111 高普考高考三級 核子工程 工程熱力學 考古題詳解

核心觀念

1. 熱力狀態函數（Thermodynamic State Function / Point Function）： 描述系統熱力平衡狀態的物理量，其數值僅取決於系統當前所處的狀態，與達到該狀態所經歷的路徑（歷程）無關。數學上具有全微分（Exact Differential）特性，任一循環積分值為零，即 $\oint d\zeta = 0$。
2. 狀態假說（State Postulate）： 對於一個簡單可壓縮系統（Simple Compressible System）（即忽略電、磁、表面張力、重力等外場效應，且僅有邊界移動功 $P dV$ 的純物質系統），其熱力狀態由**兩個獨立的內含性質（Independent Intensive Properties）**完全決定。
3. 吉布斯相律（Gibbs Phase Rule）： $F = C - P + 2$ 其中 $F$ 為熱力自由度（可獨立變化的內含性質數目），$C$ 為組分數，$P$ 為相態數。對於單一純物質（$C=1$）且處於單相（$P=1$）之系統，$F = 1 - 1 + 2 = 2$，即需要且僅需 2 個獨立性質即可完全固定狀態。
4. 性質的獨立性（Independence）： 兩性質若互為獨立，代表其中一個性質可在另一個性質保持不變的情況下自由變動；若兩性質存在一一對應的函數關係，則為相依性質（Dependent Properties），無法共同確定熱力狀態。

解題方法

1. 熱力狀態函數 $\zeta = f(\xi, \phi)$ 之意義與定義

• 物理意義： 熱力狀態性質（如溫度 $T$、壓力 $P$、比容 $v$、比內能 $u$、比焓 $h$、比熵 $s$ 等）均為狀態函數。當系統處於平衡狀態時，所有其他狀態性質 $\zeta$ 皆可表示為選定之兩個性質 $\xi$ 與 $\phi$ 的函數。
• 數學特性： 狀態函數為點函數（Point Function），狀態由狀態 1 變化至狀態 2 時，其積分值僅由起始與終止狀態決定： $\int_1^2 d\zeta = \zeta_2 - \zeta_1 = \Delta \zeta$ 其全微分形式可表示為： $d\zeta = \left( \frac{\partial \zeta}{\partial \xi} \right)_{\phi} d\xi + \left( \frac{\partial \zeta}{\partial \phi} \right)_{\xi} d\phi$ 滿足尤拉互易關係（Euler's Reciprocity Relation）： $\frac{\partial^2 \zeta}{\partial \xi \partial \phi} = \frac{\partial^2 \zeta}{\partial \phi \partial \xi}$

2. 為何是「兩個」性質

依據熱力學狀態假說，決定系統平衡狀態所需之獨立性質數目，等於該系統可進行的可逆功作用模式數加上 1。

• 簡單可壓縮純物質系統僅存在一種準靜態功（容積變化邊界功 $\delta W = P dV$）。
• 所需獨立內含性質數目為 $1 + 1 = 2$。

核心觀念

本題評量開放系統（控制體積）的質量守恆、能量守恆（熱力學第一定律）於定常流動工程元件（絕熱渦輪機）之推導應用，以及純物質狀態原理（State Postulate）的性質查取方法：

1. 控制體積之質量與能量守恆：

• 質量守恆一般式： $\frac{dm_{\text{cv}}}{dt} = \sum_{\text{in}} \dot{m}_i - \sum_{\text{out}} \dot{m}_e$
• 能量守恆一般式（忽略表面張力、電磁等效應）： $\frac{dE_{\text{cv}}}{dt} = \dot{Q} - \dot{W}_{\text{cv}} + \sum_{\text{in}} \dot{m}_i \left(h_i + \frac{V_i^2}{2} + g z_i\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_e \left(h_e + \frac{V_e^2}{2} + g z_e\right)$

2. 純物質狀態原理（State Postulate）： 對於單一成分之可壓縮純物質系統，任意兩個獨立的密集性質（Intensive properties，如壓力 $P$ 與比焓 $h$）即可完全決定系統熱力狀態，進而求得其餘所有性質（如溫度 $T$、比容 $v$、比熵 $s$ 等）。

