112 高普考高考三級 交通技術 交通統計 考古題詳解

核心觀念

本題檢定單一母體平均數是否等於特定值 $1$ 公尺／秒。由於母體變異數未知、樣本數 $n=10$，採用「單一樣本 $t$ 檢定」。

以命題當年（民國 112 年）法規為準，本題所述步行速率基準值為 $1$ 公尺／秒。

解題方法

1. 計算樣本平均數

資料總和為：

因此樣本平均數為：

2. 計算樣本標準差

離均差平方和為：

樣本變異數：

樣本標準差：

3. 建立檢定假設

題目問步行速率「是否為」$1$ 公尺／秒，因此採雙尾檢定：

其中 $\mu$ 為 $A$ 地區高齡者的母體平均步行速率。

4. 計算檢定統計量

單一樣本 $t$ 統計量為：

代入 $\bar{x}=0.81$、$\mu_0=1$、$s=0.2331$、$n=10$：

核心觀念

本題考查：

1. 迴歸分析中的 ANOVA 表。
2. 平方和分解： $SS_T=SS_M+SS_E$
3. 均方與自由度的關係： $MS=\frac{SS}{DF}$
4. 整體迴歸模式的 $F$ 檢定。
5. 個別迴歸係數的 $t$ 檢定及類別變數的比較基底解釋。

本題模型包含：

• 目前主要使用運具：需估計 2 個虛擬變數，因此有 $2$ 個自由度。
• 性別：需估計 1 個虛擬變數，因此有 $1$ 個自由度。

故模型自由度為 $2+1=3$。

解題方法與計算

（A）模型平方和

由平方和分解：

$SS_T=SS_M+SS_E$

因此：

$SS_M=SS_T-SS_E$

$SS_M=1,753,758.4-919,343.0=834,415.4$

所以：

$\boxed{(A)=834,415.4}$

（B）模型均方

模型均方為：

$MS_M=\frac{SS_M}{DF_M}$

$MS_M=\frac{834,415.4}{3}=278,138.4667$

依表格格式取一位小數：

$\boxed{(B)=278,138.5}$

（C）$F$ 值

$F$ 統計量為模型均方除以誤差均方：

$F=\frac{MS_M}{MS_E}$

題目已給：

$MS_E=16,416.8$

因此：

$F=\frac{278,138.4667}{16,416.8}=16.9423$

取兩位小數：

$\boxed{(C)=16.94}$

完成後的 ANOVA 表如下：

變異數分析表之假設檢定

假設

設運具與性別所對應的迴歸係數分別為 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$。

虛無假設：

$H_0:\beta_1=\beta_2=\beta_3=0$

表示目前主要使用運具及性別，對月票票價願付價格沒有整體解釋力。

對立假設：

$H_1:\text{至少有一個 }\beta_j\ne 0$

表示至少有一個解釋變數對月票票價願付價格具有顯著影響。

檢定結果

ANOVA 表顯示：

$\operatorname{Pr}>F<0.0001<0.05$

因此拒絕 $H_0$。

實質意義

核心觀念

本題考查集中量數與變異量數的意義及應用。管理者要掌握雪山隧道假日塞車的嚴重程度，不能只看單一的「平均旅行時間」：平均值呈現整體水準，但可能受特別嚴重的連假影響；變異量數則反映旅行時間是否穩定。

可從五個基本統計量觀察歷史假日旅行時間：

1. 算術平均數
2. 中位數
3. 眾數
4. 標準差
5. 四分位差

解題方法與統計量解釋

設蒐集到 $n$ 筆假日旅行時間資料為 $x_1,x_2,\ldots,x_n$。

一、算術平均數

平均數代表假日旅行時間的整體平均水準，可用來掌握一般假日的平均耗時，作為交通管理與資訊發布的參考。平均數使用所有觀測值，通常能穩定反映資料的集中位置；但遇到極端壅塞日，數值會被拉高。

二、中位數

將旅行時間由小到大排序後，位於中間位置的數值即為中位數。若資料筆數為偶數，則取中間兩筆的平均。

中位數代表一半觀測值低於或等於此時間，另一半高於或等於此時間。假日旅行時間可能因連假或事故出現極端值，中位數較不受極端值影響，適合補充說明「典型假日」的旅行時間。

三、眾數

眾數是資料中出現次數最多的旅行時間；若資料以區間分組，則為次數最多的組別。

眾數可呈現最常見的旅行時間，有助於了解假日旅運中最常遇到的耗時狀況。不過，若旅行時間資料分布較分散，眾數可能不明顯，或不只一個。

核心觀念

本題考查一元線性迴歸模型：

其中：

• $X$：家戶人口數
• $Y$：家戶旅次產生數
• $\beta_0$：截距
• $\beta_1$：家戶人口數之迴歸係數

需利用最小平方法求出斜率估計值（A），再由迴歸係數的 $t$ 統計量求標準誤（B）。

解題方法

由表 1 得：

先計算：

再計算：

因此，家戶人口數的迴歸係數為：

所以：

截距亦可驗算為：

與題目表中的截距一致。

求標準誤（B）

迴歸方程式為：

各觀察值之殘差如下：