀念

本題考查：

1. 信號星座圖中訊息點的幾何距離與判決區域。
2. AWGN 通道下，平均符號錯誤率與最鄰近點距離的關係。
3. 平均信號能量的定義：

其中 $M$ 為星座點數，$|s_i|^2$ 為第 $i$ 個信號點的能量。

（一）證明兩星座圖具有相同的平均符號錯誤率

星座圖（a）

四個信號點為

任一信號點與相鄰兩點的距離為

對角線兩點距離為

因此，星座圖（a）為一個邊長 $2a$ 的正方形。

星座圖（b）

四個信號點可表示為

相鄰點距離例如

同理，其他相鄰點距離也均為 $2a$；兩條對角線長度均為

因此，星座圖（b）也是一個邊長 $2a$ 的正方形，只是其位置與方向不同。

其中心為

將星座圖（b）平移至中心為原點後，四點為

這與星座圖（a）皆為相同邊長、相同幾何形狀的正方形；旋轉及平移不會改變 AWGN 通道中的相對距離與判決區域，因此兩者具有相同的符號錯誤率。

對於四點正方形星座，令每一維的判決錯誤率為

核心觀念

OOK（On-Off Keying）是二元 ASK：傳送位元 $1$ 時送出載波脈波，傳送位元 $0$ 時不送訊號。令每個位元的訊號為

接收端收到 $r(t)=s_i(t)+n(t)$，其中 $n(t)$ 為 AWGN。同調接收器使用與載波同步的本地載波，將訊號相關（或乘積積分）後取樣，再與門檻比較；非同調接收器不需要載波相位同步，使用包絡檢波取得訊號振幅，再作門檻判決。

（一）同調接收器方塊圖

同調解調可用相關器表示。令單位能量基底函數為

接收訊號與同步基底函數相乘並積分，得到判決統計量 $y$；將 $y$ 與門檻 $\gamma$ 比較，判定送出 $1$ 或 $0$。

 ┌────────────────┐
r(t) ──┬──► 乘法器 ─────►│ 積分器 0 至 Tb │──► 取樣 ──► 與 γ 比較 ──► 判決 0 或 1
 │ ▲ └────────────────┘
 │ │
 └── 載波同步器 ─► 本地載波／基底函數

門檻 $\gamma$ 由訊號振幅、雜訊變異數及先驗機率決定。題目指定等機率傳送時，使用等概先驗下的最佳門檻。

（二）同調接收器平均錯誤率

$1$ 與 $0$ 的訊號能量分別為

因此兩訊號的歐氏距離平方為

投影到單位能量基底函數後，判決統計量在兩種傳送情況下為

兩種位元等機率時，最佳門檻是兩個條件平均值的中點：

核心觀念

本題考查二元線性區塊碼的：

1. 奇偶校驗矩陣 $H$ 的求法。
2. 最小距離 $d_{\min}$ 的判定。
3. 錯徵（Syndrome）$s$ 的計算。
4. 由 Syndrome 判斷錯誤位置，再進行解碼。

所有矩陣運算皆在 $GF(2)$ 中進行，也就是加法採取模 2 運算：

（一）求奇偶校驗矩陣 $H$

已知生成矩陣為系統形式：

其中

對於二元線性區塊碼，奇偶校驗矩陣可取為：

因為必須滿足：

先求 $P^T$：

因此：

驗算：

故此矩陣確實為奇偶校驗矩陣。

（二）求最小距離

線性區塊碼的最小距離等於所有非零碼字的最小漢明重量：

由於 $G$ 的三列為基本碼字：

三個基本碼字的重量皆為：

再計算其非零線性組合：

其重量為 $4$；

其重量為 $4$；

其重量為 $4$；

其重量為 $4$。

因此所有非零碼字的最小重量為 $4$：

此碼最多可偵測 $d_{\min}-1=3$ 個錯誤，最多可更正：

個錯誤。