111 高普考高考三級 交通技術 交通統計 考古題詳解

核心觀念

偏斜方向可由分配的尾端判斷：右側尾端較長時為正向偏斜，平均值通常會被右側較大的觀測值拉高，因此常見平均值大於中位數。盒形圖可觀察中位數在盒內的位置，以及盒子兩側與鬚的長度；平均值與中位數則可作為輔助判斷。

變異性可用變異數、全距或四分位距衡量。變異數越大，代表資料相對平均值的離散程度越大。

解題方法

（一）依盒形圖的偏斜形狀，並比較平均值與中位數的位置，判斷各品牌的偏斜方向。圖中品牌 1、3、5 呈現正向偏斜。品牌 1 的平均值為 $13.566$ 小時，高於盒形圖所示中位數，表示較長的右尾端拉高了平均值，因此品牌 1 的中位數低於平均值。

（二）比較各品牌變異數：

核心觀念

本題考單因子變異數分析（ANOVA），用來檢定四種貨櫃鈑的母體平均荷重是否相同。ANOVA 將總變異分解為組間變異與組內誤差變異：

其中組間均方 $MS_B=SS_B/df_B$，誤差均方 $MS_E=SS_E/df_E$；$MS_E$ 是共同母體變異數 $\sigma^2$ 的估計值，檢定統計量為 $F=MS_B/MS_E$。

解題方法

四組各有 $6$ 個樣本，因此組數 $k=4$、總樣本數 $N=24$。自由度為：

依平方和關係，誤差平方和為：

再計算均方與 $F$ 值：

因此，ANOVA 表各編號為：

核心觀念

1. 機率密度函數（Probability Density Function, PDF）之公理化條件： 設連續隨機變數 $X$ 之機率密度函數為 $f(x)$，依機率論公理，必須同時滿足以下兩項條件：

• 非負性：對所有實數 $x$，均滿足 $f(x) \geq 0$。
• 全機率為 1（正規化條件）：全區間之定積分必為 1，即

2. 連續隨機變數之動差與標準差公式：

• 一階動差（期望值）：

• 二階動差：

• 變異數（Variance）：

依定義，實數隨機變數之變異數恆滿足 $Var(X) \geq 0$。

• 標準差（Standard Deviation）：

解題方法

（一）求 $c$ 值

1. 依全機率條件列式積分： 已知當 $x \notin [0, 2]$ 時 $f(x) = 0$，故積分範圍僅需考慮 $[0, 2]$：

計算定積分：

代入上下限：

解得：

2. 檢驗機率密度函數之非負性： 將 $c = -\frac{3}{2}$ 代回原函數，得 $f(x) = -\frac{3}{2}x + 2$（$0 \leq x \leq 2$）。 檢驗端點 $x = 2$：

當 $x \in \left(\frac{4}{3}, 2\right]$ 時，$f(x) < 0$，違反機率密度函數恆非負之公理定義（$f(x) \geq 0$）。因此，嚴格在統計學定義下，滿足條件之合法律 $c$ 值不存在；若僅依「全機率為 1」之形式代數積分推導，則 $c = -\frac{3}{2}$。

（二）求標準差

1. 承接第（一）小題之形式結果計算動差： 若依題意形式令 $c = -\frac{3}{2}$，其對應函數為 $f(x) = -\frac{3}{2}x + 2$：

• 計算期望值 $E(X)$：

• 計算二階動差 $E(X^2)$：

核心觀念

本題評量獨立雙樣本常態母體平均數差之假設檢定與信賴區間估計，題幹已明確指定「採用相同變異數的檢定統計量」（Pooled-variance Two-sample $t$-test）。

1. 基本假設：

• 兩獨立樣本分別來自常態母體：$X_1 \sim N(\mu_1, \sigma^2)$、$X_2 \sim N(\mu_2, \sigma^2)$。
• 母體變異數未知但假設相等（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$）。

2. 合併變異數估計量（Pooled Sample Variance, $S_p^2$）： $S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$ 當兩組樣本數相等（$n_1 = n_2 = n$）時，$S_p^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{2}$。
3. 檢定統計量： $t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(df = n_1 + n_2 - 2)$
4. 母體平均差之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間： $(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{\alpha/2,\ df} \cdot S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$
5. 信賴區間之統計意涵： 依據頻率學派（Frequentist）觀點，信賴水準 $1-\alpha$ 代表長期重複抽樣時「估計方法」的可靠程度，而非單一固定區間涵蓋未知參數的機率。

解題方法

已知條件整理

• 胎紋輪胎（組 1）：$\bar{X}_1 = 384.833$、 $s_1 = 15.381$、 $n_1 = 6$
• 光面輪胎（組 2）：$\bar{X}_2 = 359.833$、 $s_2 = 19.167$、 $n_2 = 6$
• 樣本平均差：$\bar{X}_1 - \bar{X}_2 = 384.833 - 359.833 = 25.000\text{ (cm)}$
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$
• 自由度：$df = n_1 + n_2 - 2 = 6 + 6 - 2 = 10$

（一）假設檢定過程

1. 建立虛無假設與對立假設 檢定胎紋輪胎之煞車胎痕是否「不同於」光面輪胎，屬雙尾檢定：

• 虛無假設 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$（兩種輪胎之平均煞車胎痕無顯著差異）
• 對立假設 $H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq 0$（兩種輪胎之平均煞車胎痕有顯著差異）

2. 計算合併變異數與標準誤 由於 $n_1 = n_2 = 6$，合併樣本變異數為兩組樣本變異數的算術平均數： $s_p^2 = \frac{(6-1)(15.381)^2 + (6-1)(19.167)^2}{6 + 6 - 2} = \frac{(15.381)^2 + (19.167)^2}{2}$ $(15.381)^2 = 236.575,\quad (19.167)^2 = 367.374$ $s_p^2 = \frac{236.575 + 367.374}{2} = \frac{603.949}{2} = 301.975\text{ (cm}^2\text{)}$ 平均數差之標準誤（Standard Error, $SE$）： $SE = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} = \sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\right)} = \sqrt{\frac{301.975}{3}} = \sqrt{100.658} \approx 10.033\text{ (cm)}$

3. 計算檢定統計量 在 $H_0$ 為真的條件下： $t^* = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - 0}{SE} = \frac{25.000}{10.033} \approx 2.492$

4. 決定臨界值與拒絕域 顯著水準 $\alpha = 0.05$，雙尾檢定對應自由度 $df = 10$ 之臨界值查題目附註： $t_{0.025, 10} = 2.228$ 拒絕域為： $|t^*| \ge t_{0.025, 10} = 2.228$

5. 檢定結果與結論 由於檢定統計量計算值 $|t^*| = 2.492 > 2.228$，落入拒絕域。 因此，在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，拒絕虛無假設 $H_0$。 有充分統計證據顯示，胎紋輪胎之煞車胎痕與光面輪胎之煞車胎痕具有顯著差異（胎紋輪胎之平均煞車胎痕顯著長於光面輪胎）。