解題方法

一、 質量與能量方程式簡化至特定方程式（Specific Equations）

以渦輪機內部流體為控制體積（Control Volume, CV），依據題目設定條件進行簡化：

1. 穩定流動（Steady-state flow）：控制體積內不隨時間積累質量與能量，即 $\dfrac{dm_{\text{cv}}}{dt} = 0$ 且 $\dfrac{dE_{\text{cv}}}{dt} = 0$。
2. 單一入口與單一出口（One inlet, one exit）：設入口為狀態 1、出口為狀態 2。
3. 絕熱運轉（Adiabatic）：熱傳率 $\dot{Q} = 0$。
4. 入口動能可忽略：$V_1 \approx 0$（即 $\dfrac{V_1^2}{2} \approx 0$）。
5. 重力位能變化可忽略：入口與出口高程差極小，$\Delta \mathrm{pe} = g(z_2 - z_1) \approx 0$。

1. 特定質量守恆方程式： 由質量守恆一般式化簡： $0 = \dot{m}_1 - \dot{m}_2 \implies \dot{m}_1 = \dot{m}_2 = \dot{m} = 5.1\ \mathrm{kg/s}$

2. 特定能量守恆方程式： 將上述條件代入能量守恆一般式： $0 = -\dot{W}_{\text{cv}} + \dot{m}\left(h_1\right) - \dot{m}\left(h_2 + \frac{V_2^2}{2}\right)$ 整理得渦輪機功率與焓降、動能變化之關係式： $\dot{W}_{\text{cv}} = \dot{m}\left(h_1 - h_2 - \frac{V_2^2}{2}\right)$ 或改寫為求解出口比焓 $h_2$ 的特定方程式： $h_2 = h_1 - \frac{\dot{W}_{\text{cv}}}{\dot{m}} - \frac{V_2^2}{2}$

二、 解題步驟與出口溫度數值求解流程

步驟 1：求入口比焓 $h_1$ 入口狀態為 $P_1 = 20\ \mathrm{MPa}$、$T_1 = 600^\circ\mathrm{C}$。 水在此狀態為過熱蒸氣，利用熱力性質軟體（或蒸氣表）查得： $h_1 = h(20\ \mathrm{MPa},\ 600^\circ\mathrm{C}) = 3537.6\ \mathrm{kJ/kg}$

步驟 2：計算特定功與出口比動能

• 單位質量所作之功（比功 $w$）： $w = \frac{\dot{W}_{\text{cv}}}{\dot{m}} = \frac{1500\ \mathrm{kW}}{5.1\ \mathrm{kg/s}} = 294.12\ \mathrm{kJ/kg}$
• 出口比動能（注意單位換算，$1\ \mathrm{kJ/kg} = 1000\ \mathrm{m^2/s^2}$）：

核心觀念

1. 理想步雷登循環（Brayton Cycle）之組成：

• 過程 $1 \to 2$：等熵壓縮（Isentropic compression，於壓縮機中進行，$s_1 = s_2$）。
• 過程 $2 \to 3$：等壓加熱（Constant-pressure heat addition，於燃燒室或熱交換器中進行，$P_2 = P_3 = P_{\text{high}}$）。
• 過程 $3 \to 4$：等熵膨脹（Isentropic expansion，於渦輪機中進行，$s_3 = s_4$）。
• 過程 $4 \to 1$：等壓放熱（Constant-pressure heat rejection，於熱交換器或大氣環境中進行，$P_4 = P_1 = P_{\text{low}}$）。

2. 開放系統穩定流動能量方程式（First Law for SSSF Control Volume）：

• 忽略出入口動能與位能變化（$\Delta \mathrm{ke} \ll \Delta h$、$\Delta \mathrm{pe} \ll \Delta h$），且渦輪機為絕熱過程（$q = 0$），其每單位質量流體作功為： $w_t = \frac{\dot{W}_t}{\dot{m}} = h_3 - h_4$

3. 空氣之變比熱（Variable Specific Heats）性質推導法：

• 空氣視為理想氣體，其焓值僅為溫度的函數 $h = h(T)$。
• 等熵過程之壓力比與相對壓力（Relative Pressure, $P_r$）之關係為： $\frac{P_{r4}}{P_{r3}} = \frac{P_4}{P_3} = \frac{1}{r_p}$
• 或透過標準狀態熵函數（Standard Entropy, $s^\circ$）計算： $s_4 - s_3 = s^\circ_4 - s^\circ_3 - R \ln\left(\frac{P_4}{P_3}\right) = 0 \implies s^\circ_4 = s^\circ_3 - R \ln(r_p)$

4. 外部不可逆性（External Irreversibility）與可用能破壞（Exergy Destruction）：

• 循環內部四個過程皆為可逆（等壓與等熵），但在邊界熱傳時，高溫熱源（$T_H = 1400\ \mathrm{K}$）與工作流體加熱過程（$T_2 \sim 1200\ \mathrm{K}$）之間、以及工作流體放熱過程（$T_4 \sim 310\ \mathrm{K}$）與低溫熱沉（$T_L = 300\ \mathrm{K}$）之間，皆存在有限溫差熱傳（Heat Transfer through Finite Temperature Difference）。
• 有限溫差熱傳所產生的不可逆性，在 $T$-$s$ 圖上體現為熱源／熱沉恆溫線與工作流體路徑之間的面積差，即損失功（Lost Work）或可用能破壞量（$i = T_0 s_{\text{gen}}$）。

解題方法

一、渦輪機每單位流體質量作功（$w_t$）之求解程序

題目假設具備可獲取熱力性質之軟體（如具有內建空氣性質庫的熱力學計算程式）。求解 $w_t$ 的完整計算流程如下：

1. 建立控制容積能量方程式： 對渦輪機選取控制容積，在穩定狀態、絕熱（$q=0$）且忽略動位能變化下： $w_t = h_3 - h_4$
2. 確定渦輪機入口狀態 3 之熱力性質：

• 已知 $T_3 = 1200\ \mathrm{K}$、$P_3 = P_2 = r_p P_1 = 9.0 \times 100\ \mathrm{kPa} = 900\ \mathrm{kPa}$。
• 呼叫軟體之理想氣體空氣函數：
• 輸入 $T_3 = 1200\ \mathrm{K}$，求得入口比焓 $h_3 = h(T_3)$。
• 輸入 $T_3 = 1200\ \mathrm{K}$，求得入口相對壓力 $P_{r3} = P_r(T_3)$（或標準熵 $s^\circ_3 = s^\circ(T_3)$）。

3. 求解等熵膨脹出口狀態 4 之熱力性質：

• 膨脹過程為等熵過程（$s_4 = s_3$），出口壓力為 $P_4 = P_1 = 100\ \mathrm{kPa}$，壓力比為： $\frac{P_4}{P_3} = \frac{1}{r_p} = \frac{1}{9.0}$
• 方法 A（利用相對壓力函數）： 由等熵關係式求出狀態 4 之相對壓力： $P_{r4} = P_{r3} \times \left(\frac{P_4}{P_3}\right) = \frac{P_{r3}}{9.0}$ 將求得之數值 $P_{r4}$ 輸入軟體反查函數，取得出口比焓： $h_4 = h(P_{r4})$
• 方法 B（利用標準熵函數）： 由等熵定義計算狀態 4 之標準熵： $s^\circ_4 = s^\circ_3 - R \ln(r_p) = s^\circ_3 - R \ln(9.0)$ 將 $s^\circ_4$ 輸入軟體反查，取得 $T_4 = T(s^\circ_4)$，再求得 $h_4 = h(T_4)$。

4. 計算渦輪機作功： $w_t = h_3 - h_4$

二、步雷登循環 $T$-$s$ 圖與不可逆性區域示意

下圖呈現包含循環本體（$1\text{-}2\text{-}3\text{-}4$）、高溫熱源（$T_H = 1400\ \mathrm{K}$）與低溫熱沉（$T_L = 300\ \mathrm{K}$）之 $T$-$s$ 圖，並標示出不可逆性區域：

核心觀念

本題評量**閉式系統熱力學第一定律（能量守恆）與純物質狀態原理（State Postulate）**在定容相變過程中的應用，核心觀念如下：

1. 熱力系統與邊界特性： 不銹鋼桶為密封、剛性且絕熱之容器，系統質量 $m$ 與總體積 $V$ 維持定值，無質量進出（閉式系統，Closed System），外邊界無位移（邊界功 $W_b = \int P \, dV = 0$），且無熱量進出邊界（$Q = 0$）。
2. 能量平衡方程式（第一定律）： 系統僅有電熱器輸入之電功（軸功／電功輸入），能量守恆式為： $Q - W = \Delta U$ 其中 $Q = 0$，$W = -W_{e,\text{in}} = -\dot{W}_{e,\text{in}} \cdot \Delta t$，故： $\dot{W}_{e,\text{in}} \cdot \Delta t = \Delta U = m(u_2 - u_1)$ 式中 $\dot{W}_{e,\text{in}}$ 為電熱器加熱功率，$u$ 為水之比內能（Specific Internal Energy），$\Delta t$ 為加熱時間。
3. 狀態原理與獨立性質組合： 根據狀態原理，單純可壓縮系統之平衡狀態可由兩個獨立的內含性質（Intensive Properties）唯一決定。

• 狀態 1：由起始溫度 $T_1$ 與起始壓力 $P_1$ 決定。
• 狀態 2：由極限壓力 $P_2$ 與系統比容 $v_2 = v_1 = \frac{V}{m}$ 決定。

4. 相態判定與乾度（Quality, $x$）： 若特定狀態之比容滿足 $v_f < v < v_g$，則該狀態處於氣液共存之飽和區，其乾度為： $x = \frac{v - v_f}{v_g - v_f}$ 比內能為： $u = u_f + x \, u_{fg}$

解題方法

步驟一：建立系統控制體積與能量平衡式

選取不銹鋼桶內全體水（$m = 800\ \mathrm{kg}$）為控制質量（閉式系統）。 因容器為剛性絕熱，體積固定為 $V = 1\ \mathrm{m^3}$，外加加熱功率 $\dot{W}_{e,\text{in}} = 10\ \mathrm{kW} = 10\ \mathrm{kJ/s}$。 由閉式系統第一定律： $\dot{W}_{e,\text{in}} \cdot \Delta t = m(u_2 - u_1) \implies \Delta t = \frac{m(u_2 - u_1)}{\dot{W}_{e,\text{in}}}$

步驟二：求取起始狀態（狀態 1）熱力性質

1. 系統幾何比容： $v_1 = \frac{V}{m} = \frac{1\ \mathrm{m^3}}{800\ \mathrm{kg}} = 0.00125\ \mathrm{m^3/kg}$
2. 熱力性質查詢（軟體調用方法）：

• 輸入獨立性質：溫度 $T_1 = 20^\circ\mathrm{C}$，壓力 $P_1 = 101.325\ \mathrm{kPa}$（常壓 1 atm）。
• 水在 $20^\circ\mathrm{C}$ 下的飽和壓力 $P_{\text{sat}} \approx 2.339\ \mathrm{kPa} < 101.325\ \mathrm{kPa}$，此時水為壓縮液體（Compressed Liquid）。
• 在軟體中輸入函式 u1 = InternalEnergy(Water, T=20 C, P=101.325 kPa)，或由飽和液體近似值查得： $u_1 \approx u_f(20^\circ\mathrm{C}) = 83.91\ \mathrm{kJ/kg}$

步驟三：求取終端破裂極限狀態（狀態 2）熱力性質

1. 確定獨立性質：

• 極限壓力：$P_2 = 1\ \mathrm{MPa} = 1000\ \mathrm{kPa}$。
• 剛性定容過程：$v_2 = v_1 = 0.00125\ \mathrm{m^3/kg}$。

2. 相態判定與比內能求取（軟體調用方法）：

• 在軟體中查詢水在 $P_2 = 1\ \mathrm{MPa}$ 下的飽和熱力性質：
• 飽和液體比容：$v_f = 0.001127\ \mathrm{m^3/kg}$
• 飽和蒸氣比容：$v_g = 0.19444\ \mathrm{m^3/kg}$
• 飽和液體比內能：$u_f = 761.67\ \mathrm{kJ/kg}$
• 蒸發比內能：$u_{fg} = 1821.97\ \mathrm{kJ/kg}$
• 比對比容：因為 $v_f < v_2 < v_g$（$0.001127 < 0.00125 < 0.19444$），確認狀態 2 落在飽和氣液混合區。
• 軟體計算乾度 $x_2$：

核心觀念

題目要把同一組水的狀態與過程，從 $T-s$ 圖轉畫到 $P-v$ 圖和 $T-v$ 圖。圖中的飽和液線與飽和蒸氣線圍成汽液兩相區；兩相區內，給定溫度即對應唯一的飽和壓力，因此等溫相變過程在 $P-v$ 圖上是定壓線。

判讀過程時，先看 $T-s$ 圖上的線段方向：

• 垂直線段代表等熵過程，因為熵 $s$ 不變。
• 水平線段代表等溫過程，因為溫度 $T$ 不變。

圖中的路徑依序可記為 $A\to B\to C\to D\to E\to F$：$A\to B$、$C\to D$、$E\to F$ 為等溫線段；$B\to C$、$D\to E$ 為等熵線段。圖上沒有標示狀態數字或箭頭，以下依線段連接順序說明。

解題方法

先在兩張新圖上畫出水的飽和穹頂，再逐段轉換原路徑。穹頂左側是壓縮液區，穹頂內是汽液兩相區，右側是過熱蒸氣區。等溫線或等熵線在不同區域的形狀不同，不能只把原圖的水平、垂直方向直接搬到新圖。

等溫線若在單相區，形狀則不同：在 $P-v$ 圖上，定溫膨脹時壓力下降，線段向右下方；在 $T-v$ 圖上仍為水平線。